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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:57 So 29.04.2007 | | Autor: | Pubaer |
| Aufgabe | Bestimmen Sie
a) [mm] \limes_{x\rightarrow\pi}(\bruch{tan^{2}x}{1+cos x}) [/mm] , b) [mm] \limes_{x\rightarrow 0}(\bruch{ln(1+x^{2})}{sin^{2} x}) [/mm] , c) [mm] \limes_{x\rightarrow 0}(\bruch{tan x}{arctan x}) [/mm] , d) [mm] \limes_{x\rightarrow 0}(x^{x}) [/mm] |
Hallo erstmal,
hab bei diesen Grenzwerten ein paar Probleme, wäre nett wenn jemand sich mal meine Lösungsansätze anschauen könnte oder mir einen besseren Ansatz zeigen könnte, da ich wiedersprüchliche Lösungen herausbekomme:
Bei a) hab ich einfach versucht mit l'hospital den Grenzwert zu bestimmen:
[mm] \bruch{2*\bruch{cos^{2}x+sin^{2}x}{cos^{2}x}}{-sinx}=-\bruch{2}{cos^{2}x sinx}\to2.
[/mm]
Ich bin mir eigentlich ziemlich sicher das der Grenzwert 2 ist,aber wie kann ich zeigen das [mm] cos^{2}x [/mm] *sinx gegen 1 läuft??
b) meine überlegung war wieder l'hospital anzuwenden, aber dann komm ich auf [mm] \to0, [/mm] aber das ist nicht richtig. Wäre nett wenn mir da jemand helfen könnte.
c)Die Logik sagt mir das der Grenzwert 1 sein müsste, aber wie ich das zeigen könnte weiß ich nicht. Ich hoffe jemand hat einen Ansatz für mich.
d) [mm] x^{x}=e^{xln x}=e^{x^{ln x}}\to1 [/mm] ?? Hoff mal ich darf das so einfach folgern, oder?
Ich bedanke mich schonmal im voraus für die Hilfe, die hoffentlich kommen wird!
MfG
der Pubär
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:03 So 29.04.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo Pubär!
Du hast den Zähler nicht richtig abgeleitet. Es muss heißen:
[mm] $\left[ \ \tan^2(x) \ \right]' [/mm] \ = \ [mm] 2*\tan^1(x)*\bruch{1}{\cos^2(x)}$
[/mm]
Und nun die Tangensdefinition mit [mm] $\tan(x) [/mm] \ = \ [mm] \bruch{\sin(x)}{\cos(x)}$ [/mm] anwenden.
Gruß
Loddar
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:06 So 29.04.2007 | | Autor: | Loddar |
Halo Pubär!
Wie sieht denn Dein Ausdruck nach de l'Hospital aus?
Da kannst Du jedenfalls den Ausdruck [mm] $\bruch{x}{\sin(x)}$ [/mm] herausziehen und nochmals de l'Hospital anwenden.
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:55 So 29.04.2007 | | Autor: | Pubaer |
danke erstmal für die superschnelle antwort!!Hab a) jetzt hinbekommen aber bei b):
wenn ich de l'hospital anwende bekomme ich
[mm] \bruch{\bruch{2x}{1+x^{2}}}{2sinx*cosx} [/mm] und da weiß ich nicht wie ich weoter machen soll oder wo ich [mm] \bruch{x}{sinx} [/mm] rausziehen soll...
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:59 So 29.04.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo Pubär!
[mm] $\bruch{\bruch{2x}{1+x^2}}{2*\sin(x)*\cos(x)} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{x}{\sin(x)*\cos(x)*\left(1+x^2\right)} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{x}{\sin(x)}*\bruch{1}{\cos(x)*\left(1+x^2\right)}$
[/mm]
Gruß
Loddar
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:15 So 29.04.2007 | | Autor: | Pubaer |
> Hallo loddar!
>
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> [mm]\bruch{\bruch{2x}{1+x^2}}{2*\sin(x)*\cos(x)} \ = \ \bruch{x}{\sin(x)*\cos(x)*\left(1+x^2\right)} \ = \ \bruch{x}{\sin(x)}*\bruch{1}{\cos(x)*\left(1+x^2\right)}[/mm]
achso, jetzt ist es klar
danke für deine hilfe!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:07 So 29.04.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo Pubär!
Da es sich bei diesem Grenzwert wiederum um einen unbestimmten Ausdruck der Form [mm] $\bruch{0}{0}$ [/mm] handelt, darfst Du auch wieder mit  de l'Hospital vorgehen.
Gruß
Loddar
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:11 So 29.04.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo Pubär!
Ganz so stimmt das nicht. Aber Dein Ansatz ist schon gut:
[mm] $\limes_{x\rightarrow 0}x^x [/mm] \ = \ [mm] \limes_{x\rightarrow 0}\left[e^{\ln(x)}\right]^x [/mm] \ = \ [mm] \limes_{x\rightarrow 0}e^{x*\ln(x)} [/mm] \ = \ [mm] e^{\limes_{x\rightarrow 0}x*\ln(x)}$
[/mm]
Und nun [mm] $\limes_{x\rightarrow 0}x*\ln(x) [/mm] \ = \ [mm] \limes_{x\rightarrow 0}\bruch{\ln(x)}{\bruch{1}{x}}$ [/mm] mit de l'Hospital ermitteln.
Gruß
Loddar
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