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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:52 Mi 12.08.2009 | | Autor: | Help23 |
| Aufgabe | Geben sie die Grenzwerte an.
a) [mm] a_{n}= \bruch{(-1)^n}{n^2}
[/mm]
b) [mm] b_{n}= \bruch{2n^3+n^2+1}{n^3+2n^2-1}
[/mm]
c) [mm] c_{n}= [/mm] 2 - [mm] 2^{-n}
[/mm]
d) [mm] d_{n}= 3^n(6^{-n} [/mm] - [mm] 3^{-n+1}) [/mm] |
Hey Leute!!!!!
ich bin mir noch nicht so ganz sicher, ob ich das Prinzip der Grenzwertberechnung richtig verstanden habe.
In meinem Buch und im I - net habe ich bis jetzt nur gefunden, dass "man durch die höchste vorkommende Potenz von n dividiert um so Nullfolgen zu erhalten"
An den dazu gefundenen Beispiel ließ sich das auch alles gut nachvollziehen, bei meinen Aufgaben bin ich mir hingegen nicht ganz sicher...
Hier meine Rechnungen:
a) [mm] a_{n}= \bruch{(-1)^n}{n^2} [/mm] = [mm] \bruch{\bruch{-1^n}{n^2}}{\bruch{n^2}{n^2}} [/mm] = [mm] \bruch{\bruch{-1}{n}}{\bruch{n^2}{n^2}} =\bruch{0}{1}=0
[/mm]
So, was sagt mir dieses Ergebnis jetzt aus, muss ich dann nochmal rechnen 0 : 1 = 0?????
Also ich weiß durch ausprobieren, dass diese Folge gegen Null konvergiert, aber ist das so richtig berechnent??
b) [mm] b_{n}= \bruch{2n^3+n^2+1}{n^3+2n^2-1}=\bruch{\bruch{2n^3}{n^3}+\bruch{n^2}{n^3}+\bruch{1}{n^3}}{\bruch{n^3}{n^3}+\bruch{2n^3}{n^3}-\bruch{1}{n^3}} [/mm] = [mm] \bruch{2 + \bruch{0}{n}+0}{1+\bruch{2}{n}+0}=\bruch{2+0+0}{1+0+0}=\bruch{2}{1}=2
[/mm]
So, un bei dieser Art von Folge bin ich mir überhaupt nicht sicher, ob man das so machen kann....
c) [mm] c_{n}= [/mm] 2 - [mm] 2^{-n} [/mm] = [mm] \bruch{2}{n}- \bruch{2^{-n}}{n}= [/mm] 0 - [mm] 2^{-1} [/mm] = 0 - (-2) = 2
Vielleicht hab ich auch totalen Unfug gemacht 
d) [mm] d_{n}= 3^n(6^{-n} [/mm] - [mm] 3^{-n+1}) [/mm] = [mm] \bruch{3^n}{n} (\bruch{6^-^n}{n}-\bruch{3^{-n+1}}{n})
[/mm]
Ab hier bin ich mir dann nicht mehr sicher wie es weiter geht.
= 3 [mm] (\bruch{6^-^1}{1} [/mm] - [mm] \bruch{3^{-1+1}}{1}) [/mm] =3 (-6 - 3) = 3 (-9) = -27
Dann kann aber nicht sein, weil ich weiß, dass die Folge gegen - 3 konvergiert, ich komme aber einfach nicht darauf.......
Ach ja, und dann hatte ich noch ein Beispiel bei dem als Ergebnis stand [mm] \bruch{1}{0} [/mm] und ide Aussage, die Folge wäre damit divergent. Warum frage ich mich, weil man nicht durch 0 teilen kann?????
So, das wärs erstmal...
LG Help23
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Hallo Help23,
> Geben sie die Grenzwerte an.
>
> a) [mm]a_{n}= \bruch{(-1)^n}{n^2}[/mm]
>
> b) [mm]b_{n}= \bruch{2n^3+n^2+1}{n^3+2n^2-1}[/mm]
>
> c) [mm]c_{n}=[/mm] 2 - [mm]2^{-n}[/mm]
>
> d) [mm]d_{n}= 3^n(6^{-n}[/mm] - [mm]3^{-n+1})[/mm]
> Hey Leute!!!!!
>
> ich bin mir noch nicht so ganz sicher, ob ich das Prinzip
> der Grenzwertberechnung richtig verstanden habe.
> In meinem Buch und im I - net habe ich bis jetzt nur
> gefunden, dass "man durch die höchste vorkommende Potenz
> von n dividiert um so Nullfolgen zu erhalten"
>
> An den dazu gefundenen Beispiel ließ sich das auch alles
> gut nachvollziehen, bei meinen Aufgaben bin ich mir
> hingegen nicht ganz sicher...
>
> Hier meine Rechnungen:
>
> a) [mm]a_{n}= \bruch{(-1)^n}{n^2}[/mm] = [mm]\bruch{\bruch{-1^n}{n^2}}{\bruch{n^2}{n^2}}[/mm] = [mm]\bruch{\bruch{-1}{n}}{\bruch{n^2}{n^2}}[/mm]
uiuiui, was hast du denn hier gemacht? Ein n aus dem Exponenten gegen ein n gekürzt?
Oh làlà ... das geht nicht 
Die Folge konvergiert tatsächlich alternierend gegen 0, mache einen einfachen [mm] $\varepsilon$-Beweis:
[/mm]
Gib dir ein beliebiges [mm] $\varepsilon>0$ [/mm] vor und bestimme ein [mm] $n(\varepsilon)\in\IN$ [/mm] derart, dass für alle [mm] $n>n(\varepsilon)$ [/mm] gilt: [mm] $\left|\frac{(-1)^n}{n^2}-0\right|<\varepsilon$.
[/mm]
Schätze mal dazu den Betrag [mm] $\left|\frac{(-1)^n}{n^2}-0\right|$ [/mm] ab ...
> [mm] =\bruch{0}{1}=0[/mm]
>
> So, was sagt mir dieses Ergebnis jetzt aus, muss ich dann
> nochmal rechnen 0 : 1 = 0?????
> Also ich weiß durch ausprobieren, dass diese Folge gegen
> Null konvergiert, aber ist das so richtig berechnent??
Nein, siehe oben
>
>
> b) [mm]b_{n}= \bruch{2n^3+n^2+1}{n^3+2n^2-1}=\bruch{\bruch{2n^3}{n^3}+\bruch{n^2}{n^3}+\bruch{1}{n^3}}{\bruch{n^3}{n^3}+\bruch{2n^{\red{2}}}{n^3}-\bruch{1}{n^3}}[/mm] ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
genau! [mm] n^3 [/mm] auszuklammern, ist genau die richtige Idee
> = [mm]\bruch{2 + \bruch{0}{n}+0}{1+\bruch{2}{n}+0}[/mm] ![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
was ist hier passiert? Zunächst mal kannst du von dem letzten richtigen Ausdruck schön großzügig kürzen und bekommst
[mm] $\frac{2+\frac{1}{n}+\frac{1}{n^3}}{1+\frac{2}{n}-\frac{1}{n^3}}$
[/mm]
Nun lasse [mm] $n\to\infty$ [/mm] gehen, dann ergibt sich der GW 2 ...
> [mm]=\bruch{2+0+0}{1+0+0}=\bruch{2}{1}=2[/mm]
>
> So, un bei dieser Art von Folge bin ich mir überhaupt
> nicht sicher, ob man das so machen kann....
Die Idee, die höchste Potenz von n im Zähler und Nenner auszuklammern, ist goldrichtig, dann hast du aber irgendwas verquarzt ...
>
> c) [mm]c_{n}=[/mm] 2 - [mm]2^{-n}[/mm] = [mm]\bruch{2}{n}- \bruch{2^{-n}}{n} [/mm]
Wie können denn die beiden Terme linkerhand und rechterhand gleich sein? Rechterhand steht doch [mm] $\frac{c_n}{n}$. [/mm] Und das ist [mm] $\neq c_n$
[/mm]
> [mm]=[/mm] 0
> - [mm]2^{-1}[/mm] = 0 - (-2) = 2
>
> Vielleicht hab ich auch totalen Unfug gemacht
Ziemlich, obwohl der GW stimmt
Bedenke [mm] $\lim\limits_{n\to\infty}\left(2-2^{-n}\right)=\lim\limits_{n\to\infty}2 [/mm] \ - \ [mm] \lim\limits_{n\to\infty}2^{-n}=\lim\limits_{n\to\infty}2 [/mm] \ - \ [mm] \lim\limits_{n\to\infty}\frac{1}{2^n}=2-\frac{1}{\lim\limits_{n\to\infty}2^n}=...$
[/mm]
>
>
> d) [mm]d_{n}= 3^n(6^{-n}[/mm] - [mm]3^{-n+1})[/mm] = [mm]\bruch{3^n}{n} (\bruch{6^-^n}{n}-\bruch{3^{-n+1}}{n})[/mm]
Irgendwer scheint dir den Floh ins Ohr gesetzt zu haben, dass du immer durch n teilen sollst?!
Das ist doch grober Unfug!
Schreibe mal mit Potenzgesetzen [mm] $d_n=3^n\left(6^{-n}-3^{-n+1}\right)=3^n\left(3^{-n}\cdot{}2^{-n}-3^{-n}\cdot{}3\right)$
[/mm]
Nun ausmultiplizieren und es fällt dir wie Schuppen von den Haaren ...
>
> Ab hier bin ich mir dann nicht mehr sicher wie es weiter
> geht.
>
> = 3 [mm](\bruch{6^-^1}{1}[/mm] - [mm]\bruch{3^{-1+1}}{1})[/mm] =3 (-6 - 3) =
> 3 (-9) = -27
>
> Dann kann aber nicht sein, weil ich weiß, dass die Folge
> gegen - 3 konvergiert, ich komme aber einfach nicht
> darauf.......
>
> Ach ja, und dann hatte ich noch ein Beispiel bei dem als
> Ergebnis stand [mm]\bruch{1}{0}[/mm] und ide Aussage, die Folge
> wäre damit divergent. Warum frage ich mich, weil man nicht
> durch 0 teilen kann?????
Jein, durch 0 teilen geht ja nicht, man legt dann fest [mm] $\frac{M}{0}=\infty$ [/mm] für alle $M>0$ bzw. [mm] $-\infty$ [/mm] für alle $M<0$. Für $M=0$ hast du einen unbestimmten Ausdruck [mm] $\frac{0}{0}$
[/mm]
Ebenso legt man fest [mm] $\frac{M}{\infty}=0$ [/mm]
Bedenke aber, dass [mm] $\infty$ [/mm] keine Zahl im eigentlichen Sinne ist ...
Das sind nur Festlegungen
>
> So, das wärs erstmal...
>
> LG Help23
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:31 Mi 12.08.2009 | | Autor: | Help23 |
Hey!!!!
So langsam wird mir einiges klarer.
Leider findet man nicht viele konkrete Beispiele zur Grenzwertberechnung.
Und die Beispiele, die ich gefunden hab hieß es eben immer durch die höchste Potenz von n dividieren
Deshalb war meine Vermutung nun, dass das "immer" klappt *peinlich*
Wovon mach ich das denn abhängig, ob das durch n dividieren geht oder nicht, das hab ich noch nicht ganz verstanden!!!!!!!!!!!!!!!
Aufgabe a) - c) hab ich verstanden und kann das auch nachvollziehen....nur d) kann ich noch nicht ganz nachvollziehen, wie kommt man denn von [mm] -3^{-n+1} [/mm] auf [mm] -3^{-n}*3
[/mm]
LG Help23
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:34 Mi 12.08.2009 | | Autor: | Loddar |
Hallo Help!
Bei Aufgabe d.) wurde eines der  Potenzgesetze angewandt mit:
[mm] $$a^{m+n} [/mm] \ = \ [mm] a^m*a^n$$
[/mm]
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:28 Mi 12.08.2009 | | Autor: | Help23 |
Ok, soweit so klar mit den Potenzgesetzen....
Wenn ich das jetzt aber ausmultipliziere
$ [mm] d_n=3^n\left(6^{-n}-3^{-n+1}\right)=3^n\left(3^{-n}\cdot{}2^{-n}-3^{-n}\cdot{}3\right) [/mm] $ = [mm] 9^{-n+n}+6^{-n+n}-9^{-n+n}+3^n*3
[/mm]
Fallen dann die Potenzen weg?????
Dann steht da ja nur noch [mm] 9+6-9+3*3^n=6+3*3^n
[/mm]
Leider vesteh ich immer noch nicht, wie ich dann auf einen Grenzwert von -3 kommen soll????? *langeleitunghab*
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Hallo Help23,
> Ok, soweit so klar mit den Potenzgesetzen....
>
> Wenn ich das jetzt aber ausmultipliziere
>
> [mm]d_n=3^n\left(6^{-n}-3^{-n+1}\right)=3^n\left(3^{-n}\cdot{}2^{-n}-3^{-n}\cdot{}3\right)[/mm]
> = [mm]9^{-n+n}+6^{-n+n}-9^{-n+n}+3^n*3[/mm]
Der letzte Schritt stimmt nicht.
[mm]3^n\left(3^{-n}\cdot{}2^{-n}-3^{-n}\cdot{}3\right)=3^{n}*3^{-n}*2^{-n}-3^{n}*3^{-n}*3 \not=9^{-n+n}+6^{-n+n}-9^{-n+n}+3^n*3[/mm]
Nun, wende das Potenzgesetz an, das Loddar in diesem Artikel beschrieben hat.
>
> Fallen dann die Potenzen weg?????
>
> Dann steht da ja nur noch [mm]9+6-9+3*3^n=6+3*3^n[/mm]
>
> Leider vesteh ich immer noch nicht, wie ich dann auf einen
> Grenzwert von -3 kommen soll????? *langeleitunghab*
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:53 Mi 12.08.2009 | | Autor: | Help23 |
Leute ich werd wahnsinnig........
Gilt hier [mm] a^0=1???????
[/mm]
Dann stände da
[mm] 3^n\left(3^{-n}\cdot{}2^{-n}-3^{-n}\cdot{}3\right)=3^{n}\cdot{}3^{-n}\cdot{}2^{-n}-3^{n}\cdot{}3^{-n}\cdot{}3 =1+1-1+3*3^n=1+3*3^n
[/mm]
So, und dann ist bei mir schon wieder Schicht im Schacht....also, neues Spiel, neues Glück...ich bitte um den nächsten Tip
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Hallo Help23,
> Leute ich werd wahnsinnig........
>
> Gilt hier [mm]a^0=1???????[/mm]
Ja.
>
> Dann stände da
>
> [mm]3^n\left(3^{-n}\cdot{}2^{-n}-3^{-n}\cdot{}3\right)=3^{n}\cdot{}3^{-n}\cdot{}2^{-n}-3^{n}\cdot{}3^{-n}\cdot{}3 =1+1-1+3*3^n=1+3*3^n[/mm]
>
> So, und dann ist bei mir schon wieder Schicht im
> Schacht....also, neues Spiel, neues Glück...ich bitte um
> den nächsten Tip
In dem Ausdruck stehen Multiplikationszeichen:
[mm]3^{n}\blue{\*}3^{-n}\blue{\*}2^{-n}-3^{n}\blue{\*}3^{-n}\blue{\*}3[/mm]
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:39 Mi 12.08.2009 | | Autor: | Help23 |
So, am besten noch mal gaaaannzzz langsam von vorn.
[mm] 3^n\left(3^{-n}\cdot{}2^{-n}-3^{-n}\cdot{}3\right)=3^{n}\cdot{}3^{-n}\cdot{}2^{-n}-3^{n}\cdot{}3^{-n}\cdot{}3 =1*2^{-n}-3^{-n}*3=2^{-n}-3^{-n}*3
[/mm]
Und jetzt??? Oder immer noch falsch????
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:52 Mi 12.08.2009 | | Autor: | Help23 |
Ich dachte immer das geht nicht, oder soll ich einfach annehmen, dass da [mm] 3^1 [/mm] steht???
[mm] 2^{-n}-3^{-n}\cdot{}3^1=2^{-n}-3x^{-n+1}
[/mm]
So, aber dann gehst ja schon wieder nich weiter....aber ich muss doch irgendwie auf -3 kommen :-(
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Hallo nochmal,
schau nochmal 1 post höher, da hast du zuerst richtig distributiv ausmultipliziert:
[mm] $3^n\cdot{}\left(3^{-n}\cdot{}2^{-n}-3^{-n}\cdot{}3\right)=\red{3^n\cdot{}3^{-n}}\cdot{}2^{-n}-\blue{3^n\cdot{}3^{-n}}\cdot{}3$
[/mm]
Soweit hattest du das richtig, dann hast du im ersten Summanden, also in [mm] $3^n\cdot{}3^{-n}\cdot{}2^{-n}$ [/mm] richtig zusammengefasst zu [mm] $1\cdot{}2^{-n}$.
[/mm]
Im zweiten Summanden hast du einfach nur [mm] $3^n$ [/mm] weggelassen, das musst du aber genauso zusammenmodeln...
Nun klar, wo der Fehler war?
LG
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:11 Mi 12.08.2009 | | Autor: | Help23 |
Hach, ich glaub es hat klick gemacht..................
Hat ja nun auch lage genug gedauert!!!!!!!!!!!!!!!!!!
[mm] 3^n\left(3^{-n}\cdot{}2^{-n}-3^{-n}\cdot{}3\right)=3^{n}\cdot{}3^{-n}\cdot{}2^{-n}-3^{n}\cdot{}3^{-n}\cdot{}3 =1*2^{-n}-1*3=2^{-n}-3
[/mm]
Und da [mm] 2^{-n}= \limes_{n\rightarrow\infty}=0
[/mm]
Steht dann da
[mm] 2^{-n}= \limes_{n\rightarrow\infty}0 \limes_{n\rightarrow\infty}-3=0-3=-3
[/mm]
Vielen vielen Dank für die Hilfe!!!!!!!!!
LG Help23
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Hallo nochmal,
> Hach, ich glaub es hat klick gemacht..................
> Hat ja nun auch lage genug gedauert!!!!!!!!!!!!!!!!!!
>
> [mm]3^n\left(3^{-n}\cdot{}2^{-n}-3^{-n}\cdot{}3\right)=3^{n}\cdot{}3^{-n}\cdot{}2^{-n}-3^{n}\cdot{}3^{-n}\cdot{}3 =1*2^{-n}-1*3=2^{-n}-3[/mm]
>
> Und da [mm]2^{-n}= \limes_{n\rightarrow\infty}=0[/mm]
>
> Steht dann da
> [mm]2^{-n}= \limes_{n\rightarrow\infty}0 \limes_{n\rightarrow\infty}-3=0-3=-3[/mm]
>
HEUREKA!
Aber das kannst und darfst du so nicht schreiben:
Besser: [mm] $\lim\limits_{n\to\infty}2^{-n}=0$ [/mm] und [mm] $\lim\limits_{n\to\infty}3=3\Rightarrow \lim\limits_{n\to\infty}\left(2^{-n}-3\right)=\lim\limits_{n\to\infty}2^{-n}-\lim\limits_{n\to\infty}3=0-3=-3$
[/mm]
> Vielen vielen Dank für die Hilfe!!!!!!!!!
> LG Help23
>
LG
schachuzipus
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Hallo Help23,
> Hey!!!!
>
> So langsam wird mir einiges klarer.
> Leider findet man nicht viele konkrete Beispiele zur
> Grenzwertberechnung.
> Und die Beispiele, die ich gefunden hab hieß es eben
> immer durch die höchste Potenz von n dividieren
>
> Deshalb war meine Vermutung nun, dass das "immer" klappt
> *peinlich*
>
> Wovon mach ich das denn abhängig, ob das durch n
> dividieren geht oder nicht, das hab ich noch nicht ganz
> verstanden!!!!!!!!!!!!!!!
Durch das n oder Potenzen von n kann man dividieren,
wenn man im Zähler und Nenner Polynome in n hat.
>
> Aufgabe a) - c) hab ich verstanden und kann das auch
> nachvollziehen....nur d) kann ich noch nicht ganz
> nachvollziehen, wie kommt man denn von [mm]-3^{-n+1}[/mm] auf
> [mm]-3^{-n}*3[/mm]
>
> LG Help23
Gruss
MathePower
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:10 Mi 12.08.2009 | | Autor: | Help23 |
Gut, diese Mitteilung fehlt irgendwie in meinem Buch :-´)
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