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Hallo ich brauche hilfe bei einer Aufgabe:
Entscheiden Sie, ob die nachstehenden Folgen konvergieren, und beweisen Sie dies elementar, also ohne Rechenregeln
für Grenzwerte:
an:= (3n)/(i+n)
Leider habe ich noch keine Ansätze.
Danke
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Hallo Elektro21,
> Hallo ich brauche hilfe bei einer Aufgabe:
>
> Entscheiden Sie, ob die nachstehenden Folgen konvergieren,
> und beweisen Sie dies elementar, also ohne Rechenregeln
> für Grenzwerte:
>
> an:= (3n)/(i+n)
>
> Leider habe ich noch keine Ansätze.
Klammere in Zähler und Nenner [mm]n[/mm] aus, dann siehst du, dass [mm]a_n\longrightarrow 3[/mm] für [mm]n\to\infty[/mm]
Damit kannst du den elementaren [mm]\varepsilon[/mm]-Beweis führen.
Gib dir ein bel. [mm]\varepsilon>0[/mm] vor und schätze in einer Nebenrechnung [mm]|a_n-3|[/mm] ab, um das gesuchte [mm]n_0[/mm] zu konstruieren, so dass dann für alle [mm]n\ge n_0[/mm] gilt: [mm]|a_n-3|<\varepsilon[/mm]
> Danke
Bitte
Gruß
schachuzipus
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In der aufgabe steht noch:
Geben Sie im Falle der Konvergenz gegen einen entsprechenden Grenzwert a für epsilon = 10�^-22 ein N("
^-2 ein so dass Betrag von an-a< epsilon gilt .
Musss ich dass dann so so schreiben ?
Betrag von an - 3 < 10^-2
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Hallo Elektro,
das ist ja kaum lesbar. Benutze bitte den Formeleditor (klick das [mm] \red{\Sigma} [/mm] über dem Eingabefenster).
> In der aufgabe steht noch:
>
> Geben Sie im Falle der Konvergenz gegen einen
> entsprechenden Grenzwert a für epsilon = 10�^-22 ein
> N("
> ^-2 ein so dass Betrag von an-a< epsilon gilt .
[mm] \varepsilon=10^{-22}, [/mm] aber was soll [mm] N^{-2} [/mm] sein?
Gefordert ist [mm] |a_n-a|<\varepsilon=10^{-22}
[/mm]
> Musss ich dass dann so so schreiben ?
>
> Betrag von an - 3 < 10^-2
Was ist denn jetzt die Zehnerpotenz des [mm] \varepsilon [/mm] ?
[mm] |a_n-3|<10^{-?}
[/mm]
Betragsstriche findest Du auf der deutschen Tastatur mit AltGr+<.
Grüße
reverend
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Es heißt 10^-2 . Ich hab mich leider bisschen viel verschrieben . Aber wie gehe ich jetzt vor.
Wie bestimme ich das n nun?
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Hallo nochmal,
> Es heißt 10^-2 . Ich hab mich leider bisschen viel
> verschrieben . Aber wie gehe ich jetzt vor.
> Wie bestimme ich das n nun?
Dazu hat schachuzipus doch oben schon etwas geschrieben (am Ende des Beitrags). Versuchs dohc einfach mal.
Grüße
reverend
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Was ergibt denn an - 3 ?
Wie soll ich das ausrechnen?
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Hallo nochmal,
> Was ergibt denn an - 3 ?
>
> Wie soll ich das ausrechnen?
Gar nicht, du sollst den BETRAG davon abschätzen, bzw. die Betragsungleichung [mm]|a_n-3|<\frac{1}{100}[/mm] lösen.
Einsetzen:
[mm]\left|\frac{3n}{i+n}-3\right|<\frac{1}{100}[/mm]
Nun mache im Betrag gleichnamig, dann fällt einiges weg.
Dann erinnere dich, wie [mm]|z|[/mm] für [mm]z\in\IC[/mm] definiert ist ...
Gruß
schachuzipus
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Gut habe die Brüche gleichnamig gemacht und jetzt habe ich das stehen.
Betrag von (-3i) / (i+n)
Wenn ich jetzt n gegen unendlich laufen lasse , dann würde es wegfallen .
Dann hätte ich -3.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:22 Fr 04.11.2011 | | Autor: | fred97 |
> Gut habe die Brüche gleichnamig gemacht und jetzt habe ich
> das stehen.
>
> Betrag von (-3i) / (i+n)
Dann rechne das doch aus !!
Zeige: [mm] $|\bruch{-3i}{i+n}|= \bruch{3}{\wurzel{1+n^2}}$
[/mm]
Das willst Du kleiner als ein vorgegebenes [mm] \varepsilon [/mm] >0 haben.
Spar Dir Arbeit und zeige, dass [mm] $|\bruch{-3i}{i+n}|<3/n$ [/mm] ist
Dann hast Du nur noch: 3/n< [mm] \varepsilon \gdw [/mm] ???
zu betrachten.
FRED
>
> Wenn ich jetzt n gegen unendlich laufen lasse , dann würde
> es wegfallen .
> Dann hätte ich -3.
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Puuh das verstehe ich nicht .
Wie bist du auf das 1 / wurzel aus [mm] 1+n^2 [/mm] gekommen?
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Hallo,
langsam wird's blöde.
Du liest die Antworten nicht.
Das motiviert nicht gerade, dir weiter zu helfen.
Warum schreiben wir das dann, wenn es dir am Ar... vorbei geht??
Ich hatte schon weiter oben geschrieben, dass du dich an die Definition des Betrages einer komplexen Zahl erinnern solltest.
Es ist für [mm]z\in\IC[/mm], [mm]z=x+iy[/mm] ([mm]x,y\in\IR[/mm]) definiert: [mm]|z|=\sqrt{x^2+y^2}[/mm]
Bzw. für [mm]z\in\IC[/mm] ist [mm]|z|=\sqrt{\left(\operatorname{Re}(z)\right)^2+\left(\operatorname{Im}(z)\right)^2}[/mm]
Gruß
schachuzipus
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Soll ich das dann so machen z= 3
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:47 Fr 04.11.2011 | | Autor: | fred97 |
> Soll ich das dann so machen z= 3
was soll das denn ??? Ich kann meinem Kollegen schachuzipus nur zustimmen....
Letzter Versuch: berechnen sollst Du [mm] |\bruch{-3i}{i+n}|
[/mm]
Was ist |3i| und was ist |i+n| ? Was ist dann [mm] |\bruch{-3i}{i+n}| [/mm] ?
FRED
>
>
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Ist mein Ansatz so richtig?
z= Wurzel aus [mm] 3i^2 [/mm] + [mm] (i+n)^2 [/mm]
Ist der Ansatz wenigstens richtig?
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Hallo,
> Ist mein Ansatz so richtig?
>
> z= Wurzel aus [mm]3i^2[/mm] + [mm](i+n)^2[/mm]
>
> Ist der Ansatz wenigstens richtig?
Nein.
Lies nochmal alles von vorn, es steht schon alles in den Antworten, die Du hast.
Melde Dich wieder, wenn Du eine vollständige Lösung vorlegen kannst, und schreib sie als Ganzes auf. Niemand hat Lust, erst 32 Beiträge zu lesen, bis man versteht, was Deine letzte Frage eigentlich will.
Und benutze den Formeleditor, dann kann man auch lesen, was Du da eigentlich sagst. Den Betrag von i plus n Quadrat durch Wurzel aus drei i Quadrat mal Betrag von z kann niemand aufschreiben. Eine Formel ist da absolut eindeutig.
So, und jetzt arbeite mal alles von vorn bis hinten durch!
Grüße
reverend
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Kann mir jemand erklären vielleicht wie das mit komplexen Zahlen funktioniert, weil ich komme nicht weiter.
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Hallo nochmal,
> Kann mir jemand erklären vielleicht wie das mit komplexen
> Zahlen funktioniert, weil ich komme nicht weiter.
So wird das nichts.
Es ist schon alles erklärt.
Wo genau kommst Du nicht weiter? Was hast Du bisher gerechnet? Stell mal das Gesamte ein und nicht immer nur eine einzelne Zeile, daraus wird hier niemand schlau.
Grüße
reverend
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Kannst du mir nur bitte einen kleinen Ansatz geben dann mache ich alleine weiter.
Nur damit ich voran komme.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:10 Fr 04.11.2011 | | Autor: | chrisno |
Falls Du noch nie etwas mit komplexen Zahlen zu tun gehabt hast, kann ich Dein Problem an dieser Stelle gut verstehen.
$ [mm] \left|\frac{3n}{i+n}-3\right|$
[/mm]
soll umgeformt werden.
$ [mm] \left|\frac{3n}{i+n}-\frac{3(i+n)}{i+n}\right| [/mm] = [mm] \left|\frac{-3i}{i+n}\right|$ [/mm] hast Du schon.
Nun hat das i die Eigenschaft, dass [mm] $i^2 [/mm] = -1$.
Wenn Du den Betrag einer komplexen Zahl berechnen willst, dann ist ein Möglichkeit, die Zahl mit ihrer komplex konjugierten zu multiplizieren. Die Wurzel aus dem Produkt ist der Betrag.
Also: nimm [mm] $\frac{-3i}{i+n}$. [/mm] Drehe vor jedem i das Vorzeichen um. Multipliziere beide Ausdrücke miteinander. Ziehe die Wurzel. Dann hast Du [mm] $\left|\frac{-3i}{i+n}\right|$ [/mm] berechnet.
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Ich hab den term komplex erweitert und bin auf
(3+3in)/ ( -1 - n ) gekommen .
Aber wie komme ich nun endlich auf den grenzwert?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 02:04 Sa 05.11.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
rechne doch mal (n+i)*(n-i) und 3i*(-3i)
einfach langsam aus. dann schreib das erste in den Nenner , das letzte in den Zähler. dann hast du das Quadrat des Betrags!
Dein Ergebnis ist falsch!
Gruss leduart
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Ich dachte der bruch sieht so aus:
( -3i)/ (i+n) * ( i-n)/(i-n)
uND DANN KOMMT GENAU DAS BEI MIR RAUS:
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:22 Sa 05.11.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
a) der Rat war, den Betrag auszurechnen, in dem du den Zähler mit seinem konj kompl und den Nenner auch.
was du jetzt versucht hast, ist mit dem konj kompl. des Nenners zu erweitrn.
leider auch das falsch.
richtig:
Nenner: n+i konjugiert n-i also auszurechnen (n+i)*(n-i)=?
Wenn du es richtig machst, hast du eine Komplexe Zahl die nur noch im Zähler komplex ist. Dann trenn sie in Imaginärteil und Realteil.
Schreib die 2 hier auf und dann gehts erst weiter.
Gruss leduart
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das ergibt richtig [mm] n^2 [/mm] + 1.
Der zähler ist -3in -3.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:14 Sa 05.11.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
Du hast jetzt
[mm] \bruch{3n}{n+i}-3=\bruch{-3ni}{1+n^2}
[/mm]
jetzt hast du nur einen Imaginärteil [mm] \bruch{-3n}{1+n^2} [/mm]
Damit ist der Betrag gleich dem Betrag des Imaginärteils
also musst du nur noch ein N finden, sodass für alle n>N
[mm] \bruch{3n}{1+n^2} <\epsilon [/mm] d,h. [mm] \bruch{3n}{1+n^2}<0.01
[/mm]
Besser wär es gewesen du hättest wirklich genau gemacht, was dir vorgeschlagen wurde! nämlich direkt den Betrag von [mm] \bruch{3n}{n+i}-3 [/mm] ausgerechnet
Du solltest Beträge von komplexen Zahlen schnell und sicher bestimmen können!
Bsp Betrag von 3+4i; 4-3i ; 12i; 2/(3+i) (1+i)/(4+3i)
Wenn du das nicht direkt hinschreiben kannst solltest du es sehr schnell wiederholen!
Gruss leduart
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Jetzt musst du mir noch bitte bisschen helfen.
Wie kriege ich die n jetzt raus . Muss ich jetzt wahllos werte einsetzen?
Oder soll ich irgendie versuchen die Gleichung nach n auflösen , wobei das ziemlich schwer wirkt.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:16 Sa 05.11.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
wieso ist $ [mm] \bruch{3n}{1+n^2}<0.01 [/mm] $ schwierig?
aber du kannst ja noch einfacher $ [mm] \bruch{3n}{1+n^2}< [/mm] angenehmerer Bruch <0.01 $
rechnen . Tip nen Bruch vergrößert man, indem man den Nenner verkleinert
und da ich dir jetzt fast alles geschrieben hab, bitte schreib die Beträge der z die ich im letzten post geschickt habe. Sonst plagt mich mein Gewissen!
Gruss leduart
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Hier ist mein Ansatz.
Ist es so richtig?
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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Hallo,
was soll das denn?
Tippe die 3 Terme hier ein, dann kann man auch was dranschreiben.
Das gibt's doch nicht!
Gruß
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:21 So 06.11.2011 | | Autor: | Elektro21 |
3n/ [mm] 1+n^2 [/mm] < 3n/ Wurzel aus [mm] 1+n^2 [/mm] < 0,01
So ok?
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Kann mir jemand bitte helfen wenn es geht?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:20 So 06.11.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
Wenn du ausser einigr >Zeit zurück hab ich dir geschrieben.
$ [mm] \bruch{3n}{1+n^2}< [/mm] angenehmerer Bruch <0.01 $
darauf kommt dann ohne Begründung und Rechenweg:
3n/ $ [mm] 1+n^2 [/mm] $ < 3n/ Wurzel aus $ [mm] 1+n^2 [/mm] $ < 0,01
denkst du wirklich dass [mm] \wurzel{1+n^2} [/mm] einfacher als [mm] 1+n^2 [/mm] ist?
such mal einen einfachen Ausdruck der Kleiner ist als [mm] n^2+1 [/mm] aber nicht entsetzlich viel kleiner
eine Zahl etwa die kleiner ist als [mm] 17=4^2+1
[/mm]
und dann bestimme direkt ein [mm] N(\epsilon):
[/mm]
Schreib mindestens so viel, wie wir dir schreiben, benutz den Formeleditor
z.Bsp ist [mm] n/1+n^2 [/mm] nicht lesbar, dagegen [mm] \bruch{n}{1+n^2} [/mm] schon
auch für uns dauert es zeit, dir ordentliche antworten zu geben, also gib dir Mohe mit den fragen,schreib Zwischenrechnungen auf, sag, was du dir überlegt hast usw.
Gruss leduart
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Ich würde einfach sagen (1) / [mm] n^2
[/mm]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:48 So 06.11.2011 | | Autor: | chrisno |
Nein.
Schreib bitte die ganze Ungleichung hin. Schreib als Text hin, wie Du zu Deiner Abschätzung gekommen bist.
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Aber ist meine Lösung nun richtig oder nicht?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:07 Di 08.11.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
Nein [mm] 1/n^2 [/mm] ist nicht größer als [mm] 3/(1+n^2)
[/mm]
du fragst ohne nachprüfen der ergebnisse mit irgendeiner Zahl n, ein bissel selbständiger musst du schon arbeiten, und ergebnisse, die da einfach stehen werd auch ich nicht mehr kommentieren. Zu jeder rechnung gehört ein rechenweg, zu jeder frage der Zusammenhang. Niemand will doch einen langen thead durchlesen, nur um dann eine mini teilfrage zu beantworten. versetz dich mal in die lage eines helfers? was fängt der mit dieser frage an:"Aber ist meine Lösung nun richtig oder nicht?"
Gruss leduart[#000000][/#000000]
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