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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:46 Mo 04.11.2013 | | Autor: | capri |
| Aufgabe | Berechnen Sie die folgenden Grenzwerte:
a) [mm] \limes_{n \to \infty} n-\bruch{1}{sin(\bruch{1}{n})} [/mm] |
Hallo,
Als Grenzwert müsste laut Onlinerechner 0 rauskommen, bloß ich bekomme die Rechnung nicht hin.
Ich habe als erstes den gemeinsamen Hauptnenner gebildet und dachte mir ich wende die L´hospital regel an. aber dort störe bei mir schon die -1.
[mm] \bruch{n(sin(\bruch{1}{n})-1}{sin(\bruch{1}{n})}
[/mm]
wie löse ich das Problem ist mein Ansatz falsch? oder habe ich mich nur ein bissel verrechnet?
MfG
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Hallo capri,
> Berechnen Sie die folgenden Grenzwerte:
>
> a) [mm]\limes_{n \to \infty} n-\bruch{1}{sin(\bruch{1}{n})}[/mm]
>
> Hallo,
>
> Als Grenzwert müsste laut Onlinerechner 0 rauskommen, ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> bloß ich bekomme die Rechnung nicht hin.
>
> Ich habe als erstes den gemeinsamen Hauptnenner gebildet
> und dachte mir ich wende die L´hospital regel an. aber
> dort störe bei mir schon die -1.
Wobei stört die denn???
> [mm]\bruch{n(sin(\bruch{1}{n})-1}{sin(\bruch{1}{n})}[/mm]
>
> wie löse ich das Problem ist mein Ansatz falsch? oder habe
> ich mich nur ein bissel verrechnet?
Dein Ansatz ist ok.
Alternativ kannst Du die Reihenentwicklung des Sinus (also Fourierreihe um [mm] $x_0=0$) [/mm] verwenden.
Aber wende doch mal l'Hôpital an...
Im übrigen ist Dir wahrscheinlich bewusst, dass [mm] \sin{(x)}\approx{x} [/mm] für x nahe Null ist. Aber das wäre wieder das Thema Reihenentwicklung.
Grüße
reverend
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:08 Mo 04.11.2013 | | Autor: | capri |
kann ich $ [mm] \bruch{n(sin(\bruch{1}{n})-1}{sin(\bruch{1}{n})} [/mm] $ jetzt schon direkt l´hospital anwenden? dort steht ja noch nicht "0 durch 0" deswegen hat mich die -1 gestört. der nenner geht klar gegen 0. beim Zähler geht ja n gegen unendlich sin gegen 0 und -1 bleibt ja.
Bin gerade so ein bisschen verwirrt.
MfG
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Hallo capri,
> kann ich [mm]\bruch{n(sin(\bruch{1}{n})-1}{sin(\bruch{1}{n})}[/mm]
> jetzt schon direkt l´hospital anwenden?
Nein, nicht direkt ...
> dort steht ja noch
> nicht "0 durch 0" deswegen hat mich die -1 gestört. der
> nenner geht klar gegen 0. beim Zähler geht ja n gegen
> unendlich sin gegen 0 und -1 bleibt ja.
Jo, de l'Hôpital geht nicht, im Zähler steht "Chaos", da steht sowas wie "[mm]\infty\cdot{}0-1[/mm]" für [mm]n\to\infty[/mm]
Und [mm]\infty\cdot{}0[/mm] kann alles sein ...
Du kannst dich hier aber etwa mithilfe der Potenzreihe für den Sinus davon überzeugen, dass [mm]n\cdot{}\sin\left(1/n\right) \ \longrightarrow \ 1[/mm] für [mm]n\to\infty[/mm]
Damit hast du also doch den Fall "0/0" und kannst de l'Hôpital anwenden ...
> Bin gerade so ein bisschen verwirrt.
>
> MfG
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:35 Mo 04.11.2013 | | Autor: | capri |
Achso ^^ danke. Also geht $ [mm] n\cdot{}\sin\left(1/n\right) [/mm] \ [mm] \longrightarrow [/mm] \ 1 $ und das nochmal -1 dann habe ich "0 durch 0" stehen
wenn ich l´hospital anwende kriege ich:
[mm] sin(\bruch{1}{n}-\bruch{cos\bruch{1}{n}}{n} [/mm] durch [mm] \bruch{-cos(\bruch{1}{x})}{x^2}
[/mm]
und das hilft mir auch irgendwie nicht weiter :S
MfG
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:41 Mo 04.11.2013 | | Autor: | leduart |
Hallo
offensichlich bezieht sich dein post auf keine der Antworten. da steht doch kein L' Hopital in der ersten Antwort, in der zweiten ein anderer Vorschlag.
Gruss leduart
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:26 Mo 04.11.2013 | | Autor: | leduart |
Hallo
wenn du L'Hopital anwenden willst nimm x=1/n und den GW x gegen 0
dann 2 mal L'Hopital
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:48 Mo 04.11.2013 | | Autor: | capri |
Die Nachricht habe ich gerade erst gelesen. Also habe ich nun stehen:
[mm] \bruch{1}{x}(sin(x)-1) [/mm] durch sin(x)
L´H
[mm] -\bruch{1}{x^2}cos(x) [/mm] durch cos(x)
cos von 0 ist 1. also hätte man ja im Nenner schon 1 stehen im Zähler steht 0 also 0:1=0 stimmt das jetzt auch mit dem Rechenweg?
MfG
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:27 Mo 04.11.2013 | | Autor: | leduart |
Hallo
ich habe
[mm] \bruch{sinx-x}{x*sinx} [/mm] da stehen, also 0/0
du hast im Z erstens keine 0 und 2, seh ich deine Umformung nicht ein bzw sie ist falsch
Gruss leduart
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