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| Aufgabe | [mm] f(x)=X^{3}
[/mm]
Der Graph, die x-Achse und die Gerade x=2 begrenzen die Fläche.
a)Bestimmen Sie ihren Inhalt als Grenzwert der Obersumme On. (Benutzen Sie die Summenformel [mm] 1^{3}+2^{3}+...+n^{3}= \bruch{1}{4}\*n^{2}(n+1)^{2}
[/mm]
b)Zeigen Sie, dass man bei Verwendung der Untersumme denselben Grenzwert wie in a) erhält. |
Für die obersumme habe ich folgendes raus:
[mm] On=(\bruch{x}{n})^{4}\*[\bruch{1}{4}\*n^{2}(n+1)^{2}]
[/mm]
Wenn ich damit aber den limes (n geht gegen unendlich) berechnen möchte, kommt folgendes raus:
[mm] A(F)=\limes_{n\rightarrow\infty} On=\bruch{x^{4}}{4}\*\limes_{n\rightarrow\infty}[\bruch{1}{n^{2}}\*(n+1)^{2}]
[/mm]
Damit kann ich aber nicht rechnen, weil [mm] \bruch{1}{n^{2}} [/mm] ja null ergeben würde und damit der ganze ausdruck gleich null werden würde. Die fläche kann aber nicht gleich null sein und deswegen muss ich irgendwie das n aus dem nenner kriegen, denke ich mal. Bei der berechnung der untersumme habe ich das selbe problem:
[mm] A(F)=\limes_{n\rightarrow\infty} Un=\bruch {x^{4}}{4}\*\limes_{n\rightarrow\infty}[\bruch{(n-1)^{2}}{n^{2}}]
[/mm]
Danke für die Hilfe schon mal im Voraus!
Liebe Grüße, Laura
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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> [mm]f(x)=X^{3}[/mm]
> Der Graph, die x-Achse und die Gerade x=2 begrenzen die
> Fläche.
> a)Bestimmen Sie ihren Inhalt als Grenzwert der Obersumme
> On. (Benutzen Sie die Summenformel [mm]1^{3}+2^{3}+...+n^{3}= \bruch{1}{4}\*n^{2}(n+1)^{2}[/mm]
>
> b)Zeigen Sie, dass man bei Verwendung der Untersumme
> denselben Grenzwert wie in a) erhält.
> Für die obersumme habe ich folgendes raus:
>
> [mm]On=(\bruch{x}{n})^{4}\*[\bruch{1}{4}\*n^{2}(n+1)^{2}][/mm]
>
> Wenn ich damit aber den limes (n geht gegen unendlich)
> berechnen möchte, kommt folgendes raus:
>
> [mm]A(F)=\limes_{n\rightarrow\infty} On=\bruch{x^{4}}{4}\*\limes_{n\rightarrow\infty}[\bruch{1}{n^{2}}\*(n+1)^{2}][/mm]
>
> Damit kann ich aber nicht rechnen, weil [mm]\bruch{1}{n^{2}}[/mm] ja
> null ergeben würde und damit der ganze ausdruck gleich null
> werden würde.
Dies ist kein Problem, weil man [mm] $\bruch{1}{n^2}\cdot (n+1)^2=\left(\frac{n+1}{n}\right)^2=\big(1+\frac{1}{n}\big)^2$ [/mm] umformen kann. [mm] $1+\frac{1}{n}$ [/mm] geht für [mm] $n\rightarrow \infty$ [/mm] gegen $1$ und somit auch dessen Quadrat. Bleibt also nur der von $x$ unabhängige Teil [mm] $\frac{x^4}{4}$ [/mm] stehen:
> [mm]A(F)=\limes_{n\rightarrow\infty} On=\bruch{x^{4}}{4}\*\limes_{n\rightarrow\infty}[\bruch{1}{n^{2}}\*(n+1)^{2}] = \frac{x^4}{4}\lim_{n\rightarrow\infty}\big(1+\tfrac{1}{n}\big)^2=\frac{x^4}{4}\Big(\lim_{n\rightarrow \infty}\big[1+\tfrac{1}{n}\big]\Big)^2=\frac{x^4}{4}\cdot 1^2=\frac{x^4}{4}[/mm]
> Bei der berechnung der untersumme
> habe ich das selbe problem:
Gleiches Problem - gleiche Lösung 
>
> [mm]A(F)=\limes_{n\rightarrow\infty} Un=\bruch {x^{4}}{4}\*\limes_{n\rightarrow\infty}[\bruch{(n-1)^{2}}{n^{2}}][/mm]
>
[mm]A(F)=\limes_{n\rightarrow\infty} Un=\bruch {x^{4}}{4}\*\limes_{n\rightarrow\infty}[\bruch{(n-1)^{2}}{n^{2}}]=\frac{x^4}{4}\lim_{n\rightarrow \infty}\big(1-\tfrac{1}{n}\big)^2=\frac{x^4}{4}\cdot 1=\frac{x^4}{4}[/mm]
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Danke, Somebody, für die schnelle Antwort! Eigentlich ist es ja gar nicht so schwer, aber man kommt da manchmal einfach nicht selber drauf.
Laura
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