matheraum.de
Raum für Mathematik
Offene Informations- und Nachhilfegemeinschaft

Für Schüler, Studenten, Lehrer, Mathematik-Interessierte.
Hallo Gast!einloggen | registrieren ]
Startseite · Forum · Wissen · Kurse · Mitglieder · Team · Impressum
Navigation
 Startseite...
 Neuerdings beta neu
 Forum...
 vorwissen...
 vorkurse...
 Werkzeuge...
 Nachhilfevermittlung beta...
 Online-Spiele beta
 Suchen
 Verein...
 Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status Mathe
  Status Schulmathe
    Status Primarstufe
    Status Mathe Klassen 5-7
    Status Mathe Klassen 8-10
    Status Oberstufenmathe
    Status Mathe-Wettbewerbe
    Status Sonstiges
  Status Hochschulmathe
    Status Uni-Analysis
    Status Uni-Lin. Algebra
    Status Algebra+Zahlentheo.
    Status Diskrete Mathematik
    Status Fachdidaktik
    Status Finanz+Versicherung
    Status Logik+Mengenlehre
    Status Numerik
    Status Uni-Stochastik
    Status Topologie+Geometrie
    Status Uni-Sonstiges
  Status Mathe-Vorkurse
    Status Organisatorisches
    Status Schule
    Status Universität
  Status Mathe-Software
    Status Derive
    Status DynaGeo
    Status FunkyPlot
    Status GeoGebra
    Status LaTeX
    Status Maple
    Status MathCad
    Status Mathematica
    Status Matlab
    Status Maxima
    Status MuPad
    Status Taschenrechner

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Dt. Schulen im Ausland: Mathe-Seiten:Weitere Fächer:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
StartseiteMatheForenUni-AnalysisGrenzwerte
Foren für weitere Schulfächer findest Du auf www.vorhilfe.de z.B. Geschichte • Erdkunde • Sozialwissenschaften • Politik/Wirtschaft
Forum "Uni-Analysis" - Grenzwerte
Grenzwerte < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Uni-Analysis"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien

Grenzwerte: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 22:21 Fr 13.01.2006
Autor: Michael1982

Aufgabe
Gegeben seinen die Funktionen f: [mm] \IR^{2} \{(0,0)} [/mm]  ->  [mm] \IR [/mm] mit f(x,y) =  [mm] \bruch{|sin(x^{2}-y) |}{x^{2} + y^{2}} [/mm] und [mm] \bruch{xy)}{x^{2} + y^{2}}. [/mm]
Bestimmen Sie die Grenzwerte
[mm] \limes_{x\rightarrow\ 0 }(\limes_{y\rightarrow\ 0 }f(x,y)), \limes_{y\rightarrow\ 0 }(\limes_{x\rightarrow\ 0 }f(x,y)) [/mm] und [mm] \limes_{x,y\rightarrow\ 0,0 }f(x,y)), [/mm] sofern sie existieren - oder zeigen Sie, dass sie nicht existieren.

Hallo,
ich hab das mit den Grenzwerten noch nicht so ganz richtig verstanden. Kannst du mit bitte sagen ob ich hier richtig gerechnet habe.
Zuerst [mm] \limes_{x\rightarrow\ 0 }(\limes_{y\rightarrow\ 0 }\bruch{|sin(x^{2}-y) |}{x^{2} + y^{2}} )=\limes_{x\rightarrow\ 0 }(\limes_{y\rightarrow\ 0 }\bruch{|((x^{2}-y)- \bruch{1}{6}(x^{2}-y)^{3}+...)|}{x^{2} + y^{2}} )=\limes_{x\rightarrow\ 0 }(\bruch{|((x^{2})- \bruch{1}{6}(x^{2})^{3}+...)|}{x^{2}} [/mm] )=1 - hier bin ich mir recht sicher, dass das stimmt. Dann [mm] \limes_{y\rightarrow\ 0 }(\limes_{x\rightarrow\ 0 }\bruch{|sin(x^{2}-y) |}{x^{2} + y^{2}} )=\limes_{y\rightarrow\ 0 }(\limes_{x\rightarrow\ 0 }\bruch{|((x^{2}-y)- \bruch{1}{6}(x^{2}-y)^{3}+...)|}{x^{2} + y^{2}} )=\limes_{y\rightarrow\ 0 }(\bruch{|(-y)- \bruch{1}{6}(-y)^{3}+...)|}{x^{2} + y^{2}} [/mm] )= [mm] \infty. [/mm]
Aber bei [mm] \limes_{x,y\rightarrow\ 0,0 }f(x,y)) [/mm] weiß ich dann nicht mehr recht wie man vorgeht. Kann ich hier x und y mit z substituieren und dann z gegen Null laufen lassen. In Büchern hab ich auch gesehen, dass die das mit Polarkoordinaten machen, aber da weis ich wegen dem Betrag und dem Sinus in der Funktion auch nicht wie man vorgeht. Kann ich schon aus den beiden Grenzwerten die Vorraussage machen, dass die Funktion keinen Grenzwert hat? Da die gegen zwei verschiedene Werte laufen?
Bei der zweiten Funktion [mm] \bruch{xy)}{x^{2} + y^{2}} [/mm] ist ja schon immer der erste Grenzwert Null [mm] \limes_{x\rightarrow\ 0 }\bruch{xy)}{x^{2} + y^{2}} [/mm] und [mm] \limes_{y\rightarrow\ 0 }(\bruch{xy)}{x^{2} + y^{2}} [/mm] )), muss dann muss [mm] \limes_{x\rightarrow\ 0 }0, \limes_{y\rightarrow\ 0 }0 [/mm] ja auch Null sein, oder???
Und und [mm] \limes_{x,y\rightarrow\ 0,0 }\bruch{xy)}{x^{2} + y^{2}}) [/mm] gibt wenn ich x und y mit z subtituiere und z gegen Null laufen lasse 0,5. Dass würde wieder heißen, dass es keinen Grenzwert gibt, oder???

Danke schon mal für die hilfe


        
Bezug
Grenzwerte: Hinweis
Status: (Antwort) fehlerhaft Status 
Datum: 23:51 Fr 13.01.2006
Autor: kunzm

Hallo,

Also bezüglich der ersten Funktion:

[mm] $f(x,y)=\frac{\left|\sin(x^2+y^2)\right|}{x^2+y^2}=\left|\frac{\sin(x^2+y^2)}{x^2+y^2}\right|$ [/mm]

bekomme ich für beide Varianten den Grenzwert eins. Das scheint auch irgendwie einsichtig, wenn man betrachtet:

[mm] $y\rightarrow [/mm] 0$:

[mm] $\frac{x^2-\frac{1}{6}(x^2)^3+...}{x^2}=\frac{x^2-\frac{1}{6}x^5+...}{x^2}=1-\frac{1}{6}x^3+...$ [/mm]

und genauso für [mm] $x\rightarrow [/mm] 0$:

[mm] $\frac{y^2-\frac{1}{6}(y^2)^3+...}{y^2}=\frac{y^2-\frac{1}{6}y^5+...}{y^2}=1-\frac{1}{6}y^3+...$ [/mm]

Wenn man beide Variablen gleichzeitig gegen Null laufen lässt, sollte dann eben auch der Grenzwert eins herauskommen. Das gleiche gilt für die zweite Aufgabe, da ist der Grenzwert nur eben Null.

Das mit der Substitution ist bei der ersten Aufgabe auf jeden Fall nicht verkehrt wie man leicht nachrechnen kann, jedoch bei der zweiten auch schon ein bisschen aufwendig. Allgemein geht das Substituieren, allerdings ist immer Vorsicht geboten.

Grüße, Martin


Bezug
                
Bezug
Grenzwerte: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 13:52 Sa 14.01.2006
Autor: Michael1982

Hi, du hast dich da in meiner Aufgabenstellung verlesen. Die Funktion der Aufgabe lautet f(x,y) =  [mm] \bruch{|sin(x^{2}-y) |}{x^{2} + y^{2}} [/mm] und nicht f(x,y) =  [mm] \bruch{|sin(x^{2}-y^{2}) |}{x^{2} + y^{2}}. [/mm]

Bezug
                
Bezug
Grenzwerte: Korrektur
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 15:35 So 15.01.2006
Autor: kunzm

Entschuldige bitte,

das habe ich in der Tat nicht bemerkt. Dann sind Deine Ausführungen natürlich richtig. Der Grenzwert der ersten Aufgabe existiert dann nicht für [mm] $x,y\rightarrow [/mm] 0$!

Gruß, Martin

Bezug
        
Bezug
Grenzwerte: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:27 Mo 16.01.2006
Autor: Julius

Hallo Michael!

> Gegeben seinen die Funktionen f: [mm]\IR^{2} \{(0,0)}[/mm]  ->  [mm]\IR[/mm]

> mit f(x,y) =  [mm]\bruch{|sin(x^{2}-y) |}{x^{2} + y^{2}}[/mm] und
> [mm]\bruch{xy)}{x^{2} + y^{2}}.[/mm]
>  Bestimmen Sie die Grenzwerte
>  [mm]\limes_{x\rightarrow\ 0 }(\limes_{y\rightarrow\ 0 }f(x,y)), \limes_{y\rightarrow\ 0 }(\limes_{x\rightarrow\ 0 }f(x,y))[/mm]
> und [mm]\limes_{x,y\rightarrow\ 0,0 }f(x,y)),[/mm] sofern sie
> existieren - oder zeigen Sie, dass sie nicht existieren.

>  Zuerst [mm]\limes_{x\rightarrow\ 0 }(\limes_{y\rightarrow\ 0 }\bruch{|sin(x^{2}-y) |}{x^{2} + y^{2}} )=\limes_{x\rightarrow\ 0 }(\limes_{y\rightarrow\ 0 }\bruch{|((x^{2}-y)- \bruch{1}{6}(x^{2}-y)^{3}+...)|}{x^{2} + y^{2}} )=\limes_{x\rightarrow\ 0 }(\bruch{|((x^{2})- \bruch{1}{6}(x^{2})^{3}+...)|}{x^{2}}[/mm]
> )=1 - hier bin ich mir recht sicher, dass das stimmt.

[ok]

Ich empfinde es nur als etwas umständlich so mit mehrdimensionalem Taylor, obwohl es mathematisch sehr schön so ist. Man hätte aber auch sukzessive mit eindimensionalem Taylor oder de l'Hospital arbeiten können.

> Dann
> [mm]\limes_{y\rightarrow\ 0 }(\limes_{x\rightarrow\ 0 }\bruch{|sin(x^{2}-y) |}{x^{2} + y^{2}} )=\limes_{y\rightarrow\ 0 }(\limes_{x\rightarrow\ 0 }\bruch{|((x^{2}-y)- \bruch{1}{6}(x^{2}-y)^{3}+...)|}{x^{2} + y^{2}} )=\limes_{y\rightarrow\ 0 }(\bruch{|(-y)- \bruch{1}{6}(-y)^{3}+...)|}{x^{2} + y^{2}}[/mm]
> )= [mm]\infty.[/mm]

[ok]

>  Aber bei [mm]\limes_{x,y\rightarrow\ 0,0 }f(x,y))[/mm] weiß ich
> dann nicht mehr recht wie man vorgeht. Kann ich hier x und
> y mit z substituieren und dann z gegen Null laufen lassen.
> In Büchern hab ich auch gesehen, dass die das mit
> Polarkoordinaten machen, aber da weis ich wegen dem Betrag
> und dem Sinus in der Funktion auch nicht wie man vorgeht.
> Kann ich schon aus den beiden Grenzwerten die Vorraussage
> machen, dass die Funktion keinen Grenzwert hat? Da die
> gegen zwei verschiedene Werte laufen?

Ja, das hätte man so argumentieren können.

>  Bei der zweiten Funktion [mm]\bruch{xy)}{x^{2} + y^{2}}[/mm] ist ja
> schon immer der erste Grenzwert Null [mm]\limes_{x\rightarrow\ 0 }\bruch{xy)}{x^{2} + y^{2}}[/mm]
> und [mm]\limes_{y\rightarrow\ 0 }(\bruch{xy)}{x^{2} + y^{2}}[/mm]
> )), muss dann muss [mm]\limes_{x\rightarrow\ 0 }0, \limes_{y\rightarrow\ 0 }0[/mm]
> ja auch Null sein, oder???

[ok]

>  Und und [mm]\limes_{x,y\rightarrow\ 0,0 }\bruch{xy)}{x^{2} + y^{2}})[/mm]
> gibt wenn ich x und y mit z subtituiere und z gegen Null
> laufen lasse 0,5. Dass würde wieder heißen, dass es keinen
> Grenzwert gibt, oder???

[ok]

Liebe Grüße
Julius
  

Bezug
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Uni-Analysis"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien


^ Seitenanfang ^
www.matheraum.de
[ Startseite | Forum | Wissen | Kurse | Mitglieder | Team | Impressum ]