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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:09 So 18.11.2012 | | Autor: | Arkathor |
| Aufgabe | Berechnen Sie den Grenzwert der folgenden Ausdrücke für [mm] n\to\infty:
[/mm]
[mm] a)x_n=\frac{a_0+a_1n+...a_pn^p}{b_0+b_1n+...b_pn^p} [/mm] für fest gegebene [mm] a_i,b_i\in\IR(1\lei\lep)und b_p\not=0
[/mm]
[mm] b)x_n=\sqrt{n}(\sqrt{n+1}-\sqrt{n}) [/mm] |
Hallo
Ich habe folgende Aufgaben bekommen und habe mit denen Probleme. Bei a) finde ich nicht wirklich einen Ansatz, ich würde aber sagen es geht gegen +1 denn wenn p gerade ist dann geht der Zähler und Nenner gegen [mm] \infty [/mm] , und wenn p ungerade dann gehen beide gegen [mm] -\infty [/mm] und der Minus kürzt sich aus. Bei b) weiss, dass es gegen 0,5 geht (ich habe's mir plotten lassen) aber ich weiss nicht warum. [mm] \sqrt{n} [/mm] geht gegen [mm] \infty, [/mm] also muss auch [mm] \sqrt{n+1} [/mm] gegen [mm] \infty [/mm] gehen. Dann geht die klammer gegen 0 (oder 1, weil [mm] \sqrt{n+1} [/mm] schneller wächst). Und es kommt raus [mm] \infty [/mm] * 0 (oder 1). Es kann sein, dass ich dort einen denkfehler habe. Ich würde mich über tips freuen.
Mit freundlichen Grüßen
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Hallo,
> Berechnen Sie den Grenzwert der folgenden Ausdrücke für
> [mm]n\to\infty:[/mm]
> [mm]a)x_n=\frac{a_0+a_1n+...a_pn^p}{b_0+b_1n+...b_pn^p}[/mm] für
> fest gegebene [mm]a_i,b_i\in\IR(1\lei\lep)und b_p\not=0[/mm]
>
> [mm]b)x_n=\sqrt{n}(\sqrt{n+1}-\sqrt{n})[/mm]
> Hallo
>
> Ich habe folgende Aufgaben bekommen und habe mit denen
> Probleme. Bei a) finde ich nicht wirklich einen Ansatz, ich
> würde aber sagen es geht gegen +1 denn wenn p gerade ist
> dann geht der Zähler und Nenner gegen [mm]\infty[/mm] , und wenn p
> ungerade dann gehen beide gegen [mm]-\infty[/mm] und der Minus
> kürzt sich aus.
Hm, das mit dem Minuszeichen verstehe ich nicht (es ist auch nicht wichtig). Klammere bei der a) jeweils im Zähler und im Nenner [mm] n^p [/mm] aus und kürze, dann dürfte es dir klar werden.
> Bei b) weiss, dass es gegen 0,5 geht (ich
> habe's mir plotten lassen) aber ich weiss nicht warum.
> [mm]\sqrt{n}[/mm] geht gegen [mm]\infty,[/mm] also muss auch [mm]\sqrt{n+1}[/mm] gegen
> [mm]\infty[/mm] gehen. Dann geht die klammer gegen 0 (oder 1, weil
> [mm]\sqrt{n+1}[/mm] schneller wächst). Und es kommt raus [mm]\infty[/mm] * 0
> (oder 1). Es kann sein, dass ich dort einen denkfehler
> habe. Ich würde mich über tips freuen.
[mm] \infty*0 [/mm] bzw. zunächst einmal [mm] \infty-\infty [/mm] sind beides undefinierte Ausdrücke. Erweitere daher einmal den Term so, dass du im Zähler des entehenden Bruchs ein 3. Binom stehen hast. Nach einer kleinen Vereinfachung sieht man den Grenzwert von 1/2 dann auch leicht ein.
Gruß, Diophant
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:02 So 18.11.2012 | | Autor: | Arkathor |
Hallo
bei a kriege ich alz grenzwert [mm] \frac{a_p}{b_p} [/mm] raus denn wenn ich [mm] n^p [/mm] rausklammere kommt raus [mm] \frac{n^p(a_0/n^p...a_p)}{n^p(b_0/n^p...b_p)} [/mm] für n=o ergibt sich der Trivialfall [mm] \frac{a_p}{b_p} [/mm] und sonst wächst der Nenner von [mm] a_in^i/n^p [/mm] (i<p) schneller als Zähler so gehen alle Werte ausser [mm] a_p [/mm] gegen Null, für b analog.
bei b) habe ich aber keinen Plan wie ich das erweitern soll. [mm] \sqrt{n}(\sqrt{n+1}-\sqrt{n}) [/mm] Wenn ich's mit [mm] \sqrt{n+1}+\sqrt{n} [/mm] erweitere bekomme [mm] ich:\frac{\sqrt{n} +n+1-n}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}} [/mm] , da habe ich weiter Wurzel im Zähler. Kann ich vieleicht um noch ein Tipp bitten?
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Hallo,
zunächst: ein wenig mehr Gründlichkeit benötigt man bei solchen Aufgaben auch für den Fall, dass sie sehr leicht sind, so wie hier.
> Hallo
> bei a kriege ich alz grenzwert [mm]\frac{a_p}{b_p}[/mm] raus denn
> wenn ich [mm]n^p[/mm] rausklammere kommt raus
> [mm]\frac{n^p(a_0/n^p...a_p)}{n^p(b_0/n^p...b_p)}[/mm] für n=o
Erstens geht das gar nicht, da nicht definiert, zweitens interessiert es nicht: der Grenzwert für [mm] n\mapsto\infty [/mm] ist gesucht!
> bei b) habe ich aber keinen Plan wie ich das erweitern
> soll. [mm]\sqrt{n}(\sqrt{n+1}-\sqrt{n})[/mm] Wenn ich's mit
> [mm]\sqrt{n+1}+\sqrt{n}[/mm] erweitere bekomme [mm]ich:\frac{\sqrt{n} +n+1-n}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}[/mm]
> , da habe ich weiter Wurzel im Zähler. Kann ich vieleicht
> um noch ein Tipp bitten?
Tipp: scharf hinsehen (im Zähler). Erweitert hast du genau so, wie ich es gemeint hatte.
Gruß, Diophant
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:29 So 18.11.2012 | | Autor: | Arkathor |
also wenn ich das Separat hinschreibe bekomme ich [mm] \frac{\sqrt{n}}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}+\frac{1}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}} [/mm] Der zweite Ausdruck läuft gegen 0 denn Nenner wächst und Zähler bleibt konstant. Beim erstem Ausdruck kriegt man Ein Wurzel der gegen [mm] \infty [/mm] geht geteilt durch die Summe zweier Wurzeln die jeweils gegen [mm] \infty [/mm] gehen. So würde es sich 1/2 ergeben. War das gemeint?
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Hallo,
> also wenn ich das Separat hinschreibe bekomme ich
> [mm]\frac{\sqrt{n}}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}+\frac{1}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}[/mm]
wieso das denn???
Seit wann gilt a*1=a+1???
Gruß, Diophant
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