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| Aufgabe | Berechne den Grenzwert!
[mm] \summe_{n=1}^{\infty} n^{n} x^{n} [/mm] |
Hallo!!
Ich hab das mit dem Quotientenkriterium gemacht, aber komme nur bis zu dem Punkt wo dann steht:
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{(n+1)^{n+1}x}{n^{n}}
[/mm]
Wie kann ich aber jetzt vereinfachen um den Grenzwert abzulesen?
Danke für eure Hilfe
Gruß
greekgirl
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo greekgirl!
Zum einen brauchst Du beim Quotientenkriterium den Term [mm] $x^n$ [/mm] nicht berücksichtigen; sondern lediglich die Koeffizientenfolge (hier: [mm] $n^n$ [/mm] ).
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{(n+1)^{n+1}}{n^{n}}[/mm]
Erweitere diesen Ausdruck mit $n_$ zu:
[mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{n*(n+1)^{n+1}}{n*n^{n}} \ = \ \limes_{n\rightarrow\infty} n*\bruch{(n+1)^{n+1}}{n^{n+1}} \ = \ \limes_{n\rightarrow\infty} n*\left(\bruch{n+1}{n}\right)^{n+1} \ = \ \limes_{n\rightarrow\infty} n*\left(1+\bruch{1}{n}\right)^{n+1} \ = \ \limes_{n\rightarrow\infty} n*\left(1+\bruch{1}{n}\right)^{n}*\left(1+\bruch{1}{n}\right) \ = \ ...[/mm]
Wie lautet also nun der Grenzwert?
Gruß vom
Roadrunner
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Ich glaube ich muss dich enttäuschen.Ich hab zwar deine Schritte verstanden, aber hab leider keine Ahnung wie ich auf den Grenzwert kommen soll!! :_(
Gruß
greekgirl
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:44 Mo 26.06.2006 | | Autor: | greekgirl |
Ist der Grenzwert vielleicht 1??
Ich meine ja nur...vielleicht!!!!Kann aber auch total falsch sein
Gruß
greekgirl
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Hallo greekgirl!
Betrachte die drei Faktoren $n$ , [mm] $\left(1+\bruch{1}{n}\right)^{n}$ [/mm] und [mm] $\left(1+\bruch{1}{n}\right)$ [/mm] separat.
Dabei sollte jedoch folgender Grenzwert bekannt sein: [mm] $\limes_{n\rightarrow\infty} \left(1+\bruch{1}{n}\right)^{n} [/mm] \ = \ e$ .
Gruß vom
Roadrunner
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Wenn ich einmal festgefahren bin, dann fällt es mir schwer etwas zu verstehen.danke für deine hilfe!!!
d.h dann:
n [mm] \to \infty
[/mm]
1+ [mm] \bruch{1}{n} \to [/mm] 1 , da [mm] \bruch{1}{n} \to [/mm] 0
(1+ [mm] \bruch{1}{n})^{n} [/mm] was ist aber damit...auch [mm] \to [/mm] 1
gruß
greekgirl
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ja stimmt... [mm] \to [/mm] e
aber wie bestimme ich jetzt meinen Grenzwert, damit ich den Konvergenzbereich und den Konvergenzradius bestimmen kann???
Gruß
greekgirl
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Hallo greekgirl!
Fassen wir nun die 3 Faktoren zu einem Grenzwert zusammen, so erhalten wir:
$q \ = \ [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\left|\bruch{a_{n+1}}{a_n}\right| [/mm] \ = \ ... \ = \ [mm] \infty*e*1 [/mm] \ = \ [mm] \infty [/mm] \ [mm] \red{> \ 1}$ [/mm] .
Damit hast Du nun gezeigt, dass diese Reihe divergiert.
Der Konvergenzradius $R_$ berechnet sich wiederum wie eben:
$R \ = \ [mm] \bruch{1}{q} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{1}{\infty} [/mm] \ = \ 0$
Also konvergiert diese Reihe lediglich für den (Trivial-)Fall $x \ = \ 0$ :
[mm] $\summe_{n=0}^{\infty}n^n*x^n [/mm] \ = \ [mm] \summe_{n=0}^{\infty}n^n*0^n [/mm] \ = \ [mm] \summe_{n=0}^{\infty}n^n*0 [/mm] \ = \ \ = \ [mm] \summe_{n=0}^{\infty}0 [/mm] \ = \ 0+0+0+... \ = \ 0$
In allen anderen Fällen existiert kein Grenzwert der Reihe, da diese dann divergiert.
Gruß vom
Roadrunner
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:31 Mo 26.06.2006 | | Autor: | greekgirl |
aber was ist mit dem x??nimmt man keinen Bezug mehr darauf??
gruß
greekgirl
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:33 Mo 26.06.2006 | | Autor: | greekgirl |
Hallo roadrunner!!
Beachte meine Frage von vorhin nicht!!!!
Danke für alles!!
gruß
greekgirl
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Siehe hierzu meinen 