Grenzwertbestimmung < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:44 Mo 23.01.2012 | | Autor: | Jule2 |
| Aufgabe | Man beweise:
[mm] \limes_{y\rightarrow\0} \bruch{x^y -1}{y}=ln [/mm] x (x>0) |
Hi Liebes Forum
habe mir überlegt das y durch [mm] \bruch{1}{k} [/mm] zu ersetzen dann habe ich
[mm] \limes_{k\rightarrow\infty} \bruch{x^( \bruch{1}{k})-1}{\bruch{1}{k}}
[/mm]
[mm] =\limes_{k\rightarrow\infty} \bruch{\wurzel[k]{x}-1}{\bruch{1}{k}}
[/mm]
hier komme ich nun nicht weiter bzw weiss ich gar nicht ob mein Ansatz überhaupt stimmt??
Freu mich wenn jemand nen Tipp für mich hat
LG
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:54 Mo 23.01.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Man beweise:
> [mm]\limes_{y\rightarrow 0} \bruch{x^y -1}{y}=ln[/mm] x (x>0)
> Hi Liebes Forum
>
> habe mir überlegt das y durch [mm]\bruch{1}{k}[/mm] zu ersetzen
> dann habe ich
> [mm]\limes_{k\rightarrow\infty} \bruch{x^( \bruch{1}{k})-1}{\bruch{1}{k}}[/mm]
>
> [mm]=\limes_{k\rightarrow\infty} \bruch{\wurzel[k]{x}-1}{\bruch{1}{k}}[/mm]
>
> hier komme ich nun nicht weiter bzw weiss ich gar nicht ob
> mein Ansatz überhaupt stimmt??
bei diesem Ansatz müsstest Du anstatt der speziellen Nullfolge [mm] $(1/k)_k$ [/mm] eine "beliebige Nullfolge [mm] $(a_k)_k$ [/mm] " schreiben - denn dieser Limes muss für jede Nullfolge das Gewünschte ergeben. (Du darfst also die [mm] $a_k$ [/mm] hinschreiben und dann solltest Du im wesentlichen nur die Eigenschaft [mm] $a_k \to [/mm] 0$ benutzen!)
Ich sehe auch nicht, dass das in irgendeiner Weise in die richtige Richtung führt, sehe aber interessanterweise, dass wir bald bewiesen haben werden, dass
[mm] $$\lim_{k \to \infty} \frac{\sqrt[k]{x}-1}{1/k}=\ln(x)$$
[/mm]
gilt. Interessant! (Vor allem, weil ja bei $k [mm] \to \infty$ [/mm] Zähler und Nenner im betrachteten Bruch gegen [mm] $0\,$ [/mm] streben!)
Nun zu oben:
Auf
[mm] $$f(y)=(x^y-1)/y=(e^{y\ln(x)}-1)/y$$
[/mm]
kann man ja mal (bei $y [mm] \to [/mm] 0$) de l'Hospital draufschmeißen! (Fall [mm] "$0/0\,$".)
[/mm]
Gruß,
Marcel
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:19 Mo 23.01.2012 | | Autor: | Jule2 |
ok das wäre ja dann
[mm] \limes_{y\rightarrow\0} \bruch{y*ln(x)*e^{y*ln(x)}}{1}
[/mm]
oder??
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 23:39 Mo 23.01.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> ok das wäre ja dann
>
> [mm]\limes_{y\rightarrow 0} \bruch{y*ln(x)*e^{y*ln(x)}}{1}[/mm]
>
> oder??
wenn Du unter dem Limes (wie hier im Zitat von mir korrigiert) den Backslash vor der 0 wegläßt, sieht man auch, was da steht ^^
Das ganze ist nicht korrekt.
Beachte: Bei Dir ist nun [mm] $x\,$ [/mm] ein fester Parameter, und [mm] $y\,$ [/mm] die Variable. Stünde da nun ($r > 0$ fest)
[mm] $$g(x)=(e^{x*\ln(r)}-1)/x\,,$$
[/mm]
was bekommst Du dann mit de l'Hospital bei $x [mm] \to [/mm] 0$?
Danach beachte, dass dieses [mm] $x\,$ [/mm] in [mm] $g\,$ [/mm] dem [mm] $y\,$ [/mm] in Deiner Aufgabe, und das [mm] $r\,$ [/mm] in der Funktion [mm] $g\,$ [/mm] die Rolle des [mm] $x\,$'s [/mm] spielt.
P.S.:
Bei Deinem Ergebnis
[mm] $$\limes_{y\rightarrow 0} \bruch{\red{y*}ln(x)*e^{y*ln(x)}}{1}$$
[/mm]
hat sich ein kleiner Fehler eingeschlichen. Wenn Du den ausmerzt, wirst Du sehen, dass Du danach i.w. nur noch
[mm] $$\lim_{y \to 0}e^{y*\ln(x)}=e^{\lim_{y \to 0}y*\ln(x)}=e^{0*\ln(x)}=e^0=1$$
[/mm]
anwenden musst - diese Gleichung folgt wegen der Stetigkeit der [mm] $\exp(.)$ [/mm] an der Stelle [mm] $0\,.$
[/mm]
Gruß,
Marcel
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 08:00 Di 24.01.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo Jule,
> Hallo,
>
> > Man beweise:
> > [mm]\limes_{y\rightarrow 0} \bruch{x^y -1}{y}=ln[/mm] x
> (x>0)
schau' bitte unbedingt in Freds Post - ich habe hier vorschnell de l'Hospital angewendet (was nicht falsch wäre), obwohl man wirklich einfach nur die Ableitung einer Funktion an der Stelle [mm] $0\,$ [/mm] berechnen muss. (Ich mache sowas leider immer und immer wieder - wie gesagt: Auch, wenn's nicht falsch ist, ist's doch ein wenig unschön!)
Gruß,
Marcel
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 23:52 Mo 23.01.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Man beweise:
> [mm]\limes_{y\rightarrow 0} \bruch{x^y -1}{y}=ln[/mm] x (x>0)
wenn Du magst, kannst Du auch mit der Umformung wie eben
[mm] $$x^y=e^{y*\ln(x)}$$
[/mm]
und dann mit der Reihenentwicklung der [mm] $\exp(.)$-Funktion [/mm] arbeiten.
Gruß,
Marcel
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 06:30 Di 24.01.2012 | | Autor: | fred97 |
Für festes x>0 setze [mm] f(y):=x^y.
[/mm]
Dann gilt [mm] $\bruch{x^y -1}{y}= \bruch{f(y)-f(0)}{y-0} \to [/mm] f'(0)=1/x$ für (y [mm] \to [/mm] 0)
Edit: es ist natürlich f'(0)=ln(x)
FRED
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 07:25 Di 24.01.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo Fred,
> Für festes x>0 setze [mm]f(y):=x^y.[/mm]
>
> Dann gilt [mm]\bruch{x^y -1}{y}= \bruch{f(y)-f(0)}{y-0} \to \red{f'(0)=1/x}[/mm]
> für (y [mm]\to[/mm] 0)
Du wolltest [mm] $f'(0)=\ln(x)*e^{0*\ln(x)}=\ln(x)$ [/mm] schreiben.
Gruß,
Marcel
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 07:33 Di 24.01.2012 | | Autor: | fred97 |
> Hallo Fred,
>
> > Für festes x>0 setze [mm]f(y):=x^y.[/mm]
> >
> > Dann gilt [mm]\bruch{x^y -1}{y}= \bruch{f(y)-f(0)}{y-0} \to \red{f'(0)=1/x}[/mm]
> > für (y [mm]\to[/mm] 0)
>
> Du wolltest [mm]f'(0)=\ln(x)*e^{0*\ln(x)}=\ln(x)[/mm] schreiben.
Hallo Marcel,
klar Du hast recht. Da ging etwas durcheinander.
Gruß FRED
>
> Gruß,
> Marcel
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:59 Di 24.01.2012 | | Autor: | Jule2 |
Vielen dank für eure Hilfe!!
Grüße Jule
|
|
|
|
