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Hallo,
da ich keine selbstformulierten Texte in die "Aufgabenstellungsbox" schreiben darf, mache ich es hier:
" Angenommen, ich habe eine gebrochenrationale Funktion, bei der der Grad des Zählers größer ist, als der im Nenner.
Zum Beispiel so etwas hier:
[mm] \lim_{x \to \ x_0} \bruch{x^3 + x^2 - x - 10}{x^2 + x - 6}"
[/mm]
Und ich soll schauen, ob [mm] x_0 [/mm] = 2, [mm] x_0 [/mm] = - 3, [mm] x_0 [/mm] = 1 existiert und wenn ja, dann soll ich den Grenzwert berechnen."
Ich weiß, dass bei [mm] x_0 [/mm] = 2 eine Lücke ist (schließlich habe ich das ja so gewählt), bei [mm] x_0 [/mm] = - 3 der Graph von links kommend gegen - [mm] \infty [/mm] geht und von rechts kommen gegen + [mm] \infty. [/mm] Außerdem sei noch [mm] x_0 [/mm] = 1.
Wie soll ich da jetzt die Existenz von den [mm] x_0 [/mm] untersuchen und dann den Grenzwert berechnen, falls es ihn gibt?
Ich habe bereits mehrere Ansätze ausprobiert, die entweder gescheitert sind oder extrem aufwändig sind.
Zum Beispiel habe ich versucht, den Bruch als eine Funktion aufgefasst und dann in die Funktion getrennt 2 Folgen eingesetzt, die beide gegen 1 laufen (eine von links und eine von rechts). Doch das kann man doch nur bei [mm] x_0 [/mm] = - 3 machen, oder? Es funktioniert zwar, ist aber recht aufwändig. Geht das einfacher?
Und bei den anderen beiden [mm] x_0 [/mm] habe ich irgendwie keinen anständigen Ansatz...
(mit [mm] \varepsilon [/mm] - [mm] \delta [/mm] -Umgebungen und so, habe ich versucht es zu zeigen... Hat bei den Abschätzungen nicht geklappt).
Wenn ich [mm] x_0 [/mm] = 1 einsetze, bekomme ich
[mm] \lim_{x \to \ 1} [/mm] = 2
Habe ich damit die Existenz "bewiesen"?
Und ist er überhaupt ein Grenzwert?
Ich wäre für jede Hilfe dankbar.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:24 Mo 12.12.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
[mm] x_0= [/mm] irgendwas existiert immer!
Du meinst wohl of [mm] f(x_0) [/mm] definiert ist und ob es stetig oder stetig ergänzbar ist, bzw ob [mm] \limes_{x\rightarrow x_0}f(x)
[/mm]
existiert?
bei x=1 ist das Problemlos GW= Funktionswert
für alle [mm] x\ne [/mm] 2 kannst du durch x-2 Z und Nenner teilen und die vereinfachte fkt betrachten,
für x gegen 2 hast du links und rechts denselben GW (den Wert der "gekürzten" fkt. da die ja die richtige für ALLE [mm] x\ne [/mm] 2 ist. für x gegen -3 hast du es schn richtig überlegt.
Du kannst eine beliebige folge [mm] x_n x_n [/mm] gegen 1 bzw 2 einsetzen und erhältst den funktionswert.
natürlich kannst du auch [mm] 1+\delta [/mm] oder [mm] 2+\delta [/mm] einsetzen und einfach ausrechnen.
Gruss leduart
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Erstmal vielen Dank für deine Antwort, leduart! Das hat mir weitergeholfen! Dennoch sind noch ein paar kleine Fragen offen:
Ja, ich meinte ob $ [mm] \limes_{x\rightarrow x_0}f(x) [/mm] $ existiert. Da habe ich mich wohl falsch ausgedrückt.
Wenn ich im Zähler und im Nenner durch x - 2 teile, und die Funktion gegen 2 laufen lasse, ist das immernoch derselbe Grenzwert vom ungekürzten Bruch?
Unter welchem Stichwort kann ich Google fragen, was du mit $ [mm] 1+\delta [/mm] $ meinst?
Nochmal danke.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 00:47 Mo 12.12.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
> Wenn ich im Zähler und im Nenner durch x - 2 teile, und
> die Funktion gegen 2 laufen lasse, ist das immernoch
> derselbe Grenzwert vom ungekürzten Bruch?
ja, da du das ja für ALLE x [mm] \ne [/mm] 2 die gekürzte Funktion gleich der ungekürzten ist. (das sollte man dazuschreiben)
Nach [mm] 1+\delta [/mm] kannst du google nicht fragen:
wenn du den lim berechnen willst bei 1 oder 2 kannst du formal 1+h oder [mm] 1+\delta [/mm] einsetzen und dann h bzw delta gengen 0 oder zeigen dass [mm] f(1+\delta)-1<\epsilon [/mm] ist für ein ausgerechnetes 7delta.
ich denke, das ist hier zu aufwändig.
Gruss leduart
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Dankeschön leduart.
Ich denke, jetzt habe ich das verstanden und versuche das mal :)
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