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| Aufgabe | Sei [mm] {a_n} [/mm] eine Nullfolge mit [mm] a_n [/mm] > -1 für alles n [mm] \in [/mm] N. Zeigen sie mit Hilfe der Grenzwertdefinition :
lim [mm] \wurzel{1 + a_n} [/mm] = 1
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Hi,
also ich bin soweit gekommen:
Da [mm] {a_n} [/mm] eine Nullfolge ist gilt:
| [mm] a_n [/mm] - 0 | < [mm] \varepsilon [/mm] <=> | [mm] a_n [/mm] | < [mm] \varepsilon [/mm] <=> | [mm] a_n [/mm] + 1 - 1 | < [mm] \varepsilon [/mm] hierraus folgt ja schon mal dass lim [mm] a_n [/mm] + 1 = 1
Jetzt weiß ich aber nicht, wie ich noch die Wurzel da rein bekommen kann? Oder ginge es vielleicht so :
| [mm] \wurzel{a_n + 1} [/mm] - 1 | < | [mm] a_n [/mm] + 1 - 1 | < [mm] \varepsilon [/mm] ? Was ja genau das zeigen würde was ich brauche..
Viele Grüße
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:55 Sa 24.04.2010 | | Autor: | abakus |
> Sei [mm]{a_n}[/mm] eine Nullfolge mit [mm]a_n[/mm] > -1 für alles n [mm]\in[/mm] N.
> Zeigen sie mit Hilfe der Grenzwertdefinition :
> lim [mm]\wurzel{1 + a_n}[/mm] = 1
>
> Hi,
> also ich bin soweit gekommen:
> Da [mm]{a_n}[/mm] eine Nullfolge ist gilt:
> | [mm]a_n[/mm] - 0 | < [mm]\varepsilon[/mm] <=> | [mm]a_n[/mm] | < [mm]\varepsilon[/mm] <=> |
> [mm]a_n[/mm] + 1 - 1 | < [mm]\varepsilon[/mm] hierraus folgt ja schon mal
> dass lim [mm]a_n[/mm] + 1 = 1
> Jetzt weiß ich aber nicht, wie ich noch die Wurzel da
> rein bekommen kann? Oder ginge es vielleicht so :
Hallo,
definiere doch einfach die Folge [mm] b_n [/mm] mit [mm] b_n=[/mm] [mm]\wurzel{a_n + 1}[/mm]
Jetzt musst du zeigen, dass ab einem bestimmten n die Ungleichung
[mm] |b_n -1|<\epsilon [/mm] gilt, also dass [mm]|\wurzel{a_n + 1}-1|<\epsilon[/mm] gilt.
Um hier die Beträge loszuwerden, ist eine Falluntertscheidung für
[mm] a_n+1>1 [/mm] bzw. [mm] a_n+1<1 [/mm] erforderlich.
Im Fall [mm] a_n+1>1 [/mm] (also für [mm] a_n>0) [/mm] gilt dann auch
[mm] \wurzel{a_n + 1}-1<\epsilon
[/mm]
[mm] \wurzel{a_n + 1}<1+\epsilon
[/mm]
[mm] a_n+1<1+2\epsilon +\epsilon^2
[/mm]
[mm] a_n<2\epsilon +\epsilon^2
[/mm]
Preisfrage: Gilt das ab einer bestimmten Nummer n??
Gruß Abakus
> | [mm]\wurzel{a_n + 1}[/mm] - 1 | < | [mm]a_n[/mm] + 1 - 1 | < [mm]\varepsilon[/mm] ?
> Was ja genau das zeigen würde was ich brauche..
>
> Viele Grüße
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