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Forum "Folgen und Reihen" - Grenzwertberechnung inf
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Grenzwertberechnung inf: Frage (reagiert)
Status: (Frage) reagiert/warte auf Reaktion Status 
Datum: 22:28 Fr 24.11.2006
Autor: Phoney

Aufgabe
Zeigen Sie, wenn [mm] a_n\le b_n [/mm] für alle [mm] n\ge [/mm] m, dann gilt

[mm] $\lim_{n\rightarrow \infty} [/mm] inf [mm] a_n \le \lim_{n\rightarrow \infty} [/mm] inf [mm] b_n$ [/mm]

Hallo.

Wie kann man das zeigen? Ich meine, für mich ist es plausibel, dass wenn [mm] a_n [/mm] kleiner gleich [mm] b_n [/mm] ist, der lim infimum von [mm] a_n [/mm] auch kleiner gleich lim inf [mm] b_n [/mm] ist. Das ist ja irgendwie augenscheinlich. [mm] a_n [/mm] geht fängt quasi bei 10 an und [mm] b_n [/mm] bis 10 oder höher.

Nur wie siehts hier aus mit mathematisch herleiten oder beweisen?

Vielen Dank

Grüße v.
Johann

        
Bezug
Grenzwertberechnung inf: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 09:59 Sa 25.11.2006
Autor: FrankM


> Zeigen Sie, wenn [mm]a_n\le b_n[/mm] für alle [mm]n\ge[/mm] m, dann gilt
>  
> [mm]\lim_{n\rightarrow \infty} inf a_n \le \lim_{n\rightarrow \infty} inf b_n[/mm]
>  

Hallo,

ich würde vorschlagen, dass du einen Widerspruchsbeweis führst. Du nimmst an, das gilt [mm] \lim_{n\rightarrow \infty} [/mm] inf [mm] a_n [/mm] > [mm] \lim_{n\rightarrow \infty} [/mm] inf [mm] b_n. [/mm] Darus kannst du dann aber folgern, dass es ein [mm] n_0 [/mm] (>m) gibt, so dass gilt
[mm] inf\{a_n|n>n_0\}>inf\{b_n|n>n_0\}. [/mm] Daraus folgt aber, es existiert ein [mm] n_1>n_0 [/mm] mit [mm] a_{n_1} [/mm] > [mm] b_n [/mm] für alle [mm] n>n_0, [/mm] also insbesondere [mm] a_{n_1}>b_{n_1} [/mm] und da [mm] n_1>m [/mm] gilt, hast du einen Widerspruch gefunden.

Gruß
Frank


Bezug
                
Bezug
Grenzwertberechnung inf: Versuch
Status: (Frage) überfällig Status 
Datum: 12:31 Sa 25.11.2006
Autor: Phoney

Hallo.

Also, wenn gilt

$ [mm] \lim_{n\rightarrow \infty} [/mm] $ inf $ [mm] a_n [/mm] $ > $ [mm] \lim_{n\rightarrow \infty} [/mm] $ inf $ [mm] b_n. [/mm] $       [mm] $\forall \varepsilon [/mm] >0$         muss gelten [mm] $\forall [/mm] n [mm] \ge n_0: |a_n-a|<\varepsilon$ [/mm]

Selbiges auch für [mm] b_n [/mm]

Nun st [mm] b_n [/mm] echte Teilmenge von M.

Dann würde doch nach Definition gelten, dass [mm] |a_n|>\br{\varepsilon}{M} [/mm]

Und da würde wiederum gelten [mm] $|a_n*b_n|=|a_n|*|b_n| [/mm] > [mm] {\varepsilon}{M}*M [/mm] = [mm] \varepsilon$. [/mm]

Und dass [mm] $|a_n*b_n|<\varepsilon$ [/mm] ist entgegen der Behauptung, dass [mm] \varepsilon [/mm] > 0 ist bzw. dass wir mindestens ein Epsilon finden müssen, dass größer als [mm] a_n [/mm] wäre.

Nur ein [mm] n_o [/mm] habe ich da jetzt ja gar nicht benutzt...Ansatz falsch verstanden? :(

Schönen Gruß von
Johann






Bezug
                        
Bezug
Grenzwertberechnung inf: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 13:12 Fr 22.12.2006
Autor: FrankM

Hallo,

irgendwie ist mir überhaupt nicht klar was du mit M meinst und daher kann ich deinen Ansatz auch nicht nachvollziehen.

Gruß
Frank

Bezug
                        
Bezug
Grenzwertberechnung inf: Fälligkeit abgelaufen
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 12:38 Di 26.12.2006
Autor: matux

$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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