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| Aufgabe | Berechnen Sie folgende Grenzwerte :
1. [mm] \limes_{x\rightarrow\ 1 } \bruch{1+\cos (\pi x)}{x^2-2x+1}
[/mm]
2. [mm] \limes_{x\rightarrow\ 0 } \bruch{\ln (\cos x)}{x^2}
[/mm]
3. [mm] \limes_{n\rightarrow\infty } n*(e-(1+\bruch{1}{n})^n)
[/mm]
4. [mm] \limes_{x\rightarrow\ 0 }(x^x)^x
[/mm]
5. [mm] \limes_{x\rightarrow\infty }(x^x)^x
[/mm]
6. [mm] \limes_{x\rightarrow\ 0 }x^{(x^x)}
[/mm]
7. [mm] \limes_{x\rightarrow\infty }x^{(x^x)} [/mm] |
Hallo zusammen !
Kann mir jemand hierbei helfen, diese Grenzwerte zu berechnen ? Habe leider keine Ahnung, nach welchen Regeln ich hier vorzugehen habe !
Bei 4. würde ich mal sagen, daß der Grenzwert 1 ist, da [mm] x^x [/mm] hoch 0 immer 1 ist. Bloß würde das als Erklärung reichen ?
Wäre sehr nett von euch, wenn mir hierbei einer ein bisschen helfen könnte !
Vielen lieben Dank schon mal jetzt !
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:04 Di 11.07.2006 | | Autor: | Auric |
Ich hätte dazu noch eine Frage. Man müsste manches doch auch ohne l´hopital machen können?
Ich habe ein paar Aufgaben bei denen man z.B
[mm] \limes_{x\rightarrow }(x [/mm] gegen [mm] 1)\bruch{x^3-1}{x-1} [/mm] berechnen soll und zwar ohne l´hoptial.
Wie macht man denn sowas? Irgendwie erweitern?
das gleiche mit
[mm] \limes_{x\rightarrow\infty} \bruch{ \wurzel{x}}{1+x}
[/mm]
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:09 Di 11.07.2006 | | Autor: | Loddar |
Hallo Auric!
> [mm]\limes_{x\rightarrow 1}\bruch{x^3-1}{x-1}[/mm]
Führe hier die entsprechende  Polynomdivision durch.
> [mm]\limes_{x\rightarrow\infty} \bruch{ \wurzel{x}}{1+x}[/mm]
Klammere hier die höchste Potenz von $x_$ , also [mm] $x^1$ [/mm] aus und kürze anschließend.
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:15 Di 11.07.2006 | | Autor: | Auric |
Das 2te versteh ich nicht. Wie soll ich denn unter der Wurzel was ausklammer?
Gibts für sowas überhaupt irgendeine Regel?
Ich wälze grad mein Skript und ein Mathe Buch, aber da steht auch nicht wirklich irgendwas brauchbares drin.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:01 Di 11.07.2006 | | Autor: | Loddar |
Hallo Auric!
[mm] $\bruch{ \wurzel{x}}{1+x} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{ x^{\bruch{1}{2}} }{1+x^1} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{x^1* x^{-\bruch{1}{2}} }{x^1*\left(x^{-1}+1\right)} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{x^{-\bruch{1}{2}} }{x^{-1}+1} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{\bruch{1}{x^{\bruch{1}{2}}} }{\bruch{1}{x}+1} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{\bruch{1}{\wurzel{x}} }{\bruch{1}{x}+1}$
[/mm]
Und nun die Grenzwertbetrachtung für [mm] $x\rightarrow\infty$ [/mm] ...
Gruß
Loddar
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:05 Di 11.07.2006 | | Autor: | Auric |
AHA!
Danke.
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Vielen Dank erstmal für die schnelle Antwort  !
Ok, hätt auch selber auf das mit dem L´Hospital kommen können. Hab das jetzt mal mit 1. versucht, aber irgendwie geht das nicht so ganz (denk ich) !
[mm] \limes_{x\rightarrow\ 1 } \bruch{1+cos( \pi x)}{x^2-2x+1}
[/mm]
f(x) = [mm] 1+cos(\pi)x [/mm] ; f´(x) = -sin [mm] (\pi [/mm] x) ; f(1) = 0, f´(1) = -1
g(x) = [mm] x^2 [/mm] - 2x + 1; g´(x) = 2x - 2; g(1) = 0;
Jetzt ist aber g´(1) = 0 und das darf laut einem anderen Buch nicht sein bei dieser Regel ? Wenn ich jetzt nämlich [mm] \limes_{x\rightarrow\ 1 } \bruch{f'(x)}{g'(x)} [/mm] mache , steht da -1/ 0 , und das geht doch nicht ?
Wie geh ich denn jetzt vor ?
Grüßle !
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:33 Di 11.07.2006 | | Autor: | Auric |
Das kann ich dir sogar beantworten :).
Du darfst Hopital nur anwenden wenn eine dieser beiden Bedingungn erfüllt sind:
[mm] \bruch{0}{0} [/mm] oder [mm] \bruch{ \infty}{ \infty}.
[/mm]
Also erst den Wert gegen den x strebt einsetzen und schauen ob eine davon zutrifft.
Bei dem ersten kommt [mm] \bruch{0}{1} [/mm] raus, also is der Grenzwert 1.
was Loddar bei der Aufagbe mit e geschrieben hat, bezieht sich dann auf den Fall für 0* [mm] \infty.
[/mm]
Da kann man nämlich f(x)/ [mm] \bruch{1}{g(x)} [/mm] machen um wieder die Bedingung 0/0 oder [mm] \infty/\infty [/mm] zu erhalten.
Es gibt auch noch ein paar ander Fälle wie z.B [mm] \infty-\infty [/mm] aber die tauchen hier nicht auf.
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Noi, das stimmt aber nicht ...
Bei dem kann ich den L´Hospital anwenden, da ja 0/0 rauskommt, also zumindest bei mir  (Oder mach ich was falsch ?)
[mm] \limes_{x\rightarrow\ 1 } \bruch{1+cos \pi x}{x^2-2x+1}
[/mm]
Und nur auf das war meine Frage bezogen ... ! Trotzdem versteh ichs immer ncoh nicht , hilfe, bitte um Aufklärung !
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:58 Di 11.07.2006 | | Autor: | Auric |
Ups, das passiert wenn man sinus mit cos verwechselt :)
Ok das ist bitter. 1/0 darf man echt nicht schreiben, wäre ja ein unbestimmer Ausdruck. Sry genau dieser Schritt fehlt mir meistens auch.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:25 Di 11.07.2006 | | Autor: | Loddar |
Hallo Julchen!
> [mm]\limes_{x\rightarrow\ 1 } \bruch{1+cos(\pi*x)}{x^2-2x+1}[/mm]
>
> f(x) = [mm]1+cos(\pi*x)[/mm] ; f´(x) = -sin [mm](\pi[/mm] x) ; f(1) = 0, f´(1) = -1
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]") Es gilt hier: $f'(x) \ = \ [mm] -\red{\pi}*\sin(\pi*x)$ [/mm] sowie $f'(1) \ = \ [mm] -\pi*\sin(\pi) [/mm] \ = \ [mm] -\pi*0 [/mm] \ = \ 0$
> g(x) = [mm]x^2[/mm] - 2x + 1; g´(x) = 2x - 2; g(1) = 0; g´(1) = 0
Damit hast Du wiederum den Fall [mm] $\bruch{0}{0}$ [/mm] und "darfst" nochmal mit de l'Hospital ran ...
Gruß
Loddar
Kontrollergebnis für diesen Grenzwert (bitte nachrechnen): [mm] $\bruch{\pi^2}{2} [/mm] \ [mm] \approx [/mm] \ 4.93$ .
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:29 Di 11.07.2006 | | Autor: | Auric |
Ok, dann stimmt die Gleichung aber oben nicht, weil dort steht
1+cos( [mm] \pi)*X. [/mm] Was stimmt denn jetzt?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:34 Di 11.07.2006 | | Autor: | Julchen01 |
Jepp, stimmt, hab die Gleichung falsch abgetippt, Asche auf mein Haupt !
Es soll lauten: [mm] \limes_{x\rightarrow\ 1 } \bruch{1+cos(\pi\cdot{}x)}{x^2-2x+1}
[/mm]
So, und jetzt stimmts, ich bessers oben noch aus, wenns geht
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:35 Di 11.07.2006 | | Autor: | Loddar |
Hallo Auric!
Ich habe diese Funktion folgendermaßen interpretiert: [mm] $f_1(x) [/mm] \ = \ [mm] \bruch{1+\cos(\pi*x)}{x^2-2x+1}$
[/mm]
Bei der anderen Schreibweise ergäbe sich ja:
[mm] $f_2(x) [/mm] \ = \ [mm] \bruch{1+\cos(\pi)*x}{x^2-2x+1} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{1+(-1)*x}{x^2-2x+1} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{1-x}{(x-1)^2} [/mm] \ = \ [mm] -\bruch{x-1}{(x-1)^2} [/mm] \ = \ [mm] -\bruch{1}{x-1}$
[/mm]
Damit müssten dann auch rechtsseitiger und linksseitiger Grenzwert separat betrachtet werden, da hierfür unterschiedliche "Grenzwerte" entstehen.
Gruß
Loddar
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:35 Di 11.07.2006 | | Autor: | Julchen01 |
Dankeschön für deine Bemühungen !
Ich werds jetzt gleich nochmal ausprobieren !
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