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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:37 Di 01.01.2008 | | Autor: | Tea |
| Aufgabe | Berechne die folgenden Grenzwerte!
e) [mm] \limes_{x\rightarrow 0}\bruch{\sin x -\arctan x}{x^2 * \log(1+x)}
[/mm]
f) [mm] \limes_{x\rightarrow 0}x^2*\log{x} [/mm] $(x>0)$
g) [mm] \limes_{x\rightarrow 0}\wurzel[x]{e^{3x} -5x}
[/mm]
h) [mm] \limes_{x\rightarrow \infty}\wurzel[x]{e^{3x} -5x}
[/mm]
i) [mm] \limes_{x\rightarrow 0}\bruch{1}{\sin^2 x}-\bruch{1}{x^2} [/mm] |
Abend Leute!
Die Aufgabenstellung habe ich schonmal ;)
Hinweise sind natürlich wie immer willkommen. Ich werde mein Glück dann jetzt mal versuchen.
Viele Grüße
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:46 Di 01.01.2008 | | Autor: | Tea |
Kommt nicht bei der f) sowieso 0 raus?
Sehe da keinen Ansatzpunkt für L'Hopital...
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:57 Di 01.01.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo Tea!
> Kommt nicht bei der f) sowieso 0 raus?
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]") Für den Grenzwert [mm] $x\rightarrow [/mm] 0$ ergibt sich hier der unbestimmte Ausdruck [mm] "$0*(-\infty)$" [/mm] . Von daher umformen wie unten gezeigt und de l'Hospital.
Gruß
Loddar
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:50 Di 01.01.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo Tea!
Aufgabe e.)
Es handelt sich um den Fall [mm] $\bruch{0}{0}$ [/mm] ; also de l'Hospital (evtl. mehrfach).
Gruß
Loddar
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:51 Di 01.01.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo Tea!
Aufgabe f.)
Forme um wie folgt:
[mm] $$x^2*\log(x) [/mm] \ = \ [mm] \bruch{\log(x)}{\bruch{1}{x^2}}$$
[/mm]
Damit hast Du dann den Fall [mm] $\bruch{-\infty}{\infty}$ [/mm] ; also wieder Herr ... (Du weißt schon  ).
Gruß
Loddar
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:52 Di 01.01.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo Tea!
Aufgabe g.) und h.)
Auch hier erst umformen:
[mm] $$\wurzel[x]{e^{3x}-5x} [/mm] \ = \ [mm] \left(e^{3x}-5x\right)^{\bruch{1}{x}} [/mm] \ = \ [mm] e^{\bruch{e^{3x}-5x}{x}}$$
[/mm]
Nun jeweils den jeweiligen Grenzwert für den Exponenten [mm] $\bruch{e^{3x}-5x}{x}$ [/mm] betrachten.
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:01 Mi 02.01.2008 | | Autor: | Tea |
Abend!
Meinst du erstmal:
$ [mm] \wurzel[x]{e^{3x}-5x} [/mm] \ = \ [mm] \left(e^{3x}-5x\right)^{\bruch{1}{x}} [/mm] \ = \ [mm] e^{\bruch{log(e^{3x}-5x)}{x}} [/mm] $ ?
Schönen Gruß 
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Hallo,
ja, meint er.
Loddar hatte den ln im Exponenten vergessen hinzuschreiben.
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:10 Mi 02.01.2008 | | Autor: | Tea |
Danke Angela!
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:34 Mi 02.01.2008 | | Autor: | Tea |
So, ich habe im Eifer des Gefechts mal meinen Ansatz für [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \wurzel[x]{e^{3x}-5x} [/mm] bzw. [mm] \limes_{n\rightarrow\ 0} \wurzel[x]{e^{3x}-5x} [/mm] eingescannt.
Vielleicht hat ja einer von euch Lust sich das mal anzuschauen und mir mitzuteilen was ich falsch habe.
Aber noch eine generelle Frage formaler Natur:
Wann benutze ich bei $lim$ - Berechnungen vor meinem Ergebnis ein $=$ und wann ein [mm] $\to [/mm] $?
Vielen Dank und noch einen schönen Abend.
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: PDF) [nicht öffentlich]
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Hallo Stefan,
nun stimmt ja der Anhang doch
beide Ergebnisse und Rechnungen sind richtig !!
Ich würde nur statt [mm] $\log$ [/mm] besser [mm] $\ln$ [/mm] schreiben, das ist ja der natürl. Log in der Definition [mm] $a^b=e^{b\cdot{}\ln(a)}$
[/mm]
Außerdem würde ich dazu schreiben, warum du de l'Hôpital anwenden darfst/kannst - also dass du im ersten Fall bei direktem Grenzübergang [mm] $\frac{0}{0}$ [/mm] und beim zweiten [mm] $\frac{\infty}{\infty}$ [/mm] hast.
Aber sonst sehr schön so
Bei der Rechnung für [mm] $x\to\infty$ [/mm] kannst du dir übrigens die 2. und 3. Anwendung von de l'Hôpital sparen, wenn du nach der 1.Anwendung im Zähler und Nenner [mm] $e^{3x}$ [/mm] ausklammerst
Gruß
schachuzipus
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:54 Di 01.01.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo Tea!
Aufgabe i.)
Fasse auf einem Bruchstrich zusammen und anschließend schon wieder de l'Hospital.
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 08:09 Mi 02.01.2008 | | Autor: | Tea |
Guten Morgen!
Also die i) bekomme ich beim besten Willen nicht hin...
Habe $ [mm] \limes_{x\rightarrow 0}\bruch{1}{\sin^2 x}-\bruch{1}{x^2} [/mm] $ zu $ [mm] \limes_{x\rightarrow 0}\bruch{x^2 - sin^2 x}{x^2*sin^2 x} [/mm] $ umgeformt.
Aber auch mehrmaliges Anwenden von L'Hopital bringt mich nicht weiter. Ich habe immer zuviele $x$ bzw $sinx$ in meinen Ausdrücken.
Viele Grüße
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Hallo Tea,
Du kannst Dir die Arbeit mit der Regel von L'Hospital ein wenig erleichtern, indem Du Formeln für doppelte Winkel anwendest, dann kannst Du die dreifachen Produkte vermeiden, die das Ableiten erschweren.
Das Ergebnis ist übrigends [mm] $\frac{1}{3}$ [/mm] nach viermaligem l'Hospital.
Es gibt eine wesentlich schnellere Methode (Potenzreihenanfang vom Sinus), aber wenn l'Hospital Euer Thema ist, s. o.
Gruß haeb0001.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:45 Fr 04.01.2008 | | Autor: | Tea |
Hallo haeb0001,
Dankeschön für deinen Hinweis.
> Hallo Tea,
>
> Du kannst Dir die Arbeit mit der Regel von L'Hospital ein
> wenig erleichtern, indem Du Formeln für doppelte Winkel
> anwendest, dann kannst Du die dreifachen Produkte
> vermeiden, die das Ableiten erschweren.
[mm] $cos(2x)=cos^2 [/mm] x - [mm] sin^2 [/mm] x = [mm] 2cos^2 [/mm] x - 1$ und
$ sin(2x)=2sinxcosx $
helfen echt ne Menge. Aber trotzdem ist das doch ne Krampf. []
>
> Das Ergebnis ist übrigends [mm]\frac{1}{3}[/mm] nach viermaligem
> l'Hospital.
Na, gut ich habs nach ewigen Versuchen jetzt auch hinbekommen.
[mm] \limes_{x\rightarrow\infty} \bruch{8cos(2x)}{-8((x^2 -3)cos(2x)+4xsin(2x))} [/mm] = [mm] \bruch{1}{3}
[/mm]
> Es gibt eine wesentlich schnellere Methode
> (Potenzreihenanfang vom Sinus), aber wenn l'Hospital Euer
> Thema ist, s. o.
Inspiriert von deiner Aussage habe ich natürlich direkt die weiteren Aufgaben angeguckt und siehe da, hier taucht der Spass nochmal auf :
https://matheraum.de/read?i=347153
Meintest du so etwas?
Viele Grüße
> Gruß haeb0001.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:56 Di 01.01.2008 | | Autor: | Tea |
Hi Loddar!
Vielen Dank.
Also weiter mit L'Hopital rumwerkeln.
Gut, dass du mich motiviert hast. Brauche trotzdem jetzt erstmal eine Pause.
Wieso weißt du eigentlich so schnell wo es langgeht? Unglaublich ...
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:06 Di 01.01.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo Tea!
> Wieso weißt du eigentlich so schnell wo es langgeht?
> Unglaublich ...
Das ist einfach etwas Übung. Und dann "riechen" Deine aktuellen Aufgaben mit Grenzwerten halt ziemlich nach Herrn de l'Hospital. Das scheint ja gerade Dein aktuelles Thema zu sein.
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:43 Fr 04.01.2008 | | Autor: | Tea |
Kurze Rückfrage:
Ist das Ergebnis nach 4-mal L'Hospital [mm] \bruch{1}{6}?
[/mm]
Vielen Dank!
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> Ist das Ergebnis nach 4-mal L'Hospital [mm]\bruch{1}{6}?[/mm]
Hallo,
dieses Ergebnis paßt zumindest hervorragend zu dem, was ich geplottet habe.
Gruß v. Angela
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