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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:39 Sa 23.07.2011 | | Autor: | mcgeth |
| Aufgabe | In Aufgabe 1) wurde gezeigt, dass : [mm] \wurzel{u}-\wurzel{v}= \bruch{u-v}{\wurzel{u}+\wurzel{v}}
[/mm]
Benutzen sie Aufgabe 1, um zu berechnen:
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \wurzel{1+a_{n}} [/mm] mit einer Nullfolge [mm] (a_{n})_{n\in\IN} [/mm] |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Nun würde ich darauf gucken und mir die Frage stellen, warum diese Aufgabe 8 Punkte wert ist, wenn schwieriger scheinende nur die helfte an Punkten bekommen.
Wenn [mm] a_{n} [/mm] eine Nullfolge ist, dann ist ja
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \wurzel{1+a_{n}} [/mm] = [mm] \wurzel{1+0} [/mm] = 1
ist da etwas komplexes was ich übersehen habe oder muss ich das ganze umformen um es in [mm] \wurzel{u}-\wurzel{v}= \bruch{u-v}{\wurzel{u}+\wurzel{v}} [/mm] hinein stellen zu können?
Selbst dann würde ich dabei doch nur zu einem Ausdruck kommen wie:
[mm] \wurzel{1+a_{n}}= \bruch{1+a_{n}}{\wurzel{1+a_{n}}}
[/mm]
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:43 Sa 23.07.2011 | | Autor: | DM08 |
Du musst doch nur mit [mm] \sqrt{1-a_n} [/mm] erweitern.
[mm] \sqrt{1+a_n}=\sqrt{1+a_n}\bruch{\sqrt{1-a_n}}{\sqrt{1-a_n}}=?
[/mm]
MfG
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:04 Sa 23.07.2011 | | Autor: | mcgeth |
$ [mm] \sqrt{1+a_n}=\sqrt{1+a_n}\bruch{\sqrt{1-a_n}}{\sqrt{1-a_n}}=? [/mm] $
Also wenn ich das ausrechne:
[mm] \sqrt{1+a_n}\bruch{\sqrt{1-a_n}}{\sqrt{1-a_n}}= \bruch{\sqrt{(1-a_n)(1+a_n)}}{\sqrt{1-a_n}} [/mm] = [mm] \bruch{\sqrt{1^2+a_n^2}}{\sqrt{1-a_n}}=\bruch{1 -a_n}{\sqrt{1-a_n}}= \sqrt{1-a_n}
[/mm]
Das hilft mir doch nicht weiter, da ich dann ja wieder am Anfang bin und doch gleich hätte mit [mm] \sqrt{1-a_n} [/mm] rechnen können.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:09 Sa 23.07.2011 | | Autor: | DM08 |
[mm] \sqrt{1+a_n}\bruch{\sqrt{1-a_n}}{\sqrt{1-a_n}}= \bruch{\sqrt{(1-a_n)(1+a_n)}}{\sqrt{1-a_n}} [/mm] = [mm] \bruch{\sqrt{1-a_n^2}}{\sqrt{1-a_n}}.
[/mm]
MfG
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Hallo DM08,
> [mm]\sqrt{1+a_n}\bruch{\sqrt{1-a_n}}{\sqrt{1-a_n}}= \bruch{\sqrt{(1-a_n)(1+a_n)}}{\sqrt{1-a_n}}[/mm]
> = [mm]\bruch{1-a_n^2}{\sqrt{1-a_n}}.[/mm] ![[haee]](/images/smileys/haee.gif "[haee]")
Wo ist die Wurzel im Zähler hin?
>
> MfG
Gruß
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:14 Sa 23.07.2011 | | Autor: | reverend |
Hallo DM08,
> [mm]\sqrt{1+a_n}\bruch{\sqrt{1-a_n}}{\sqrt{1-a_n}}= \bruch{\sqrt{(1-a_n)(1+a_n)}}{\sqrt{1-a_n}}[/mm]
> = [mm]\bruch{1-a_n^2}{\sqrt{1-a_n}}.[/mm]
Fein, damit finden wir dann den gesuchten Grenzwert 1.
Allerdings dient diese ganze Rechnung doch nur dazu, dem Aufgabensteller zu zeigen, dass man den Tipp tatsächlich noch irgendwie einbauen kann. Nötig wäre er nicht gewesen, weil man direkt ja schneller zum Ziel käme.
Ich persönlich halte nichts von solchen gekünstelten Umwegen, sondern plädiere für ![[]](/images/popup.gif) Ockhams Rasiermesser.
Grüße
reverend
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Hallo mcgeth,
> In Aufgabe 1) wurde gezeigt, dass : [mm]\wurzel{u}-\wurzel{v}= \bruch{u-v}{\wurzel{u}+\wurzel{v}}[/mm]
>
> Benutzen sie Aufgabe 1, um zu berechnen:
>
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \wurzel{1+a_{n}}[/mm] mit einer
> Nullfolge [mm](a_{n})_{n\in\IN}[/mm]
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
> Nun würde ich darauf gucken und mir die Frage stellen,
> warum diese Aufgabe 8 Punkte wert ist, wenn schwieriger
> scheinende nur die helfte an Punkten bekommen.
>
> Wenn [mm]a_{n}[/mm] eine Nullfolge ist, dann ist ja
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \wurzel{1+a_{n}}[/mm] =
> [mm]\wurzel{1+0}[/mm] = 1
>
> ist da etwas komplexes was ich übersehen habe oder muss
> ich das ganze umformen um es in [mm]\wurzel{u}-\wurzel{v}= \bruch{u-v}{\wurzel{u}+\wurzel{v}}[/mm]
> hinein stellen zu können?
>
> Selbst dann würde ich dabei doch nur zu einem Ausdruck
> kommen wie:
>
> [mm]\wurzel{1+a_{n}}= \bruch{1+a_{n}}{\wurzel{1+a_{n}}}[/mm]
Für eine Nullfolge [mm]a_n[/mm] mit positiven Gliedern kannst du es vllt. so machen:
Du "weißt" (vermutest), dass der GW von [mm]\sqrt{1+a_n}=1[/mm] ist für [mm]n\to\infty[/mm]
Also schätze ab:
[mm]|\sqrt{1+a_n}-1|=|\sqrt{1+a_n}-\sqrt{1}|=\left|\frac{a_n}{\sqrt{1+a_n}+1}\right|[/mm] nach Aufg. 1
Nun kannst du den Nenner noch nett verkleinern, so dass du den Bruch insgesamt zu [mm]| \ \sqrt{a_n} \ |=\sqrt{a_n}[/mm] vergrößert hast und hast mit [mm]a_n\to 0[/mm] auch [mm]\sqrt{a_n}\to 0[/mm].
Dazu kannst du ja mal zu vorgegebenem [mm]\varspsilon>0[/mm] aus dem [mm]n_0[/mm] aus der Konvergenz von [mm]a_n[/mm] ein [mm]n_1[/mm] für die Konvergenz von [mm]\sqrt{1+a_n}[/mm] konkret konstruieren bzw. angeben ...
Für [mm]a_n[/mm] Nullfolge mit neg. Gleidern muss ich noch was überlegen, da klappt die Verkleinerung von [mm]\sqrt{1+a_n}[/mm] zu [mm]\sqrt{a_n}[/mm] nicht so gut 
Vllt. bringt dich dieser Ansatzversuch ja auch auf gute Ideen ...
Gruß
schachuzipus
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