Grenzwertbestimmung bei Folgen < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:24 Sa 27.03.2010 | | Autor: | kiwibox |
Hallo!
Ich bereite mich gerade auf eine Ana-Klausur vor und komme bei den folgenden Aufgaben irgendwie nicht so recht weiter. Ich würde mich freuen, wenn ich irgendwelche nützlichen Tipps von euch bekommen würde.
Die Aufgabe:
Welche der folgenden Zahlenfolgen sind konvergent, welche bestimmt divergent, welche divergent, welche monoton? Wie lautet ggf. der Grenzewert?
1. [mm] a_{n}= \bruch{1+n^{2}}{3n^{4}-n^{5}}
[/mm]
2. [mm] b_{n}= (sin(n))^{n} \bruch{1+n^{2}}{3n^{4}-n^{5}}
[/mm]
3. [mm] c_{n}= \bruch{n^{n}-n}{e^{n}-n^{e}}
[/mm]
4. [mm] d_{n}= \wurzel[2]{n^{2}+n+1}-n
[/mm]
5. [mm] e_{n}= [/mm] (1 + [mm] \bruch{1}{n})^\wurzel[2]{n}
[/mm]
6. [mm] f_{n}= \bruch{e^{n}+e^{2n}}{e^{3n}+e^{4n}}
[/mm]
Meine Überlegungen:
zu 1.) ist eine Nullfolge, weil [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{1+n^{2}}{3n^{4}-n^{5}}
[/mm]
Zähler: [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} {\bruch{1}{n^{5}}+\bruch{1}{n^{3}} = 0
Nenner: \limes_{n\rightarrow\infty} {\bruch{3}{n} -1}=-1 ist.
zu 2.) (sin(n))^{n}
ist beschränkt, zwischen -1 und 1, der andere Ausdruck ist eine Nullfolge, wie in 1.) gesehen, d.h. daraus folgt
(b_{n}) ist auch eine Nullfolge
zu 3.) dazu hatte ich bisher noch keine brauchbaren Ideen.
zu 4.) ich habe dort versucht mit der binomischen Formel weiter zu kommen, allerdings komme ich da auch nicht gescheit weiter:
\limes_{n\rightarrow\infty} \wurzel[2]{n^{2}+n+1} -n = \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{n^{2}+n+1-n}{\wurzel[2]{n^{2}+n+1} +n}} [/mm] = [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{n^{2}+1}{\wurzel[2]{n^{2}(1+\bruch{1}{n}+\bruch{1}{n^{2}} +n}} [/mm] = [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{n+\bruch{1}{n}}{\wurzel[2]{(1+\bruch{1}{n}+\bruch{1}{n^{2}}} +1}
[/mm]
im Nenner geht es gegen 2, aber was mach ich mit dem Zähler? Durch ausprobieren, müsste doch eigentlich [mm] \bruch{1}{2} [/mm] rauskommen, oder?
zu 5.) wie kann man die Folge anders schreiben? oder kann man den Grenzwert der Folge von der Folge: [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} [/mm] (1+ [mm] \bruch{z}{n})^{n}=e^{z} [/mm] irgendwie herleiten?
zu 6.) ich habe mir dazu noch nicht allzu sehr Gedanken darüber gemacht, nehme aber an, das die Folge eine Nullfolge ist, weil der Nenner größer als der Zähler ist. Aber wie soll ich das mathematisch korrekt ausdrücken?
Ich hoffe ich bekomme irgendwann den berühmten Schalter umgelegt, und verstehe es langsam...
Danke für euere Hilfe.
PS:
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:10 Sa 27.03.2010 | | Autor: | kiwibox |
gut. freut mich.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:31 Sa 27.03.2010 | | Autor: | Loddar |
Hallo kiwibox!
Hier ist Dir leider ein [mm] $(...)^2$ [/mm] durchgerutscht.
Nach Anwndung der binomischen Formel muss es heißen:
[mm] $$d_n [/mm] \ = \ ... \ = \ [mm] \bruch{n^2+n+1-n^{\red{2}}}{\wurzel{n^2+n+1}+n} [/mm] \ = \ ...$$
Gruß
Loddar
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:11 Sa 27.03.2010 | | Autor: | kiwibox |
und endlich bin auf das ergebnis gekommen, dankeschön. wie blöd ich da war...
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:32 Sa 27.03.2010 | | Autor: | Loddar |
Hallo kiwibox!
Klammere in Zähler und Nenner jeweils [mm] $e^{4n}$ [/mm] aus und kürze.
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:38 Sa 27.03.2010 | | Autor: | kiwibox |
also wenn ich dann nach deinen Tipp ausklammere, habe ich dann folgendes da stehen:
[mm] \bruch{e^{n}+e^{2n}}{e^{3n}+{e^{4n}}}=\bruch{e^{4n}(\bruch{1}{e^{3n}}+\bruch{1}{e^{2n}})} {e^{4n}(\bruch{1}{e^{n}}+1)}=\bruch{(\bruch{1}{e^{3n}}+\bruch{1}{e^{2n}})} {(\bruch{1}{e^{n}}+1)}
[/mm]
aber das sagt mir auch nicht wirklich was... [mm] \bruch{1}{e^{irgendwas}} [/mm] ist streng monoton fallend, heißt dann die Folge strebt gegen Null?
ich hatte mir auch schon gedacht, ich klammere [mm] e^{2n} [/mm] im Nenner aus und kürze dann...das wäre dann:
[mm] \bruch{e^{n}+e^{2n}}{e^{3n}+{e^{4n}}}=\bruch{e^{n}+e^{2n}}{e^{2n} (e^{n}+{e^{2n}})}=\bruch{1}{e^{2n}}
[/mm]
oder geht das nicht so? ich habe da keine Ahnung.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:08 Sa 27.03.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
Deine Idee ist viel besser als die im post. und dass [mm] e^{2n} [/mm] beliebig gross wird, darf man wohl wissen
in deiner Formel mit [mm] (1+1/n)^{\wurzel{n}} [/mm] setz [mm] n=m^2
[/mm]
und benutze [mm] 1<1+1/m^2<1+1/m [/mm] für m>1 du brauchst ja nicht den GW sondern nur ob es konvergiert?
gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:10 So 28.03.2010 | | Autor: | kiwibox |
doof. die einfachsten sachen fallen mir da nicht ein. danke für den tipp. den grenzwert brauche ich zwar auch, aber es reicht mir jetzt erstmal, wie das beweisen kann, das die folge konvergiert. dankeschön.
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