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| Aufgabe | | [mm]\limes_{x\rightarrow 0}\frac{e^x-1}{x}=1[/mm] |
Hallo!
Ich habe mich ein bisschen über diesen Grenzwert informiert, da ich ihn für den Beweis einer Ableitungsregel brauche und kann einige Schritte bei seiner Herleitung nicht verstehen.Könnte mir bitte jemand helfen?
Bei Abbruch einer Exponentialreihe kann man ja das Restglied folgendermaßen abschätzen:
[mm] e^x=\summe_{n=0}^N~\frac{x^n}{n!}+R_{N+1}(x) [/mm] wobei [mm] |R_{N+1}(x)|\le 2* \frac{|x|^{N+1}}{(N+1)!}[/mm] für alle x mit [mm]|x|\le 1+ \frac{1}{2}N [/mm]
Wenn ich das richtig verstanden habe wird dass eine Exonentialreihe nach dem 1. Glied abgebrochen(N=1)und es ensteht als Restgliedabschätzung:
[mm] |e^x-(1-x)|\le|x|^2 [/mm] für [mm] |x|\le \frac{3}{2}
[/mm]
Dann wird durch [mm] 0<|x|\le\frac{3}{2} [/mm] dividiert.
[mm] |\frac{e^x-1}{x}-1|\le|x|
[/mm]
Soll |x| so etwas vergleichbar mit [mm] \epsilon [/mm] sein, sodass die Konvergenz folgt nach dem Epsilon-Delta Kriterium?Aber ich sehe nirgends ein Delta.Oder warum folgt daraus das 1 der Limes ist?
Vielen Dank!
Gruß
Angelika
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Hallo Angelika,
warum so kompliziert?
Der Grenzwert ist mit de l'Hospital doch viel leichter zu bestimmen. Wozu muss es also die Restgliedabschätzung sein?
lg,
reverend
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:20 Mo 05.01.2009 | | Autor: | Loddar |
Hallo reverend!
Wenn ich es richtig verstanden habe, geht es hierbei gerade um den Nachweis der Ableitung für die e-Funktion. Damit halte ich es für inkonsequent, mit de l'Hospital zu arbeiten, da ich dafür ja gerade wieder die gesuchte Ableitung benötige.
Gruß
Loddar
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:32 Mo 05.01.2009 | | Autor: | reverend |
Hallo Loddar,
davon stand nichts da...
Wenn tatsächlich das Ziel ist, die allgemeine Ableitung der Exponentialfunktion zu ermitteln, dann gäbe es aber auch einen einfacheren Weg als die Restgliedabschätzung! Die unendliche Reihe ist da viel ergiebiger.
lg,
reverend
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:33 Mo 05.01.2009 | | Autor: | Loddar |
Hallo Angelika!
Du kannst auch gleich in den Bruch [mm] $\bruch{e^x-1}{x}$ [/mm] die Potenzreihe für die e-Funktion einsetzen:
[mm] $$\bruch{e^x-1}{x} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{\summe_{k=0}^{\infty}\bruch{x^k}{k!}-1}{x} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{1+x+\bruch{x^2}{2}+\bruch{x^3}{6}+...-1}{x} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{x+\bruch{x^2}{2}+\bruch{x^3}{6}+...}{x} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{x}{x}+\bruch{\bruch{x^2}{2}}{x}+\bruch{\bruch{x^3}{6}}{x}+... [/mm] \ = \ 1+ [mm] \bruch{x}{2}+\bruch{x^2}{6}+...$$
[/mm]
Nun die Grenzwertbetrachtung für [mm] $x\rightarrow [/mm] 0$ ...
Loddar
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Hallo nochmal und danke für die unkomplizierte Idee!
Stimmt, ich brauche den Grenzwert für die Herleitung der Ableitungsregel für die Exponentialfunktion. Obwohl ich deinen Beweis wegen seiner Einfachheit vorziehe, bin ich neugierig, was die Beweiskraft im Forster-Beweis ausmacht.Hat es etwas mit dem Delta-Epsilon Kriterium zu tun, oder ist die ganze Sache sehr kompliziert?Kann mir da bitte noch jemand eine Auskunft geben?
Gruß
Angelika
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Tut mir leid, dass ich immer noch nicht verstehe, wozu die Restgliedabschätzung gemacht wird.
Wenn die Ableitung von [mm] e^x [/mm] nicht vorausgesetzt werden darf, wohl aber die Reihenentwicklung der Funktion, dann ist der Weg doch viel einfacher zu gehen:
Es ist [mm] e^x=\summe_{i=0}^{\infty}\bruch{x^i}{i!}=1+\summe_{i=1}^{\infty}\bruch{x^i}{i!}\ \Rightarrow\ (e^x)'=\summe_{i=1}^{\infty}\bruch{i\cdot x^{i-1}}{i!}=\summe_{i=1}^{\infty}\bruch{x^{i-1}}{(i-1)!}=\summe_{j=0}^{\infty}\bruch{x^j}{j!}=e^x
[/mm]
wzzw.
Übersehe ich etwas? Wozu noch [mm] \limes_{x\rightarrow 0}\bruch{e^x-1}{x} [/mm] bilden?
Grüße,
rev
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Keine Ahnung, warum es im Forster so gemacht wird?
Wahrscheinlich, weil an dieser Stelle auch die Potenzregel(die du ja verwendet hast, oder?) noch nicht bewiesen wurde.Jedenfallls danke für die Alternativen!
GRuß
Angelika
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Danke Loddar!
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> So, jetzt habe ich mal meinen alten Forster (4. Auflage,
> gekauft 1991  ) hervorgekramt ...
Ich weiß deine Mühe wirklich zu schätzen!!Nun habe ich es dank deiner Limesbetrachtung perfekt verstanden.Außerdem half es mir den Grenzwert [mm] \limes_{x\rightarrow0}\frac{sin(x)}{x}=1 [/mm] zu verstehen, der ähnlich hergeleitet wird.
Gruß
Angelika
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:30 Mi 07.01.2009 | | Autor: | Loddar |
Hallo Angelika!
> Nun habe ich es dank deiner Limesbetrachtung perfekt verstanden.
Fein ...
> Außerdem half es mir den Grenzwert [mm]\limes_{x\rightarrow0}\frac{\sin(x)}{x}=1[/mm] zu verstehen, der
> ähnlich hergeleitet wird.
Hier habe ich es mal versucht, diesen Grenzwert geometrisch herzuleiten.
Gruß
Loddar
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![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]"){kind=small}
Richtig erkannt!
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]"){kind=small}
Njain! Anschaulich betrachtet schon ...
