Grenzwertbestimmung < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:26 Di 26.10.2010 | | Autor: | Kato |
| Aufgabe | Bestimmen sie den Grenzwert der nachstehenden Zahlenfolge:
[mm]\left(1+\bruch{1}{n^2}\right)^n [/mm] |
Hallo liebe Mathefreunde,
ich verzweifel langsam an dieser Aufgabe. Ich gehe davon aus, dass der Grenzwert 1 ist, da laut der Bernoullischen Ungleichung [mm]\left(1+\bruch{1}{n^2}\right)^n \ge 1+\bruch{1}{n^2}*n = 1+\bruch{1}{n}[/mm]. Aber den Grenzwert mittels Definition (also [mm] \forall \epsilon > 0\; ...[/mm] ) zu beweisen oder zu zeigen, dass die Folge monoton fällt (habe [mm]a_n - a_n_+_1 > 0 [/mm] und [mm] \bruch{a_n}{a_n_+_1} >1 [/mm] probiert), bekomme ich irgendwie nicht hin. Ich hoffe ihr könnt mir weiterhelfen.
Liebe Grüße,
Kato
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:49 Di 26.10.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
am einfachsten zeigen, dass der ln der Folge gegen 0 konv.
dazu musst du allerdings die Reihe für ln(1+x) kennen.
oder ihr habt [mm] lim(1+x/n)^n=e^x [/mm] dann nim x=1/n
Gruss leduart
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(Antwort) fertig | | Datum: | 08:59 Mi 27.10.2010 | | Autor: | fred97 |
Bekannt dürfte sein:
(*) $ [mm] \left(1+\bruch{1}{k}\right)^k \le [/mm] e $ für k [mm] \in \IN.
[/mm]
Setze [mm] $a_n:= \left(1+\bruch{1}{n^2}\right)^n [/mm] $
Aus (*) folgt dann: [mm] $a_n^n \le [/mm] e$ für n [mm] \in \IN
[/mm]
Es folgt:
$1 [mm] \le a_n \le \wurzel[n]{e}$ [/mm] für n [mm] \in \IN.
[/mm]
Jetzt $ n [mm] \to \infty$
[/mm]
FRED
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