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Grenzwertbestimmung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:35 So 11.11.2012
Autor: Pflaume007

Aufgabe
Untersuchen Sie die Zahlenfolgen auf Konvergenz und bestimmen Sie ggf. den Grenzwert:
a) [mm] a_{n} [/mm] = [mm] \bruch{6 n^{2} - 2 n} {n^{2} + 1} [/mm]
b) [mm] a_{n} [/mm] = [mm] \bruch{1}{3n} [/mm] sin( [mm] n^{2} [/mm] )
c) [mm] a_{n} [/mm] = [mm] \bruch{ 3^{n} }{n!} [/mm]

a) [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{6 n^{2} - 2 n} {n^{2} + 1} \to [/mm] 6.
Aber wie ich dort herangehen soll, ist mir unklar.

b) hat keinen Grenzwert, als Beweis würde ich hierbei annehmen, dass sin( [mm] n^{2} [/mm] ) einmal -1 und 1 als Grenzwerte besitzt und die Folge daher mehr als einen Grenzwert hat.

c)  [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{ 3^{n} }{n!} \to [/mm] 0. Denn [mm] 3^{n} [/mm] strebt gegen unendlich und n! doch auch, ist das ein Beweis?


Vielen lieben Dank! :)

        
Bezug
Grenzwertbestimmung: zu a.)
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:40 So 11.11.2012
Autor: Loddar

Hallo Pflaume!


> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{6 n^{2} - 2 n} {n^{2} + 1} \to[/mm]  6.

[ok]


> Aber wie ich dort herangehen soll, ist mir unklar.

Klammere in Zähler und Nenner mal jeweils [mm] $n^2$ [/mm] aus. Anschließend Grenzwertbetrachtung.


Gruß
Loddar


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Grenzwertbestimmung: Frage (reagiert)
Status: (Frage) reagiert/warte auf Reaktion Status 
Datum: 20:47 So 11.11.2012
Autor: Pflaume007

Jetzt fühle ich mich doof, aber es wird alles klar.
Wie zeige ich denn hierbei, dass die Folge konvergiert?

Bezug
                        
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Grenzwertbestimmung: Tipp beachtet?
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 20:50 So 11.11.2012
Autor: Loddar

Hallo!


Was denn nun? Ist Dir "alles klar"? Wasist dann noch unklar an der Vorgehensweise, welche ich in der ersten Antwort beschrieben habe.

Wie weit bist Du damit gekommen?


Gruß
Loddar


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Bezug
Grenzwertbestimmung: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 20:57 So 11.11.2012
Autor: Pflaume007

Also das mit dem Grenzwert von a hat sich dann fast von alleine gelöst. Wenn ich das [mm] n^2 [/mm] ausklammere, kürzt sich das weg und der Limes der beiden harmonischen Folgen, die sich dann ergeben, ist ja 0, so dass ich dann im Zähler meine 6 und im Nenner meine 1 habe und schließlich als Limes der gesamten Folge 6 erhalte.

Problem ist bloß, dass ich mir die 6 als Grenzwert mithilfe einer Funktion erarbeitet habe und nicht mithilfe einer Epsilon-Umgebung, was mir Probleme bereitet, da ich das nicht verstehe.

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Bezug
Grenzwertbestimmung: zu b.)
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:42 So 11.11.2012
Autor: Loddar

Hallo Pflaume!


> b) hat keinen Grenzwert,[

[notok] Das stimmt nicht.


> als Beweis würde ich hierbei
> annehmen, dass sin( [mm]n^{2}[/mm] ) einmal -1 und 1 als Grenzwerte
> besitzt und die Folge daher mehr als einen Grenzwert hat.

[notok] [mm] $\sin(n^2)$ [/mm] hat gar keinen Grenzwert.

Jedoch ist dieser Term beschränkt mit $-1 \ [mm] \le [/mm] \ [mm] \sin(n^2) [/mm] \ [mm] \le [/mm] \ +1$ .


Gruß
Loddar


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Bezug
Grenzwertbestimmung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:46 So 11.11.2012
Autor: Pflaume007

Ah, ok, danke! :)

Sage ich dann, dass [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{1}{3n} \to [/mm] 0 strebt, und daher [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} [/mm] sin [mm] (n^{2}) [/mm] egal ist, da die gesamte Folge damit gegen 0 strebt?

Bezug
                        
Bezug
Grenzwertbestimmung: anders formulieren
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:48 So 11.11.2012
Autor: Loddar

Hallo!


> Sage ich dann, dass [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{1}{3n} \to[/mm] 0 strebt, und daher [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}[/mm] sin [mm](n^{2})[/mm]
> egal ist, da die gesamte Folge damit gegen 0 strebt?  

Wenn Du "egal" durch "Beschränktheit von [mm] $\sin(n^2)$ [/mm] " (s.o.) ersetzst, stimmt es nahezu.


Gruß
Loddar


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Grenzwertbestimmung: zu c.)
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:46 So 11.11.2012
Autor: Loddar

Hallo Pflaume!


> c)  [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{ 3^{n} }{n!} \to[/mm] 0.

[ok] Der Grenzwert stimmt.


> Denn [mm]3^{n}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)

strebt gegen unendlich und n! doch auch, ist das

> ein Beweis?

Das ist alles andere als ein Beweis.

Demnach müssten $a_n \ = \ \bruch{n^2+1}{1}$ , $b_n \ = \ \bruch{n}{n+1}$ und $c_n \ = \ \bruch{n+1}{n^3$ auch jeweils den selben Grenzwert haben, was offensichtlich nicht stimmt.


Gruß
Loddar


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Grenzwertbestimmung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:49 So 11.11.2012
Autor: Pflaume007

Jetzt bombardiere ich Sie mit Fragen, aber erst einmal danke für die Antworten! :)
Wie kann ich denn damit umgehen, wenn Zähler und Nenner eines Bruchs gegen unendlich streben?

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Grenzwertbestimmung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:08 So 11.11.2012
Autor: Richie1401

Abend,

> Jetzt bombardiere ich Sie
> mit Fragen, aber erst einmal
> danke für die Antworten! :)
> Wie kann ich denn damit umgehen, wenn Zähler und Nenner
> eines Bruchs gegen unendlich streben?  

Du könntest zeigen, dass die Folge [mm] c_n [/mm] ab einem [mm] n_0 [/mm] monoton fällt. Beschränkt ist die Folge offensichtlich durch die Null. Daher existiert ein Grenzwert und dieser ist eben Null.

Um die Monotonie nachzuweisen betrachte die Ungleichung
[mm] \bruch{3^{n+1}}{(n+1)!}<\bruch{3^{n}}{n!} [/mm]

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