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| Aufgabe | | Man zeige, dasss die Folge [mm] (a_{n})_{n \in \IN} [/mm] definiert durch [mm] a_{n} [/mm] := [mm] \summe_{k=1}^{n} \bruch{k^{2}}{n^{4}-10 k^{2}} [/mm] für alle n [mm] \in \IN [/mm] konvergiert und bestimme ihren Grenzwert. |
Hallo
also ich habe die obrige Aufgabe versucht zu lösen und bin darauf gekommen das der Grenzwert [mm] -\infty [/mm] ist, dass scheint mir aber nicht ganz logisch von daher wäre ich froh wenn jemand einen kurzen Blick drauf werfen könnte
Also ich habe zuerst mal benutzt, dass [mm] \summe_{k=1}^{n} k^{2}= \bruch{1}{3}n^{3} [/mm] + Q(n) ist, wobei Q(n) ein quadratisches Polynom in n ist, dass die Form Q(n)= [mm] \bruch{1}{2}n^{2} [/mm] + [mm] \bruch{1}{6} [/mm] n hat.
Da [mm] \bruch{1}{n^{4}-10n^{2}}\summe_{k=1}^{n} k^{2} \le \summe_{k=1}^{n} \bruch{k^{2}}{n^{4}-10 k^{2}} \le \bruch{1}{n^{4}} \summe_{k=1}^{n} k^{2}
[/mm]
folgt [mm] \bruch{1}{3} (\bruch{1}{n} [/mm] - [mm] \bruch{n}{10}) [/mm] + [mm] \bruch{Q(n)}{n^{4}-10n^{2}} \le a_{n} \le \bruch{1}{3} \bruch{1}{n} [/mm] + [mm] \bruch{Q(n)}{n^{4}}
[/mm]
wegen [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} (\bruch{1}{n} [/mm] - [mm] \bruch{n}{10}) [/mm] = [mm] -\infty
[/mm]
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{Q(n)}{n^{4}-10n^{2}}=\limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{Q(n)}{n^{4}} [/mm] =0
folgt dass [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} a_{n} =-\infty
[/mm]
ist das so richtig argumentiert oder habe ich mich irgendwo vertan?..ich wäre über jegliche Art der Hilfestellung bzw. Kritik sehr dankbar.
LG Schmetterfee
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Kann ich es sonst noch auf eine andere Weise kontrollieren?
LG Schmetterfee
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:26 Mo 01.11.2010 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Man zeige, dasss die Folge [mm](a_{n})_{n \in \IN}[/mm] definiert
> durch [mm]a_{n}[/mm] := [mm]\summe_{k=1}^{n} \bruch{k^{2}}{n^{4}-10 k^{2}}[/mm]
> für alle n [mm]\in \IN[/mm] konvergiert und bestimme ihren
> Grenzwert.
> Hallo
>
> also ich habe die obrige Aufgabe versucht zu lösen und bin
> darauf gekommen das der Grenzwert [mm]-\infty[/mm] ist, dass scheint
> mir aber nicht ganz logisch von daher wäre ich froh wenn
> jemand einen kurzen Blick drauf werfen könnte
>
> Also ich habe zuerst mal benutzt, dass [mm]\summe_{k=1}^{n} k^{2}= \bruch{1}{3}n^{3}[/mm]
> + Q(n) ist, wobei Q(n) ein quadratisches Polynom in n ist,
> dass die Form Q(n)= [mm]\bruch{1}{2}n^{2}[/mm] + [mm]\bruch{1}{6}[/mm] n
> hat.
>
> Da [mm]\bruch{1}{n^{4}-10n^{2}}\summe_{k=1}^{n} k^{2} \le \summe_{k=1}^{n} \bruch{k^{2}}{n^{4}-10 k^{2}} \le \bruch{1}{n^{4}} \summe_{k=1}^{n} k^{2}[/mm]
Die Ungleichungen sind falsch.
1. Es ist
[mm] 10n^2 \ge 10k^2 \implies 10n^2-n^4 \ge 10k^2-n^4 \implies n^4-10n^2 \le n^2-10k^2\implies \bruch{1}{n^4-10n^2}\ge \bruch{1}{n^2-10k^2}[/mm] .
2. Es ist [mm] $n^4 [/mm] > [mm] n^4-10k^2$ [/mm] und daher [mm] $\bruch{1}{n^4} [/mm] < [mm] \bruch{1}{n^4-10k^2}$.
[/mm]
Also steht da:
[mm]\bruch{1}{n^{4}-10n^{2}}\summe_{k=1}^{n} k^{2} \ge \summe_{k=1}^{n} \bruch{k^{2}}{n^{4}-10 k^{2}} > \bruch{1}{n^{4}} \summe_{k=1}^{n} k^{2}[/mm]
Tipp: Alle Folgenglieder ab $n=4$ sind positiv, denn
[mm]n^4-10k^2 \ge n^4-10n^2 = n^2(n^2-10) > 0 [/mm] für [mm] $n\ge [/mm] 4$.
Viele Grüße
Rainer
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Hallo...
danke schön für die hilfe habe mir das jetzt noch mal alles durch gearbeitet...
> Hallo!
>
> > Man zeige, dasss die Folge [mm](a_{n})_{n \in \IN}[/mm] definiert
> > durch [mm]a_{n}[/mm] := [mm]\summe_{k=1}^{n} \bruch{k^{2}}{n^{4}-10 k^{2}}[/mm]
> > für alle n [mm]\in \IN[/mm] konvergiert und bestimme ihren
> > Grenzwert.
> > Hallo
> >
> > also ich habe die obrige Aufgabe versucht zu lösen und bin
> > darauf gekommen das der Grenzwert [mm]-\infty[/mm] ist, dass scheint
> > mir aber nicht ganz logisch von daher wäre ich froh wenn
> > jemand einen kurzen Blick drauf werfen könnte
> >
> > Also ich habe zuerst mal benutzt, dass [mm]\summe_{k=1}^{n} k^{2}= \bruch{1}{3}n^{3}[/mm]
> > + Q(n) ist, wobei Q(n) ein quadratisches Polynom in n ist,
> > dass die Form Q(n)= [mm]\bruch{1}{2}n^{2}[/mm] + [mm]\bruch{1}{6}[/mm] n
> > hat.
> >
> > Da [mm]\bruch{1}{n^{4}-10n^{2}}\summe_{k=1}^{n} k^{2} \le \summe_{k=1}^{n} \bruch{k^{2}}{n^{4}-10 k^{2}} \le \bruch{1}{n^{4}} \summe_{k=1}^{n} k^{2}[/mm]
>
> Die Ungleichungen sind falsch.
>
> 1. Es ist
>
> [mm]10n^2 \ge 10k^2 \implies 10n^2-n^4 \ge 10k^2-n^4 \implies n^4-10n^2 \le n^2-10k^2\implies \bruch{1}{n^4-10n^2}\ge \bruch{1}{n^2-10k^2}[/mm]
> .
>
> 2. Es ist [mm]n^4 > n^4-10k^2[/mm] und daher [mm]\bruch{1}{n^4} < \bruch{1}{n^4-10k^2}[/mm].
>
> Also steht da:
>
> [mm]\bruch{1}{n^{4}-10n^{2}}\summe_{k=1}^{n} k^{2} \ge \summe_{k=1}^{n} \bruch{k^{2}}{n^{4}-10 k^{2}} > \bruch{1}{n^{4}} \summe_{k=1}^{n} k^{2}[/mm]
>
müsste das denn nicht durch die Folgerungen
[mm] \bruch{1}{n^{4}-10n^{2}}\summe_{k=1}^{n} k^{2} \ge \summe_{k=1}^{n} \bruch{k^{2}}{n^{4}-10 k^{2}} \ge \bruch{1}{n^{4}} \summe_{k=1}^{n} k^{2} [/mm] ergeben?
und daraus würde ja dann folgen:
[mm] \bruch{1}{3} [/mm] ( [mm] \bruch{1}{n}- \bruch{n}{10}) [/mm] + [mm] \bruch{Q(n)}{n^{4}-10n^{2}} \ge a_{n} \ge \bruch{1}{3} \bruch{1}{n} [/mm] + [mm] \bruch{Q(n)}{n^{4}}
[/mm]
und deswegen [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{1}{n}=0
[/mm]
und [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{Q(n)}{n^{4}}=0
[/mm]
und damit folgt [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} a_{n}=0
[/mm]
reicht das denn so oder is da immer noch was falsch?
LG Schmetterfee
> Tipp: Alle Folgenglieder ab [mm]n=4[/mm] sind positiv, denn
>
> [mm]n^4-10k^2 \ge n^4-10n^2 = n^2(n^2-10) > 0[/mm] für [mm]n\ge 4[/mm].
>
>
> Viele Grüße
> Rainer
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:55 Mo 01.11.2010 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Hallo...
>
> danke schön für die hilfe habe mir das jetzt noch mal
> alles durch gearbeitet...
>
>
> > Hallo!
> >
> > > Man zeige, dasss die Folge [mm](a_{n})_{n \in \IN}[/mm] definiert
> > > durch [mm]a_{n}[/mm] := [mm]\summe_{k=1}^{n} \bruch{k^{2}}{n^{4}-10 k^{2}}[/mm]
> > > für alle n [mm]\in \IN[/mm] konvergiert und bestimme ihren
> > > Grenzwert.
> > > Hallo
> > >
> > > also ich habe die obrige Aufgabe versucht zu lösen und bin
> > > darauf gekommen das der Grenzwert [mm]-\infty[/mm] ist, dass scheint
> > > mir aber nicht ganz logisch von daher wäre ich froh wenn
> > > jemand einen kurzen Blick drauf werfen könnte
> > >
> > > Also ich habe zuerst mal benutzt, dass [mm]\summe_{k=1}^{n} k^{2}= \bruch{1}{3}n^{3}[/mm]
> > > + Q(n) ist, wobei Q(n) ein quadratisches Polynom in n ist,
> > > dass die Form Q(n)= [mm]\bruch{1}{2}n^{2}[/mm] + [mm]\bruch{1}{6}[/mm] n
> > > hat.
> > >
> > > Da [mm]\bruch{1}{n^{4}-10n^{2}}\summe_{k=1}^{n} k^{2} \le \summe_{k=1}^{n} \bruch{k^{2}}{n^{4}-10 k^{2}} \le \bruch{1}{n^{4}} \summe_{k=1}^{n} k^{2}[/mm]
>
> >
> > Die Ungleichungen sind falsch.
> >
> > 1. Es ist
> >
> > [mm]10n^2 \ge 10k^2 \implies 10n^2-n^4 \ge 10k^2-n^4 \implies n^4-10n^2 \le n^2-10k^2\implies \bruch{1}{n^4-10n^2}\ge \bruch{1}{n^2-10k^2}[/mm]
> > .
> >
> > 2. Es ist [mm]n^4 > n^4-10k^2[/mm] und daher [mm]\bruch{1}{n^4} < \bruch{1}{n^4-10k^2}[/mm].
>
> >
> > Also steht da:
> >
> > [mm]\bruch{1}{n^{4}-10n^{2}}\summe_{k=1}^{n} k^{2} \ge \summe_{k=1}^{n} \bruch{k^{2}}{n^{4}-10 k^{2}} > \bruch{1}{n^{4}} \summe_{k=1}^{n} k^{2}[/mm]
>
> >
>
> müsste das denn nicht durch die Folgerungen
> [mm]\bruch{1}{n^{4}-10n^{2}}\summe_{k=1}^{n} k^{2} \ge \summe_{k=1}^{n} \bruch{k^{2}}{n^{4}-10 k^{2}} \ge \bruch{1}{n^{4}} \summe_{k=1}^{n} k^{2}[/mm]
> ergeben?
>
> und daraus würde ja dann folgen:
> [mm]\bruch{1}{3}[/mm] ( [mm]\bruch{1}{n}- \bruch{n}{10})[/mm] +
> [mm]\bruch{Q(n)}{n^{4}-10n^{2}} \ge a_{n} \ge \bruch{1}{3} \bruch{1}{n}[/mm]
> + [mm]\bruch{Q(n)}{n^{4}}[/mm]
> und deswegen [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{1}{n}=0[/mm]
>
> und [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{Q(n)}{n^{4}}=0[/mm]
>
> und damit folgt [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} a_{n}=0[/mm]
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Viele Grüße
Rainer
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Danke schön für deine Hilfe beim Lösung finden...
LG Schmetterfee
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