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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:26 Sa 24.05.2014 | | Autor: | QexX |
| Aufgabe | | Warum gilt [mm] \limes_{x \to 0}\frac{0}{x}=0 [/mm] ? |
Hi,
im Grenzwert steht doch eigentlich ein unbestimmter Ausdruck [mm] \frac{0}{0},
[/mm]
wieso existiert der Grenzwert dennoch und ist gleich Null?
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Hiho,
> im Grenzwert steht doch eigentlich ein unbestimmter Ausdruck [mm]\frac{0}{0},[/mm]
Nein. Im Grenzwert steht 0.
Du betrachtest die konstante Null-Folge und die hat als Grenzwert nun mal Null.
Um dir das klar zu machen solltest du nochmal wiederholen, für was das Symbol [mm] $\lim_{x\to 0}$ [/mm] eigentlich steht.
Gruß,
Gono.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:51 Sa 24.05.2014 | | Autor: | QexX |
Danke für die schnelle Antwort!
Die Funktion [mm] f(x)=\frac{0}{x}, x\not=0 [/mm] ist konstant Null. Aber wie genau ist der Grenzwertprozess zu verstehen? ich könnte mir eine Folge [mm] (a_n)_{n\in\mathbb{N}} [/mm] definieren mit [mm] \limes_{n\to\infty}a_n=0 [/mm] und dann betrachten:
[mm] \limes_{x\to 0}f(x)=\limes_{n\to\infty}f(a_n), [/mm] dann ist der Grenzwert etwas sauberer erklärt. Wie argumentiert man jetzt präzise weiter? Da x=0 nicht im Definitionsbereich von f liegt, erhält man konstant den Wert Null, egal wie beliebig nahe man x=0 kommt?
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Hiho,
> ich könnte mir eine Folge [mm](a_n)_{n\in\mathbb{N}}[/mm] definieren mit [mm]\limes_{n\to\infty}a_n=0[/mm] und dann betrachten:
> [mm]\limes_{x\to 0}f(x)=\limes_{n\to\infty}f(a_n),[/mm]
na das ist ja kein "Könnte" sondern ein "wie ist es definiert".
Aber so ähnlich wie du es gemacht hast, ist es auch.
Nur dass du eben alle Folgen [mm] a_n [/mm] betrachtest mit [mm] $a_n \to [/mm] 0, [mm] a_n \not= [/mm] 0$.
Aber das ändert hier nichts.
> Wie argumentiert man jetzt präzise weiter? Da x=0 nicht im Definitionsbereich von f liegt, erhält man konstant den Wert Null, egal wie beliebig nahe man x=0 kommt?
Ja, es gilt also [mm] $f(a_n) [/mm] = 0$ für alle n und damit:
[mm] $\lim_{x\to 0} [/mm] f(x) = [mm] \lim_{n\to\infty} f(a_n) [/mm] = [mm] \lim_{n\to\infty} [/mm] 0 = 0$
Gruß,
Gono.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:18 Sa 24.05.2014 | | Autor: | DieAcht |
Hallo QexX,
> Warum gilt [mm]\limes_{x \to 0}\frac{0}{x}=0[/mm] ?
Eine ähnliche Frage habe ich mir auch mal gestellt.
> im Grenzwert steht doch eigentlich ein unbestimmter
> Ausdruck [mm]\frac{0}{0},[/mm]
Was meinst du damit genau? Ich nehme an, dass du hier den
Grenzwertsatz benutzt, aber dieser gilt hier nicht, denn
im Nenner erhalten wir als Grenzwert die Null!
> wieso existiert der Grenzwert dennoch und ist gleich Null?
Wir setzen die Eigenschaft
[mm] $\frac{0}{x}=0$ [/mm] für alle [mm] x\in\IR\setminus\{0\} $(A)\$
[/mm]
voraus, aber gehen davon aus, dass wir diese Eigenschaft
nicht "von Anfang an" erkennen und "kürzen" nicht. Dennoch
wollen wir auf den gewünschten Grenzwert kommen und eine
Möglichkeit ist die Verarztung mit L'Hôpital, denn wir
erhalten den Fall
[mm] "\frac{0}{0}"
[/mm]
und damit gilt:
[mm] \limes_{x \to 0}\frac{0}{x}\overset{\text{L'Hôpital}}{=}\frac{\limes_{x \to 0}0'}{\limes_{x \to 0}x'}=\frac{\limes_{x \to 0}0}{\limes_{x \to 0}1}=\frac{0}{1}\overset{(A)}{=}0.
[/mm]
Liege ich mit meiner Glaskugel richtig oder meinst du etwas
anderes? Formuliere bitte deine Frage genauer, dann können
wir dir sicher helfen.
Gruß
DieAcht
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:22 Sa 24.05.2014 | | Autor: | Gonozal_IX |
Hallo DieAcht,
mit l'Hôpital auf diesen Ausdruck loszugehen, erscheint mir doch ein wenig mit Kanonen auf Spatzen geschossen, da es hier gar nicht notwendig ist.
Gruß,
Gono.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:27 Sa 24.05.2014 | | Autor: | QexX |
Per Definition des Limes (wie oben benutzt mit den Folgen) ist jetzt schlüssig,
vielen Dank für die Hilfe!
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