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Grenzwerte: Übung
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:52 Fr 10.01.2014
Autor: capri

Aufgabe
Berechne folgende Grenzwerte:

a)  [mm] \limes_{x \to 1} x^\bruch{1}{x-1} [/mm]

Hallo,

erstens sorry wegen der schreibweise aber anders hat es nicht funktioniert. :(

soll heißen: x hoch 1 durch x-1.

ich habe hier die Lösung aber ich verstehe das nicht genau.

Lösung: (a) Wir schreiben den Ausdruck mittels exp und ln-Funktion um und ziehen den Limes in den
Exponenten (exp ist stetig). Mit Logarithmusgesetzen und der Regel von
L’Hospital gilt:

[mm] \limes_{x \to 1} x^\bruch{1}{x-1} [/mm] = [mm] e^\limes_{x \to 1} x^\bruch{ln(x)}{x-1} [/mm]


ich verstehe diesen schritt nicht, danach machen wir ja L´Hospital und das Ergebnis ist e. aber diesen ersten schritt verstehe ich nicht.

warum machen wir daraus ein e hoch und woher kommt das Ln?


Liebe Grüße

        
Bezug
Grenzwerte: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:05 Fr 10.01.2014
Autor: DieAcht

Hallo,


> Berechne folgende Grenzwerte:
>
> a)  [mm]\limes_{x \to 1} x^\bruch{1}{x-1}[/mm]
>  Hallo,
>  
> erstens sorry wegen der schreibweise aber anders hat es
> nicht funktioniert. :(
>  
> soll heißen: x hoch 1 durch x-1

Sieht prima aus. [ok]

>  
> ich habe hier die Lösung aber ich verstehe das nicht
> genau.
>  
> Lösung: (a) Wir schreiben den Ausdruck mittels exp und
> ln-Funktion um und ziehen den Limes in den
>  Exponenten (exp ist stetig). Mit Logarithmusgesetzen und
> der Regel von
> L’Hospital gilt:
>  
> [mm]\limes_{x \to 1} x^\bruch{1}{x-1}[/mm] = [mm]e^\limes_{x \to 1} x^\bruch{ln(x)}{x-1}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)


>  
>
> ich verstehe diesen schritt nicht, danach machen wir ja
> L´Hospital und das Ergebnis ist e. aber diesen ersten
> schritt verstehe ich nicht.
>
> warum machen wir daraus ein e hoch und woher kommt das Ln?
>  

Es gilt:

      $e^{\ln(x)}=\ln(e^x})=x*\ln(e)=x$

Beachte dabei:

      $\ln(x^{a})=a\ln(x)$

      $\ln(e)=1$

Demnach gilt:

      $x^\bruch{1}{x-1}=e^{\ln{x^\bruch{1}{x-1}}}=e^{\bruch{1}{x-1}\ln(x)}=e^{\bruch{\ln(x)}{x-1}}$

Für $x\to1$ hast du im Exponenten den Fall \frac{0}{0} und dieses kannst du dann, wie du schon gesagt hast, mit L'Hospital verarzten.

>
> Liebe Grüße


Gruß
DieAcht

Bezug
                
Bezug
Grenzwerte: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 18:14 Fr 10.01.2014
Autor: capri

ok dankee

Bezug
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