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| Aufgabe | Bestimmen Sie die folgenden Grenzwerte.
a) [mm] \lim_{n\to\infty}(\wurzel{n^2+n+1}-\wurzel{n^2-1})
[/mm]
b) [mm] \lim_{x\to 0}\;\bruch{x}{e^x-1}
[/mm]
c) [mm] \lim_{x\to 1}\left(\bruch{1}{x-1}-\bruch{2}{x^2-1}\right)
[/mm]
d) [mm] \lim_{x\to 0}\;\bruch{x^3 cos(x)}{sin(x)-x} [/mm] |
Hallo ellegance88, ich habe mal Deine späteren Angaben in die Aufgabenstellung eingearbeitet. (reverend)
Guten abend.:) hätte jemand lust die Aufgaben mit mir eben durch zurechnen? Könnte hilfe gebrauchen komme nicht sehr weit.
also zu a erstmal. Ich weiß, dass ich den "Trick" anwenden muss, dass ich es zu einer 3. binomischen Formel machen muss. Anschließend glaub n bzw [mm] n^2 [/mm] je nach dem kürzen und dann müsste es schon sein aber ich kriege das nicht hin.
zu b.) da weiß ich dass [mm] e^x [/mm] niemals 0 werden kann, d.h. es müsste doch gegen unendlich konvergieren also konvergiert es nur bestimmt? :S und wenn es richtig sein sollte wie schreib ich es denn auf?
zu c.) würd ich auch den ersten Bruch so erweitern mit n-1 dass es den gleichen Hauptnenner hat dann zusammen rechnen und x ausklammern? oder komplett falsch?
zu d) hab ich keine ahnung cosinus und sinus verwirren mich dort.. -.-
Ich weiß ziemlich viele Fragen aufeinmal :D aber wäre nett wenn einer die mit mir durch gehen würde.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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zu a) hätt ich glaub ich ein schritt geschafft:
[mm] \wurzel{n^2+n+1} [/mm] - [mm] \wurzel{n^2-1} [/mm] * [mm] \bruch{\wurzel{n^2+n+1} + \wurzel{n^2-1}}{{\wurzel{n^2+n+1} + \wurzel{n^2-1}}} [/mm]
wäre das richtig? und wenn ja was wäre denn der nächste schritt? :S
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> zu a) hätt ich glaub ich ein schritt geschafft:
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> [mm]\wurzel{n^2+n+1}\ -\ \wurzel{n^2-1}\ *\ \bruch{\wurzel{n^2+n+1} + \wurzel{n^2-1}}{{\wurzel{n^2+n+1} + \wurzel{n^2-1}}}[/mm]
>
>
> wäre das richtig?
Du hast es richtig gemeint, aber nicht korrekt geschrieben.
Du müsstest Klammern setzen:
[mm]\left(\wurzel{n^2+n+1}\ -\ \wurzel{n^2-1}\right)\ *\ \bruch{\wurzel{n^2+n+1} + \wurzel{n^2-1}}{{\wurzel{n^2+n+1} + \wurzel{n^2-1}}}[/mm]
und was wäre denn der nächste Schritt?
Multipliziere jetzt den Klammerterm zum Zähler des
Bruches dazu und verwende die dritte binom. Formel !
LG
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Also wenn ich es zum Bruch multipliziere und quadriere bleibt oben im Zähler nur n?
ich hab das jetzt so gemacht [mm] n^2+n+1-n^2-1 [/mm] = n im Zähler falsch? :S
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> Also wenn ich es zum Bruch multipliziere und quadriere
> bleibt oben im Zähler nur n?
>
> ich hab das jetzt so gemacht [mm]n^2+n+1-n^2-1[/mm] = n im Zähler
> falsch? :S
Ja, das ist falsch !
Wieder hast du notwendige Klammern weggelassen !
Und deklariere bitte deine weiteren Fragen nicht als
Mitteilungen, sondern eben wirklich als Fragen !
LG
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[mm] (n^2+n+1) [/mm] - ( [mm] n^2-1) [/mm] = [mm] n^2+n+1-n^2+1 [/mm] = n+2 oder ist das auch falsch? :S
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> [mm](n^2+n+1)\ -\ (n^2-1)\ =\ n^2+n+1-n^2+1\ =\ n+2[/mm] ![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]")
So ist es richtig.
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| Status: |
(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 20:57 Di 08.01.2013 | | Autor: | ellegance88 |
okay so hab ich das ja auch aufgeschrieben. nun im Zähler steht es ja noch mit der Wurzel. könnte man dort nicht eig direkt [mm] n^2 [/mm] ausklammern und dann normal nach den Grenzwertsätzen rechnen oder muss ich dort auch noch was machen?
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meinte nenner* nicht zähler ^^ im zähler steht ja n+2 :)
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Jetzt bleibt der Nenner übrig. [mm] \bruch{n+2}{\wurzel{n^2+n+1} + \wurzel{n^2+1} } [/mm] Könnte ich es nicht zu einer Wurzel zusammen fassen?
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> Jetzt bleibt der Nenner übrig.
> [mm]\bruch{n+2}{\wurzel{n^2+n+1} + \wurzel{n^2+1} }[/mm] Könnte ich
> es nicht zu einer Wurzel zusammen fassen?
Um Gottes willen, bitte nicht...
Aber nutze doch mal die Grenzwertsätze:
[mm] \limes_{n\to\infty}\bruch{n+2}{\wurzel{n^2+n+1}+\wurzel{n^2+1}}
[/mm]
[mm] =\limes_{n\to\infty}\bruch{n}{\wurzel{n^2+n+1}+\wurzel{n^2+1}}+\limes_{n\to\infty}\bruch{2}{\wurzel{n^2+n+1}+\wurzel{n^2+1}}
[/mm]
Was der zweite Grenzwert ist, ist vermutlich klar. Bei dem ersten solltest du noch durch n teilen. Dann kannst du nach altbekannter "Schulregel" den Grenzwert ausrechnen. Was kommt dabei heraus?
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Also wenn ich es richtig gemacht habe hab ich auf der linken Seite [mm] \bruch{1}{2} [/mm] raus und auf der rechten Seite hab ich 1 raus richtig?
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Hallo,
> Also wenn ich es richtig gemacht habe hab ich auf der
> linken Seite [mm]\bruch{1}{2}[/mm] raus und auf der rechten Seite
> hab ich 1 raus richtig?
Wo ist links und wo ist rechts? Zitier einfach den Beitrag und schreib dann einfach dort weiter. Dann kommt es auch zu keinen Missverstädnissen.
Wir waren hier:
[mm] \limes_{n\to\infty}\bruch{n}{\wurzel{n^2+n+1}+\wurzel{n^2+1}}+\limes_{n\to\infty}\bruch{2}{\wurzel{n^2+n+1}+\wurzel{n^2+1}}
[/mm]
[mm] =\frac{1}{2}+0
[/mm]
Der zweite Grenzwert ist null. Schließlich wird der Nenner doch unendlich groß und zwingt so den Bruch sehr klein zu werden.
Damit ist also die Lösung [mm] \frac{1}{2}.
[/mm]
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Tut mir leid, bin zum ersten Mal im Forum es ist bischen komplizierter mit den Latex usw dass ich bischen durcheinander komme aber ja das meint ich auch. habe auch [mm] \bruch{1}{2} [/mm] raus. Danke :)
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> Tut mir leid, bin zum ersten Mal im Forum es ist bischen
> komplizierter mit den Latex usw dass ich bischen
> durcheinander komme aber ja das meint ich auch. habe auch
> [mm]\bruch{1}{2}[/mm] raus. Danke :)
Kein Problem. Wir helfen trotzdem gerne, aber es verzögert eben die Antworten und die möglichen Interessanten, die die Frage beantworten wollen. Das ist für dich einfach von Nachteil.
Den Latex-Code kannst du dir anzeigen lassen, wenn du auf die Formel klickst. Außerdem hilft der Editor unterhalb des Eingabefensters oft weiter. Und wenn du kein Latex benutzt/benutzen kannst, dann bitte eindeutig (!) schreiben (besonders wichtig bei Klammern).
Aber generell sehen wir es hier gerne, wenn alles ordentlich dargestellt wird.
Grüße.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:35 Di 08.01.2013 | | Autor: | Richie1401 |
Hallo ellegance88,
du musst und schon sagen, gegen was denn x und n laufen soll. Vermutlich soll [mm] n\to\infty [/mm] untersucht werden. Bei den x kann man es vermuten, aber sicher kann man sich nicht wirklich sein.
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Ups sry hab ich vergessen. bei a.) n --> unendlich bei b) x ---> 0 bei c) x ---> 1 und bei d) x --->0
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> Ups sry hab ich vergessen. bei a.) n --> unendlich bei b)
> x ---> 0 bei c) x ---> 1 und bei d) x --->0
Aha. Das ist noch ziemlich wichtig !!
Schreibe also als kleine Übung mal die Grenzwerte mit der
korrekten Formelschreibweise. Beispiel:
d) [mm] $\limes_{x\to0}\ \bruch{x^3\,*\,cos(x)}{sin(x)-x} [/mm] $
LG, Al-Chw.
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Hallo,
> Bestimmen Sie die folgenden Grenzwerte.
>
> a) [mm]\lim_{n\to\infty}(\wurzel{n^2+n+1}-\wurzel{n^2-1})[/mm]
>
> b) [mm]\lim_{x\to 0}\;\bruch{x}{e^x-1}[/mm]
>
> c) [mm]\lim_{x\to 1}\left(\bruch{1}{x-1}-\bruch{2}{x^2-1}\right)[/mm]
>
> d) [mm]\lim_{x\to 0}\;\bruch{x^3 cos(x)}{sin(x)-x}[/mm]
>
>
> Hallo ellegance88, ich habe mal Deine späteren Angaben in
> die Aufgabenstellung eingearbeitet. (reverend)
>
> Guten abend.:) hätte jemand lust die Aufgaben mit mir eben
> durch zurechnen? Könnte hilfe gebrauchen komme nicht sehr
> weit.
>
> also zu a erstmal. Ich weiß, dass ich den "Trick" anwenden
> muss, dass ich es zu einer 3. binomischen Formel machen
> muss. Anschließend glaub n bzw [mm]n^2[/mm] je nach dem kürzen und
> dann müsste es schon sein aber ich kriege das nicht hin.
>
> zu b.) da weiß ich dass [mm]e^x[/mm] niemals 0 werden kann, d.h. es
> müsste doch gegen unendlich konvergieren also konvergiert
> es nur bestimmt? :S und wenn es richtig sein sollte wie
> schreib ich es denn auf?
Hattet ihr denn schon die Regel von L'Hospital? Damit löst sich das ganze nämlich ganz ganz fix.
>
> zu c.) würd ich auch den ersten Bruch so erweitern mit n-1
> dass es den gleichen Hauptnenner hat dann zusammen rechnen
> und x ausklammern? oder komplett falsch?
Ein n kommt hier gar nicht vor. Die Erweiterung ist jedoch eine gute Möglichkeit um das Biest in den Griff zu bekommen.
Fasse also den Bruch zusammen und versuche das ganze weitgehend zu vereinfachen (Tipp: 3. Binomische Formel)
>
> zu d) hab ich keine ahnung cosinus und sinus verwirren mich
> dort.. -.-
Auch hier wäre die Regel von l'Hospital wieder sehr nützlich.
>
> Ich weiß ziemlich viele Fragen aufeinmal :D aber wäre
> nett wenn einer die mit mir durch gehen würde.
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
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Ja die Regel von L´Hospital hatten wir. dann müsste ich es mit der ersten Ableitung versuchen oder nicht? und wenn es immer noch eine nicht definierte Aussage ergibt immer weiter versuchen bis es klappt richtig?
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> Ja die Regel von L´Hospital hatten wir. dann müsste ich
> es mit der ersten Ableitung versuchen oder nicht?
Das klingt ein bisschen wirr. Aber vermutlich meinst du das richtige.
1) Prüfe ob die Voraussetzungen erfüllt sind.
2) Wende die Regel an (1. Ableitung in Zähler und Nenner und dann versuchen den Grenzwert zu bestimmen.)
> und wenn
> es immer noch eine nicht definierte Aussage ergibt immer
> weiter versuchen bis es klappt richtig?
Wenn die Voraussetzungen für die Anwendung der Regel von l'Hospital erfüllt sind, so darfst du diese auch noch einmal anwenden.
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bei b) hab ich einmal die L´Hospital regel angewendet und dann ging es ich habe den Grenzwert 0 raus stimmt es?
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> bei b) hab ich einmal die L´Hospital regel angewendet und
> dann ging es ich habe den Grenzwert 0 raus stimmt es?
Nein, das stimmt nicht.
Notiere hier die Ableitungen. Setze ein und schau was raus kommt.
Präsentiere uns bitte hier den Rechenweg.
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die erste Ableitung hab ich [mm] \bruch{e^x(-x-1)}{(e^x-1)^2}
[/mm]
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> die erste Ableitung hab ich [mm]\bruch{e^x(-x-1)}{(e^x-1)^2}[/mm]
Fehler.
Seien die Voraussetzungen der Regel von l'Hospital erfüllt.
Dann gilt
[mm] \limes_{x\to{x_0}}\frac{f(x)}{g(x)}=\limes_{x\to{x_0}}\frac{f'(x)}{g'(x)}
[/mm]
Du bildest also vom Zähler und vom Nenner unabhängig die Ableitungen.
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hmm dann müsste es ja [mm] \bruch{1}{e^x} [/mm] sein? und wenn x gegen 0 strebt ist [mm] e^0 [/mm] = 1 dann müsste der Grenzwert bei 1 sein?
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> hmm dann müsste es ja [mm]\bruch{1}{e^x}[/mm] sein? und wenn x
> gegen 0 strebt ist [mm]e^0[/mm] = 1 dann müsste der Grenzwert bei
> 1 sein?
Genau so ist es. Auf deinem Aufgabenblatt solltest du das natürlich ein bisschen besser notieren. Aber der Grenzwert stimmt.
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ja das sowieso :) okay also a und b sind fertig nun c. :) bei c würd ich den nenner erweitern aber mit was? habe [mm] n^2-1 [/mm] im zweiten Nenner
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> ja das sowieso :) okay also a und b sind fertig nun c. :)
> bei c würd ich den nenner erweitern aber mit was? habe
> [mm]n^2-1[/mm] im zweiten Nenner
Ich habe schon einmal geschrieben, dass doch in der Aufgabe gar kein n vorkommt!
[mm] \lim_{x\to 1}\left(\bruch{1}{x-1}-\bruch{2}{x^2-1}\right) [/mm] ist zu bestimmen.
Tipp: Es ist [mm] x^2-1=(x-1)(x+1)
[/mm]
Mit was erweitert man also [mm] \bruch{1}{x-1}?
[/mm]
Und was ergibt sich zusammenfassend?
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ja habe x mit n verwechselt. Habe es aufgeschrieben eben grade. Ist es richtig? :S
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Ich habe bei c jetzt die dritte binomische formel angewendet:
[mm] \bruch{1x+1}{(x-1)+(x-1)} [/mm] = [mm] \bruch{x+1}{x^2-1} [/mm] also nun steht da insgesamt
[mm] \bruch{x+1}{x^2-1} [/mm] - [mm] \bruch{2}{x^2-1} [/mm] ist das richtig?
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> Ich habe bei c jetzt die dritte binomische formel
> angewendet:
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> [mm]\bruch{1x+1}{(x-1)+(x-1)}[/mm] = [mm]\bruch{x+1}{x^2-1}[/mm]
Na, das wollen wir mal schnell wieder streichen. Ich hoffe das war nur ein Verschreiber...
> also nun
> steht da insgesamt
>
> [mm]\bruch{x+1}{x^2-1}[/mm] - [mm]\bruch{2}{x^2-1}[/mm] ist das richtig?
Ja. Aber du kannst doch nocht weiter vereinfachen!
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Habe mehrere Tippfehler gesehen bei mir grade es ist glaub schon bischen zu spät für Mathe aber hoffe du nimmst mir es nicht übel.
habe dort [mm] \bruch{x-1}{x^2-1} [/mm] aber müsste auch falsch sein oder? :S konzentration fehlt glaub ich ..
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Hallo
[mm] \bruch{x-1}{x^2-1} [/mm] sieht doch gut aus, jetzt im Nenner Binomische Formel machen
[mm] \bruch{x-1}{(x-1)*(x+1)}
[/mm]
(x-1) kürzen
[mm] \bruch{1}{x+1}
[/mm]
und du bist am Ziel deiner Träume
Steffi
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Danke :) bei d wende ich jetzt die L´hospitalregel an und da habe ich als erste Ableitung [mm] \bruch{3x^2*(-sinx)}{cosx-1} [/mm] ist das richtig?
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Habe jetzt dreimal die L´Hospitalregel angewendet und bin auf einen Grenzwert gestoßen nämlich auf 0.
[mm] \bruch{6*sinx}{-cos x} [/mm] wenn ich x gegen 0 streben lasse kommt [mm] \bruch{0}{-1} [/mm] = 0 oder?
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Hallo, hat eigentlich schon mal jemand gesagt: ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
??
Ich habe vorhin nur kurz Deine Aufgabenstellung editiert, mehr Zeit war gerade nicht. Das ist ja eine Riesendiskussion geworden...
> Habe jetzt dreimal die L´Hospitalregel angewendet und bin
> auf einen Grenzwert gestoßen nämlich auf 0.
>
> [mm]\bruch{6*sinx}{-cos x}[/mm] wenn ich x gegen 0 streben lasse
> kommt [mm]\bruch{0}{-1}[/mm] = 0 oder?
Wenn das die Ableitung gewesen wäre, dann ja.
Dass die aber nicht stimmt, hat Dir Richie ja schon geschrieben.
Grüße
reverend
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> Danke :) bei d wende ich jetzt die L´hospitalregel an und
> da habe ich als erste Ableitung
> [mm]\bruch{3x^2*(-sinx)}{cosx-1}[/mm] ist das richtig?
Im Zähler musst du bei der Ableitung natürlich die Produktregel anwenden.
Also hast du dann:
[mm] \frac{3x^2*\cos(x)-x^3\sin(x)}{\cos(x)-1}
[/mm]
Hier kann man immer noch nicht den Grenzwert bilden. Aber die Voraussetzungen der Regel sind erfüllt. Also wenden wir noch einmal l'Hospital an:
[mm] \frac{6x*\cos(x)-3x^2*\sin(x)-(3x^2*\sin(x)+x^3\cos(x))}{-\sin(x)}=\frac{6x*\cos(x)-6x^2*\sin(x)-x^3\cos(x)}{-\sin(x)}
[/mm]
Und noch einmal die Regel führt auf
[mm] \frac{6*\cos(x)-9x^2*\cos(x)-18x\sin(x)+x^3\sin(x)}{-\cos(x)}
[/mm]
Jetzt kannst du den Grenzwert bilden und man erhält?
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Ich habe überall jetzt 0 für x eingesetzt und habe den Grenzwert -6 raus ist der richtig?
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Jawoll :D danke schön. :) jetzt aber erstmal schlafen morgen nachmittag weiter lernen. Gute nacht und vielen danke nochmal :)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:26 Di 08.01.2013 | | Autor: | Richie1401 |
> konzentration fehlt glaub ich ..
Ein gut gemeinter Hinweis: Dann schalt den PC aus. Und ab in die Koje. Das hat keinen Zweck, wenn du dich hier nun abquälst. Mach die Aufgaben in Ruhe und nicht auf Krampf. So wirst du nix mitnehmen. Kein Lerneffekt. Das wäre schade.
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hast zwar recht aber will trotzdem die aufgabe d wenigstens noch fertig machen, habe es jetzt wenigstens verstanden bis jetzt ist alles noch im Kopf drinne hoffe ich ^^
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