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| Aufgabe | Berechnen Sie folgende Grenzwerte:
a) [mm] \limes_{x\rightarrow 0} x^{ln(x)}
[/mm]
b) [mm] \limes_{x\rightarrow 1} ln(x)^x
[/mm]
c) [mm] \limes_{x\rightarrow 1} [/mm] ln(x)^ln(x) |
Hallo :)
zu a) Hier habe ich es so gemacht, jedoch weiß ich nicht ob das mathematisch exakt ist...
also: [mm] \limes_{x\rightarrow 0} x^{ln(x)} [/mm] = [mm] \limes_{x\rightarrow 0} e^{ln(x)^2} [/mm] für x-> 0 geht [mm] ln(x)^2 [/mm] gegen [mm] +\infty [/mm] d.h. [mm] e^\infty [/mm] ist auch [mm] +\infty
[/mm]
Somit ist der Grenzwert [mm] +\infty, [/mm] bzw. es existiert keiner. Richtig?
zu b) + c) habe ich leider noch keine Ahnung wie ich das leichter umschreiben könnte, bzw. ob es eine Regel gibt die ich hier verwenden könnte :(
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Hallo,
a) ist m.A. nach richtig.
b): das kann man doch direkt auswerten...
c): das kann man umformen wie bei a), und das liefert einem dann auch einen schön einfachen Grenzwert. 
Gruß, Diophant
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Erstmal vielen Dank :)
Stimmt die b) kann man direkt auswerten ;)
Manchmal sieht man den Wald vor lauter Bäumen nicht :)
Jedoch habe ich noch Probleme mit der c)
Bei a habe ich doch das "x" umgeschrieben zu e^ln(x) aber bei der c ist dieses doch gerade nicht vorhanden?! Hier gibt es doch nur ln(x)^ln(x)?
Mein Problem ist, dass wenn ich versuche es auszuwerten ich zu dem [mm] 0^0 [/mm] Problem komme :( Das ist glaube ich als 1 definiert, aber einen Grenzwertberechnung durch Defintion erscheint mir nicht richtig :/ oder?
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 01:39 Do 23.02.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
[mm] ln(x)=e^{ln(ln(x)}
[/mm]
gruss leduart
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> Hallo
> [mm]ln(x)=e^{ln(ln(x)}[/mm]
> gruss leduart
Vielen Dank :)
Aber wenn ich das nun auflöse kommt bei mir [mm] e^{ln(0)} [/mm] heraus... der ln{0} strebt ja gegen [mm] -\infty [/mm] und somit das ganze gegen Null, oder?
Oder muss man das noch weiter umformen?
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Hiho,
> Aber wenn ich das nun auflöse kommt bei mir [mm]e^{ln(0)}[/mm]
> heraus... der ln{0} strebt ja gegen [mm]-\infty[/mm] und somit das
> ganze gegen Null, oder?
du hast einen [mm] \ln [/mm] vergessen!
leduart hat dir nur den Hinweis gegeben, wie du [mm] $\ln(x)$ [/mm] umschreiben kannst, du hast hier aber [mm] $\ln(x)^{\ln(x)}$, [/mm] das ergibt umgeschrieben aber:
[mm] $e^{\ln(x)*\ln\left(\ln(x)\right)}$
[/mm]
Mach dir schonmal klar, dass dieser Ausdruck (im Rellen) nur für x>1 definiert ist.
Und nun weiter im Text.
MFG,
Gono.
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> Hiho,
>
> > Aber wenn ich das nun auflöse kommt bei mir [mm]e^{ln(0)}[/mm]
> > heraus... der ln{0} strebt ja gegen [mm]-\infty[/mm] und somit das
> > ganze gegen Null, oder?
>
> du hast einen [mm]\ln[/mm] vergessen!
>
> leduart hat dir nur den Hinweis gegeben, wie du [mm]\ln(x)[/mm]
> umschreiben kannst, du hast hier aber [mm]\ln(x)^{\ln(x)}[/mm], das
> ergibt umgeschrieben aber:
>
> [mm]e^{\ln(x)*\ln\left(\ln(x)\right)}[/mm]
>
> Mach dir schonmal klar, dass dieser Ausdruck (im Rellen)
> nur für x>1 definiert ist.
> Und nun weiter im Text.
>
> MFG,
> Gono.
Also wenn ich dies nun versuche aufzulösen, käme [mm] e^{0 x -\infty} [/mm] heraus, oder?
Angenommen man würde [mm] e^0 [/mm] herauskommen lassen (da 0 mal irgendeine Zahl 0 ergibt) , würde das heißen, dass der Grenzwert 1 wäre?
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Hallo,
nein: so einfach ist es nicht, da der Ausdruck
[mm] 0*(-\infty)
[/mm]
nicht definiert ist.
Ich würde jetzt den Exponenten in der Darstellung von leduart mit Hilfe der Regel von de l'Hospital weiteruntersuchen. Dazu formt man geeignet um:
[mm]ln(x)*ln(ln(x))=\bruch{ln(ln(x))}{\bruch{1}{ln(x)}}[/mm]
Siehst du, dass hier für x->1 l'Hospital möglich ist? Bestimme nun den Grenzwert für den Exponenten und setze ihn zum Schluss in leduarts Darstellung ein - fertig.
Man braucht auch nicht um den heißen Brei herumreden: dein Resultat an sich, also dass für die ursprüngliche Aufgabe 1 die Lösung ist, ist richtig. Völlig unzureichend ist aber bisher die Begründung für dieses Ergebnis.
Gruß, Diophant
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> Hallo,
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> nein: so einfach ist es nicht, da der Ausdruck
>
> [mm]0*(-\infty)[/mm]
>
> nicht definiert ist.
>
> Ich würde jetzt den Exponenten in der Darstellung von
> leduart mit Hilfe der Regel von de l'Hospital
> weiteruntersuchen. Dazu formt man geeignet um:
>
> [mm]ln(x)*ln(ln(x))=\bruch{ln(ln(x))}{\bruch{1}{ln(x)}}[/mm]
>
> Siehst du, dass hier für x->1 l'Hospital möglich ist?
> Bestimme nun den Grenzwert für den Exponenten und setze
> ihn zum Schluss in leduarts Darstellung ein - fertig.
Ich habe das mal versucht aber dann bekomme ich einen 1/0 Ausdruck :(
Also [mm] \limes_{x\rightarrow 1} \bruch{ln(ln(x))}{\bruch{1}{ln(x)}} [/mm] = [mm] \limes_{x\rightarrow 1} [/mm] = [mm] \bruch{\bruch{1}{ln(x)}*\bruch{1}{x}}{x} [/mm] = [mm] \bruch{1}{x^2ln(x)}
[/mm]
wenn ich hier nun 1 einsetzt bekomme ich beim ln(1) 0 heraus, aber der Nenner darf doch nicht 0 werden :(
Wo ist mein Fehler?
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Hallo,
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> Ich habe das mal versucht aber dann bekomme ich einen 1/0
> Ausdruck :(
>
> Also [mm]\limes_{x\rightarrow 1} \bruch{ln(ln(x))}{\bruch{1}{ln(x)}}[/mm]
> = [mm]\limes_{x\rightarrow 1}[/mm] =
> [mm]\bruch{\bruch{1}{ln(x)}*\bruch{1}{x}}{x}[/mm] =
> [mm]\bruch{1}{x^2ln(x)}[/mm]
>
> wenn ich hier nun 1 einsetzt bekomme ich beim ln(1) 0
> heraus, aber der Nenner darf doch nicht 0 werden :(
>
> Wo ist mein Fehler?
>
[mm] \limes_{x\rightarrow 1} \bruch{ln(ln(x))}{\bruch{1}{ln(x)}}
[/mm]
woraus folgt (de l'hospital):
[mm] e^{\limes_{x\rightarrow 1}{-ln(x)}}=
[/mm]
[mm] {\frac{1}{e^\limes_{x\rightarrow 1}{ln(x)}}}=1
[/mm]
LG Scherzkrapferl
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ps:
[mm] (ln(ln(x)))'=\frac{1}{(x*ln(x))}
[/mm]
[mm] (1/ln(x))'=\frac{-1}{x*ln^2(x)}
[/mm]
LG Scherzkrapferl
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> Hallo,
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> >
> > Ich habe das mal versucht aber dann bekomme ich einen 1/0
> > Ausdruck :(
> >
> > Also [mm]\limes_{x\rightarrow 1} \bruch{ln(ln(x))}{\bruch{1}{ln(x)}}[/mm]
> > = [mm]\limes_{x\rightarrow 1}[/mm] =
> > [mm]\bruch{\bruch{1}{ln(x)}*\bruch{1}{x}}{x}[/mm] =
> > [mm]\bruch{1}{x^2ln(x)}[/mm]
> >
> > wenn ich hier nun 1 einsetzt bekomme ich beim ln(1) 0
> > heraus, aber der Nenner darf doch nicht 0 werden :(
> >
> > Wo ist mein Fehler?
> >
>
>
> [mm]\limes_{x\rightarrow 1} \bruch{ln(ln(x))}{\bruch{1}{ln(x)}}[/mm]
>
> woraus folgt (de l'hospital):
>
> [mm]e^{\limes_{x\rightarrow 1}{-ln(x)}}=[/mm]
Ich verstehe nicht wie du auf den Ausruck -ln(x) kommst :(
Man muss doch jeweils Zähler und Nenner ableiten oder?
Beim Zähler (ln(ln(x)) erhalte ich mit der Kettenregel: [mm] \bruch{1}{x*ln(x)}
[/mm]
Und beim Nenner [mm] (\bruch{1}{ln(x}) [/mm] erhalte ich [mm] \bruch{1}{-\bruch{1}{x}}
[/mm]
Wie kann ich dass zu -ln(x) auflösen.
Hinzu kommt doch dass dieser Ausdruck für x->1 doch zu 0 wird und somit der Nenner 0 wird oder?
>
> [mm]{\frac{1}{e^\limes_{x\rightarrow 1}{-ln(x)}}}=1[/mm]
>
> LG Scherzkrapferl
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Hier ist dir ein Fehler unterlaufen:
> Und beim Nenner $ [mm] (\bruch{1}{ln(x}) [/mm] $ erhalte ich $ [mm] \bruch{1}{-\bruch{1}{x}} [/mm] $
wenn du [mm] \frac{1}{ln(x)} [/mm] ableitest, arbeite am besten mit Substitution:
ln(x):=u
--> [mm] (\frac{1}{u})'=\frac{-1}{u^2}
[/mm]
Nach dieser Überlegung kommst du auf:
[mm] \frac{-ln(x)'}{ln^2{x}}=\frac{-1}{x*ln^2(x)}
[/mm]
Siehe auch meine Mitteilung "de l'Hospital" ;)
alles bis auf -ln(x) fällt weg.
du hast durch anwenden von de l'Hospital folgenden Bruch stehen:
[mm] \frac{\frac{1}{x*ln(x)}}{\frac{-1}{x*ln^2(x)}}=-ln(x)
[/mm]
LG Scherzkrapferl
PS: Die Regel fürs Ableiten von Funktionen der Form [mm] \frac{1}{u} [/mm] heißt Reziprokenregel und lautet:
[mm] (\frac{1}{u})'=\frac{-u'}{u^2}
[/mm]
(Ist ja nur eine spezielle Form der Quotientenregel)
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Vielen Dank, jetzt bekomme ich es auch heraus bei der Ableitung :)
Und bei dem Limes ist es dann so, dass im Nenner quasi [mm] e^0 [/mm] steht und es somit 1/1 ist und der Limes daher insgesamt 1 ist oder?
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Hallo nochmal,
> Vielen Dank, jetzt bekomme ich es auch heraus bei der
> Ableitung :)
>
> Und bei dem Limes ist es dann so, dass im Nenner quasi [mm]e^0[/mm]
> steht und es somit 1/1 ist und der Limes daher insgesamt 1
> ist oder?
>
>
Richtig ;)
LG Scherzkrapferl
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Super :)
Vielen, vielen Dank !
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> Super :)
>
> Vielen, vielen Dank !
Kein Problem, dafür ist das Forum ja da ;)
Wenn du noch Fragen dazu hast, kannst du sie jederzeit stellen.
LG Scherzkrapferl
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:20 Mi 22.02.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Berechnen Sie folgende Grenzwerte:
>
> a) [mm]\limes_{x\rightarrow 0} x^{ln(x)}[/mm]
>
> b) [mm]\limes_{x\rightarrow 1} ln(x)^x[/mm]
>
> c) [mm]\limes_{x\rightarrow 1}[/mm] ln(x)^ln(x)
> Hallo :)
>
> zu a) Hier habe ich es so gemacht, jedoch weiß ich nicht
> ob das mathematisch exakt ist...
>
> also: [mm]\limes_{x\rightarrow 0} x^{ln(x)}[/mm] =
> [mm]\limes_{x\rightarrow 0} e^{ln(x)^2}[/mm] für x-> 0 geht [mm]ln(x)^2[/mm]
> gegen [mm]+\infty[/mm] d.h. [mm]e^\infty[/mm] ist auch [mm]+\infty[/mm]
>
> Somit ist der Grenzwert [mm]+\infty,[/mm] bzw. es existiert keiner.
> Richtig?
die Argumente sind korrekt. Wenn man ein wenig formaler vorgehen will, kann man es auch so begründen:
[mm] $$x^{\ln(x)}=e^{\ln^2(x)}$$
[/mm]
gilt für alle $x > 0$ und zudem ist für alle diese [mm] $x\,$ [/mm] dann auch [mm] $x^{\ln(x)}> 0\,,$ [/mm] weil die reelle Exponentialfunktion nur Werte $> [mm] 0\,$ [/mm] annimmt. Wegen
[mm] $$\lim_{x \to 0}\frac{1}{e^{\ln^2(x)}}=\lim_{x \to 0}e^{-\ln^2(x)}=0$$
[/mm]
strebt somit [mm] $e^{\ln^2(x)}=\frac{1}{e^{-\ln^2(x)}} \to +\infty$ [/mm] bei $x [mm] \to [/mm] 0$ (wobei man [mm] $\ln^2(x) \to \infty$ [/mm] bei $x [mm] \to [/mm] 0$ beachte).
Aber ob das nun wirklich besser ist... wenn man ganz sauber argumentieren will, zeigt man halt: Für jedes $K > 0$ existiert ein [mm] $x_0=x_0(K) [/mm] > 0$ so, dass [mm] $e^{\ln^2(x)} [/mm] > K$ für alle $0 < x [mm] \le x_0\,.$
[/mm]
Bei meiner Argumentation wird sowas ausgenutzt:
Ist [mm] $(a_n)_n$ [/mm] eine reelle Folge mit [mm] $a_n [/mm] > 0$ für fast alle [mm] $n\,$ [/mm] und [mm] $a_n \not=0$ [/mm] für alle [mm] $n\,,$ [/mm] so folgt aus [mm] $a_n \to [/mm] 0$ dann [mm] $1/a_n \to \infty\,.$
[/mm]
Gruß,
Marcel
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