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Wie entscheidet man denn bei gebrochenrationalen Funktionen von wo (also von oben oder von unten) sich die Funktion einem (endlichen: 0 oder a) Grenzwert (für x [mm] \to \infty) [/mm] nähert?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:36 Di 18.09.2018 | | Autor: | leduart |
Hallo
kannst du deine Frage präzisieren, am besten an Beispielen, denn eigentlich kannst du dir doch die fkt plotten lassen oder skizzieren und siehst es dann?
Gruß ledum
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(Antwort) fertig | | Datum: | 07:58 Di 18.09.2018 | | Autor: | chrisno |
Eine Möglichkeit ist die Ableitung, die gibt ja an, ob die Funktionswerte steigen oder fallen.
Die nächste Möglichkeit setzt voraus, dass Du schon über die Lage der Extrema und Polstellen Bescheid weißt. Dann must Du nur einen Funktionswert an einer passenden Stelle berechnen, dass heißt außerhalb des Intervalls, in dem alle Extrema und Polstellen liegen.
Dann kannst Du natürlich auch noch die Ungleichung hinschreiben und auflösen, um zu schauen, ob sie korrekt ist.
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Ok, danke; Also über andere Werkzeuge der Kurvendiskussion; aber im Rahmen der Grenzwertbetrachtung ist dies bei gebrochenrationalen Funktionen (z.B.: [mm] f(x)=\bruch{3x^{4}+x^{3}+1}{2x^{4}-6x+18}) [/mm] nicht möglich?
So wie dies bei solchen Funktionen möglich ist:
[mm] \limes_{x\rightarrow +\infty}((\bruch{1}{x-3})*e^{-x})=0^{+}(Funktionsgraph [/mm] nähert sich von oben der x-Achse an)
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:49 Do 20.09.2018 | | Autor: | fred97 |
> Ok, danke; Also über andere Werkzeuge der
> Kurvendiskussion; aber im Rahmen der Grenzwertbetrachtung
> ist dies bei gebrochenrationalen Funktionen (z.B.:
> [mm]f(x)=\bruch{3x^{4}+x^{3}+1}{2x^{4}-6x+18})[/mm] nicht möglich?
Zunächst sollte klar sein, dass $f(x) [mm] \to [/mm] 3/2$ geht für $x [mm] \to \infty$.
[/mm]
Nun willst Du entscheiden ob f von oben oder von unten gegen 3/2 konvergiert.
Dazu betrachten wir, wegen $x [mm] \to \infty$, [/mm] "große" x , und zwar so groß, dass [mm] $2x^4-6x+18 [/mm] >0$ ist.
Dann ist zu entscheiden ob für solche x der Quotient
[mm] \bruch{3x^{4}+x^{3}+1}{2x^{4}-6x+18} [/mm] > 3/2 oder < 3/2 ist.
Schauen wir uns die Ungleichung
[mm] \bruch{3x^{4}+x^{3}+1}{2x^{4}-6x+18} [/mm] > 3/2
an. Diese ist äquivalent zu
[mm] 6x^4+2x^3+2 [/mm] > [mm] 6x^4-18x+54.
[/mm]
Das ist gleichbedeutend mit [mm] 2x^3+18x>52., [/mm] was für x>3 richtig ist.
Fazit: f konvergiert von oben gegen 3/2.
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> So wie dies bei solchen Funktionen möglich ist:
> [mm]\limes_{x\rightarrow +\infty}((\bruch{1}{x-3})*e^{-x})=0^{+}(Funktionsgraph[/mm]
> nähert sich von oben der x-Achse an)
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