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(Frage) überfällig  | | Datum: | 17:49 Di 27.11.2007 | | Autor: | Tavaril |
| Aufgabe | Ermitteln Sie [mm] \min{M}, \max{M}, \inf{M} [/mm] und [mm] \sup{M} [/mm] für die Menge
[mm] M:=\left\{\bruch{n^2}{2^n}\in\IQ : n\in\IN\right\}\subset\IR [/mm]
Begründen Sie ihre Aussagen! |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hallo zuerstmal und schonmal im voraus danke für alle verbesserungsvorschläge!
Den Großteil der Aufgabe habe ich problemlos lösen können bin mir aber bei der Bestimmung des infimums nicht hundert prozentig sicher.
Ich habe ja im prinzip hier eine Zahlenfolge mit der explitziten Bildungsvorschrift :
[mm] x(n)=n²/(2^n)
[/mm]
Die ersten Folgenglieder sind:
x(1)=1/2 , x(2)=1 , x(3)=9/8 , x(4)=1 , ...
Ich kann zeigen, dass x(n) monoton fällt für x>3 und ich kann auch zeigen, dass x(n)>0 gilt, was ja offensichtlich ist, da nach n element N ja nur positive zahlen eingesetzt werden dürfen.
Dann sehe ich ja an den ersten Folgengliedern schon, dass maxM bei x(3) eintritt, also 9/8 ist. das ist dann auch gleichzeitig supM.
Bis hierhin richtig?
Das was mir probleme bereitet ist dann eher das infimum. Ich weiß ja aus monotonie und beschränktheit, dass es für die folge einen grenzwert geben muss, wenn man n>3 betrachtet. Und dieser Grenzwert ist dann mein Infimum, ein minimum gibt es nicht, weil der grenzwert ja nie erreicht wird.
Zu vermuten ist, dass der Grenzwert Null ist.
Das habe ich nun wie folgt gezeigt, bin mir aber nicht sicher, ob das so wirklich hinhaut.
Und zwar habe ich durch ausprobieren festgestellt, dass folgende Vorschrift gilt:
x(2n)=x(n)*1/(2^(n-2))
ich könnte also die neue Folge x(2n) in die teilfolgen x(n) und 1/(2^(n-2)) zerlegen. da es sich bei der zweiten teilfolge um eine nullfolge handelt ist Null ein Häufungspunkt der gesamtfolge x(2n).
Da x(2n) aber ja auch eine teilfolge von x(n) ist, weil ich ja im prinzip die gerade folgenglieder ab n=8 betrachte muss Null auch ein Häufungspunkt der folge x(n) sein.
da gilt: x(n)>0 und Null ein häufungspunkt ist =>
lim inf x(n)=0
Da x(n) konvergent ist gilt: lim inf x(n)=inf x(n) =0
Da hab ich mir ganz schön dran den Kopf zerbrochen..
Frage ist nun, ist das so alles richtig, wenn ich die Bildungsvorschrift die ich für x(2n) angegeben habe beweisen kann, oder ist in der Argumentation noch ein Fehler?
Vielen, vielen Danke schonmal und liebe Grüße
Tava
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:57 Mi 12.12.2007 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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