Grenzwerte berechnen < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Es seien [mm] $(c_{n})_{n \in N}$ [/mm] eine beschränkte Folge und [mm] $(a_{n})_{n \in N}$ [/mm] eine konvergente Folge deren Grenzwert mit a bezeichnet werden soll.
Es sollen die Ergebnisse der Vorlesung angewendet werden, um die folgenden Werte zu berechnen:
a) [mm] $\limes_{n\rightarrow\infty} \left( a_{n} + \bruch{n}{1+n} \right)^{2},$
[/mm]
b) [mm] $\limes_{n\rightarrow\infty} \left( a_{n} + \bruch{a_{n}+1}{n+ \left| c_{n} \right|} \right),$
[/mm]
c) [mm] $\limes_{n\rightarrow\infty} (a_{n}-a_{n+1}+a_{n+2}-a_{n+4}).$ [/mm] |
Hallo,
im Lehrbuch heißt es "Konvergente Folgen sind beschränkt, unbeschränkte Folgen sind divergent."
Warum existieren in dieser Aufgabe die beschränkte Folge [mm] $(c_{n})_{n \in N}$ [/mm] sowie die konvergente Folge [mm] $(a_{n})_{n \in N}$ [/mm] gleichzeitig und nicht ausschließlich [mm] $(a_{n})_{n \in N}$ [/mm] ? ![[verwirrt]](/images/smileys/verwirrt.gif "[verwirrt]")
[mm] $(a_{n})_{n \in N}$ [/mm] ist hier (wie schon in der Aufgabe im anderen Thread) nicht konkret und ich frage mich, wie ich bei dieser Aufgabe überhaupt ansetzen kann?
Vielen Dank!
Gruß
el_grecco
P.S. Sorry, dass ich keinen eigenen Lösungsansatz habe, aber obwohl ich bereits sehr lange das "Repetitorium der Analysis", Wikipedia, die Vorlesungsunterlagen von heuer und letztem Jahr durchforstet habe, bin ich nicht schlauer geworden.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:57 Do 09.12.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
warum sie in der aufgabe sstehen ist doch einfach: weil sie jemand da so wollte. eine Beschränkte folge ist nicht immer konvergent_ einfachses Beispiel [mm] c_n=(-1)^n [/mm] inst nach unten und oben beschränkt, aber nicht konvergent
die Satze, die du anwenden sollst solltest du wissen wenn [mm] a_n, [/mm] bn gegen a,b konvergieren dan konv [mm] a_n+b_n [/mm] gegen a+b [mm] a_n*b_n [/mm] gegen a*b
dass [mm] a_n [/mm] und [mm] a_{n+k} [/mm] k fest gegen denselben GW konvergieren
sieh die folgen daraufhin an. dass [mm] c_n [/mm] beschränkt ist nach unten und oben kannst du immer [mm] A
Die einzelnen folgen sind wirklich einfach, wenn du sie in Teilen untersuchst. also mach dich ran!
Gruss leduart
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| Aufgabe | Es seien [mm] $(c_{n})_{n \in N}$ [/mm] eine beschränkte Folge und [mm] $(a_{n})_{n \in N}$ [/mm] eine konvergente Folge deren Grenzwert mit a bezeichnet werden soll.
Es sollen die Ergebnisse der Vorlesung angewendet werden, um die folgenden Werte zu berechnen:
a) [mm] $\limes_{n\rightarrow\infty} \left( a_{n} + \bruch{n}{1+n} \right)^{2},$
[/mm]
b) [mm] $\limes_{n\rightarrow\infty} \left( a_{n} + \bruch{a_{n}+1}{n+ \left| c_{n} \right|} \right),$
[/mm]
c) [mm] $\limes_{n\rightarrow\infty} (a_{n}-a_{n+1}+a_{n+2}-a_{n+4}).$ [/mm] |
Hallo leduart,
ich bin die ![[]](/images/popup.gif) Rechenregeln inzwischen zigmal durchgegangen, aber wegen dem nicht konkreten [mm] $a_{n}$ [/mm] komme ich einfach nicht weiter.
Eine Aufgabe wie die hier wäre wesentlich humaner:
[mm] $\lim_{n\to\infty}\frac{2n^2-1}{n^2+1}=\lim_{n\to\infty}\frac{2-\frac{1}{n^2}}{1+\frac{1}{n^2}}=\frac{\lim_{n\to\infty}\left(2-\frac{1}{n^2}\right)}{\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac{1}{n^2}\right)}=\frac{2-\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n^2}}{1+\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n^2}}=\frac{2-0}{1+0}=2$
[/mm]
Für einen Tipp wie ich mit dem [mm] $a_{n}$ [/mm] verfahren kann wäre ich sehr dankbar.
Gruß
el_grecco
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:34 Fr 10.12.2010 | | Autor: | Loddar |
Hallo el_grecco!
Sieh Dir die Bedingungen an, für welche die  Grenzwertsätze gelten.
Und z.B. bei Teilaufgabe a.) weißt Du doch:
[mm] $\limes_{n\rightarrow\infty}a_n [/mm] \ = \ a$
[mm] $\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{n}{1+n} [/mm] \ = \ ...$
Was folgt dann also für den kombinierten Grenzwert? Dürfen die Grenzwertsätze angewandt werden?
Gruß
Loddar
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| Aufgabe | Es seien [mm] $(c_{n})_{n \in N}$ [/mm] eine beschränkte Folge und [mm] $(a_{n})_{n \in N}$ [/mm] eine konvergente Folge deren Grenzwert mit a bezeichnet werden soll.
Es sollen die Ergebnisse der Vorlesung angewendet werden, um die folgenden Werte zu berechnen:
a) [mm] $\limes_{n\rightarrow\infty} \left( a_{n} + \bruch{n}{1+n} \right)^{2},$
[/mm]
b) [mm] $\limes_{n\rightarrow\infty} \left( a_{n} + \bruch{a_{n}+1}{n+ \left| c_{n} \right|} \right),$
[/mm]
c) [mm] $\limes_{n\rightarrow\infty} (a_{n}-a_{n+1}+a_{n+2}-a_{n+4}).$ [/mm] |
Danke Loddar,
wegen der binomischen Formel teile ich den Ausdruck in Teilaufgabe a) so auf und hoffe, dass das richtig ist:
[mm] $\limes_{n\rightarrow\infty} \left( a_{n} + \bruch{n}{1+n} \right)^{2}$
[/mm]
[mm] $=\limes_{n\rightarrow\infty} \left( a_{n} + \bruch{n}{1+n} \right)*\limes_{n\rightarrow\infty} \left( a_{n} + \bruch{n}{1+n} \right)$
[/mm]
[mm] $=\left( \limes_{n\rightarrow\infty}a_{n}+\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{n}{1+n} \right)*\left( \limes_{n\rightarrow\infty}a_{n}+\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{n}{1+n} \right)$
[/mm]
$=(a+1)*(a+1)$
[mm] $=a^{2}+2a+1$
[/mm]
Vielen Dank
&
Gruß
el_grecco
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 17:12 Fr 10.12.2010 | | Autor: | Loddar |
Hallo el_grecco!
So ist es richtig.
Gruß
Loddar
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| Aufgabe | Es seien [mm] $(c_{n})_{n \in N}$ [/mm] eine beschränkte Folge und [mm] $(a_{n})_{n \in N}$ [/mm] eine konvergente Folge deren Grenzwert mit a bezeichnet werden soll.
Es sollen die Ergebnisse der Vorlesung angewendet werden, um die folgenden Werte zu berechnen:
a) [mm] $\limes_{n\rightarrow\infty} \left( a_{n} + \bruch{n}{1+n} \right)^{2},$
[/mm]
b) [mm] $\limes_{n\rightarrow\infty} \left( a_{n} + \bruch{a_{n}+1}{n+ \left| c_{n} \right|} \right),$
[/mm]
c) [mm] $\limes_{n\rightarrow\infty} (a_{n}-a_{n+1}+a_{n+2}-a_{n+4}).$ [/mm] |
Hallo,
ich bitte um Korrektur der
Teilaufgabe b)
[mm] $\limes_{n\rightarrow\infty} \left( a_{n} + \bruch{a_{n}+1}{n+ \left| c_{n} \right|} \right)$
[/mm]
[mm] $=\limes_{n\rightarrow\infty}a_{n}+\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{a_{n}+1}{n+ \left| c_{n} \right|}$
[/mm]
[mm] $=\limes_{n\rightarrow\infty}a_{n}+\bruch{\limes_{n\rightarrow\infty}(a_{n}+1)}{\limes_{n\rightarrow\infty}(n+ \left| c_{n} \right|)}$
[/mm]
[mm] $=\limes_{n\rightarrow\infty}a_{n}+\bruch{\limes_{n\rightarrow\infty}a_{n}+\limes_{n\rightarrow\infty}1}{\limes_{n\rightarrow\infty}n+ \limes_{n\rightarrow\infty}\left| c_{n} \right|}$
[/mm]
[mm] $=a+\bruch{a+1}{n + \left| c \right|}$
[/mm]
Vielen Dank.
Gruß
el_grecco
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> Es seien [mm](c_{n})_{n \in N}[/mm] eine beschränkte Folge und
> [mm](a_{n})_{n \in N}[/mm] eine konvergente Folge deren Grenzwert
> mit a bezeichnet werden soll.
>
> Es sollen die Ergebnisse der Vorlesung angewendet werden,
> um die folgenden Werte zu berechnen:
>
> a) [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \left( a_{n} + \bruch{n}{1+n} \right)^{2},[/mm]
>
> b) [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \left( a_{n} + \bruch{a_{n}+1}{n+ \left| c_{n} \right|} \right),[/mm]
>
> c) [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} (a_{n}-a_{n+1}+a_{n+2}-a_{n+4}).[/mm]
>
> Hallo,
>
> ich bitte um Korrektur der
>
> Teilaufgabe b)
>
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \left( a_{n} + \bruch{a_{n}+1}{n+ \left| c_{n} \right|} \right)[/mm]
>
> [mm]=\limes_{n\rightarrow\infty}a_{n}+\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{a_{n}+1}{n+ \left| c_{n} \right|}[/mm]
>
> [mm]=\limes_{n\rightarrow\infty}a_{n}+\bruch{\limes_{n\rightarrow\infty}(a_{n}+1)}{\limes_{n\rightarrow\infty}(n+ \left| c_{n} \right|)}[/mm]
>
Dieser folgende Schritt geht nicht, weil z.B. n keine konvergente Folge ist. Also im Nenner klappt das nicht so....
> [mm]=\limes_{n\rightarrow\infty}a_{n}+\bruch{\limes_{n\rightarrow\infty}a_{n}+\limes_{n\rightarrow\infty}1}{\limes_{n\rightarrow\infty}n+ \limes_{n\rightarrow\infty}\left| c_{n} \right|[/mm]
>
Brauchst du aber auch nicht, du kannst z.B. abschätzen:
[mm]\limes_{n\rightarrow\infty}(n+ \left| c_{n} \right|) > \limes_{n\rightarrow\infty}(n)[/mm]
Und der existiert nicht, also kann der von deinem eigentlichen Nenner erst recht nicht existieren. Oder etwas umgangssprachlicher: Der Grenzwert "ist [mm] +\infty". [/mm] Damit geht der gesamte Bruch gegen.... na?
> [mm]=a+\bruch{a+1}{n + \left| c \right|}[/mm]
>
>
> Vielen Dank.
Gern geschehen 
>
> Gruß
> el_grecco
>
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| Aufgabe | Es seien [mm] $(c_{n})_{n \in N}$ [/mm] eine beschränkte Folge und [mm] $(a_{n})_{n \in N}$ [/mm] eine konvergente Folge deren Grenzwert mit a bezeichnet werden soll.
Es sollen die Ergebnisse der Vorlesung angewendet werden, um die folgenden Werte zu berechnen:
a) [mm] $\limes_{n\rightarrow\infty} \left( a_{n} + \bruch{n}{1+n} \right)^{2},$
[/mm]
b) [mm] $\limes_{n\rightarrow\infty} \left( a_{n} + \bruch{a_{n}+1}{n+ \left| c_{n} \right|} \right),$
[/mm]
c) [mm] $\limes_{n\rightarrow\infty} (a_{n}-a_{n+1}+a_{n+2}-a_{n+4}).$ [/mm] |
Hallo weightgainer,
Teilaufgabe b)
[mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \left( a_{n} + \bruch{a_{n}+1}{n+ \left| c_{n} \right|} \right)[/mm]
[mm]=\limes_{n\rightarrow\infty}a_{n}+\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{a_{n}+1}{n+ \left| c_{n} \right|}[/mm]
[mm]=\limes_{n\rightarrow\infty}a_{n}+\bruch{\limes_{n\rightarrow\infty}(a_{n}+1)}{\limes_{n\rightarrow\infty}(n+ \left| c_{n} \right|)}[/mm]
> Dieser folgende Schritt geht nicht, weil z.B. n keine
> konvergente Folge ist. Also im Nenner klappt das nicht
> so....
> [mm]=\limes_{n\rightarrow\infty}a_{n}+\bruch{\limes_{n\rightarrow\infty}a_{n}+\limes_{n\rightarrow\infty}1}{\limes_{n\rightarrow\infty}n+ \limes_{n\rightarrow\infty}\left| c_{n} \right|[/mm]
> Brauchst du aber auch nicht, du kannst z.B. abschätzen:
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}(n+ \left| c_{n} \right|) > \limes_{n\rightarrow\infty}(n)[/mm]
>
> Und der existiert nicht, also kann der von deinem
> eigentlichen Nenner erst recht nicht existieren. Oder etwas
> umgangssprachlicher: Der Grenzwert "ist [mm]+\infty".[/mm] Damit
> geht der gesamte Bruch gegen.... na?
... unendlich. Aber warum existiert der Grenzwert für die Abschätzung bzw. meinen eigentlichen Nenner nicht?
Gruß
el_grecco
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> Es seien [mm](c_{n})_{n \in N}[/mm] eine beschränkte Folge und
> [mm](a_{n})_{n \in N}[/mm] eine konvergente Folge deren Grenzwert
> mit a bezeichnet werden soll.
>
> Es sollen die Ergebnisse der Vorlesung angewendet werden,
> um die folgenden Werte zu berechnen:
>
> a) [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \left( a_{n} + \bruch{n}{1+n} \right)^{2},[/mm]
>
> b) [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \left( a_{n} + \bruch{a_{n}+1}{n+ \left| c_{n} \right|} \right),[/mm]
>
> c) [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} (a_{n}-a_{n+1}+a_{n+2}-a_{n+4}).[/mm]
>
> Hallo weightgainer,
>
> Teilaufgabe b)
>
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \left( a_{n} + \bruch{a_{n}+1}{n+ \left| c_{n} \right|} \right)[/mm]
>
> [mm]=\limes_{n\rightarrow\infty}a_{n}+\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{a_{n}+1}{n+ \left| c_{n} \right|}[/mm]
>
> [mm]=\limes_{n\rightarrow\infty}a_{n}+\bruch{\limes_{n\rightarrow\infty}(a_{n}+1)}{\limes_{n\rightarrow\infty}(n+ \left| c_{n} \right|)}[/mm]
>
> > Dieser folgende Schritt geht nicht, weil z.B. n keine
> > konvergente Folge ist. Also im Nenner klappt das nicht
> > so....
> >
> [mm]=\limes_{n\rightarrow\infty}a_{n}+\bruch{\limes_{n\rightarrow\infty}a_{n}+\limes_{n\rightarrow\infty}1}{\limes_{n\rightarrow\infty}n+ \limes_{n\rightarrow\infty}\left| c_{n} \right|[/mm]
>
> > Brauchst du aber auch nicht, du kannst z.B. abschätzen:
> > [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}(n+ \left| c_{n} \right|) > \limes_{n\rightarrow\infty}(n)[/mm]
>
> >
> > Und der existiert nicht, also kann der von deinem
> > eigentlichen Nenner erst recht nicht existieren. Oder etwas
> > umgangssprachlicher: Der Grenzwert "ist [mm]+\infty".[/mm] Damit
> > geht der gesamte Bruch gegen.... na?
>
> ... unendlich. Aber warum existiert der Grenzwert für die
> Abschätzung bzw. meinen eigentlichen Nenner nicht?
>
Ne, geht er nicht.... der Nenner (das, was unten steht), wird immer größer und größer und größer und das was im Zähler steht das dümpelt so um irgendeinen Wert herum..... also wird das für große n immer kleiner, geht sozusagen gegen 0.
Das funktioniert nicht, weil du das mit den Grenzwertsätzen nur benutzen kannst, wenn die auftauchenden Folgen konvergieren:
Gegenbeispiel:
[mm]\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{3n+1}{2n-2}=
\bruch{\limes_{n\rightarrow\infty}3n + \limes_{n\rightarrow\infty}1}{\limes_{n\rightarrow\infty}2n - \limes_{n\rightarrow\infty}2} = \bruch{\infty + 1}{\infty - 2} = ??????????[/mm]
In echt geht das dann so:
[mm]\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{3n+1}{2n-2}=
\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{n*\links(3+\bruch{1}{n}\rechts)}{n*\links(2-\bruch{2}{n}\rechts)} =
\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{3+\bruch{1}{n}}{2-\bruch{2}{n}} [/mm]
Hier ist jetzt alles schön konvergent, du kannst den lim verteilen und bekommst den richtigen Grenzwert [mm] \bruch{3}{2}.
[/mm]
Unterschied klar?
>
> Gruß
> el_grecco
>
lg weightgainer
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| Aufgabe | Es seien [mm] $(c_{n})_{n \in N}$ [/mm] eine beschränkte Folge und [mm] $(a_{n})_{n \in N}$ [/mm] eine konvergente Folge deren Grenzwert mit a bezeichnet werden soll.
Es sollen die Ergebnisse der Vorlesung angewendet werden, um die folgenden Werte zu berechnen:
a) [mm] $\limes_{n\rightarrow\infty} \left( a_{n} + \bruch{n}{1+n} \right)^{2},$
[/mm]
b) [mm] $\limes_{n\rightarrow\infty} \left( a_{n} + \bruch{a_{n}+1}{n+ \left| c_{n} \right|} \right),$
[/mm]
c) [mm] $\limes_{n\rightarrow\infty} (a_{n}-a_{n+1}+a_{n+2}-a_{n+4}).$ [/mm] |
Hallo weightgainer,
vielen Dank für die ausführliche Veranschaulichung, jetzt ist mir der Unterschied klar geworden. 
Hoffentlich habe ich das richtig auf die aktuelle Aufgabe übertragen... nochmals von Anfang an:
Teilaufgabe b)
[mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \left( a_{n} + \bruch{a_{n}+1}{n+ \left| c_{n} \right|} \right)[/mm]
[mm]=\limes_{n\rightarrow\infty}a_{n}+\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{a_{n}+1}{n+ \left| c_{n} \right|}[/mm]
[mm]=\limes_{n\rightarrow\infty}a_{n}+\bruch{\limes_{n\rightarrow\infty}(a_{n}+1)}{\limes_{n\rightarrow\infty}(n+ \left| c_{n} \right|)}[/mm]
[mm]=\limes_{n\rightarrow\infty}a_{n}+\bruch{a+1}{\underbrace{\limes_{n\rightarrow\infty}(n+ \left| c_{n} \right|)}_{+\infty}}[/mm]
[mm]= a + 0 = a[/mm]
Gruß
el_grecco
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![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Schönes WE,
weightgainer
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Vielen Dank weightgainer (bist du zufällig im Bodybuilding aktiv? ),
kurz noch zwei Fragen zum Verständnis der Grenzwertsätze (quasi als Feinschliff):
$ [mm] =\limes_{n\rightarrow\infty}a_{n}+\bruch{\limes_{n\rightarrow\infty}(a_{n}+1)}{\limes_{n\rightarrow\infty}(n+ \left| c_{n} \right|)} [/mm] $
[mm] $=\limes_{n\rightarrow\infty}a_{n}+\bruch{a+1}{\underbrace{\limes_{n\rightarrow\infty}(n+ \left| c_{n} \right|)}_{+\infty}}$
[/mm]
Im Zähler ist die 1 keine konvergente Folge... Warum durfte aber auf den Zähler der Grenzwertsatz angewendet werden?
Hätte man im Nenner den Grenzwertsaz anwenden können, wenn es geheißen hätte [mm] $\limes_{n\rightarrow\infty}(n+a_{n})?$
[/mm]
Gruß
el_grecco
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 23:58 Fr 10.12.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
1 ist doch ne Konstante, wenn du unbedingt willst ne konstante Folge mit GW 1
wenn [mm] a_n [/mm] gegen a konv konvergiert [mm] a_n+c [/mm] gegen a+c
Gruss leduart
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| Aufgabe | Es seien [mm](c_{n})_{n \in N}[/mm] eine beschränkte Folge und [mm](a_{n})_{n \in N}[/mm] eine konvergente Folge deren Grenzwert mit a bezeichnet werden soll.
Es sollen die Ergebnisse der Vorlesung angewendet werden, um die folgenden Werte zu berechnen:
a) [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \left( a_{n} + \bruch{n}{1+n} \right)^{2},[/mm]
b) [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \left( a_{n} + \bruch{a_{n}+1}{n+ \left| c_{n} \right|} \right),[/mm]
c) [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} (a_{n}-a_{n+1}+a_{n+2}-a_{n+4}).[/mm] |
Hallo,
ich bitte um Korrektur meiner bisherigen Lösung zu Teilaufgabe c):
[mm] $\limes_{n\rightarrow\infty} (a_{n}-a_{n+1}+a_{n+2}-a_{n+4})$
[/mm]
[mm] $=\limes_{n\rightarrow\infty}(a_{n}-a_{n+1})+\limes_{n\rightarrow\infty}(a_{n+2}-a_{n+4})$
[/mm]
[mm] $=\limes_{n\rightarrow\infty}a_{n}-\limes_{n\rightarrow\infty}a_{n+1}+\limes_{n\rightarrow\infty}a_{n+2} -\limes_{n\rightarrow\infty}a_{n+4}$
[/mm]
$ = a-a + a-a = 0$
Vielen Dank.
Gruß
el_grecco
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 23:56 Fr 10.12.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
richtig!
Gruss leduart
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