Grenzwerte berechnen < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:27 So 01.05.2011 | | Autor: | Mandy_90 |
| Aufgabe | Man berechne den jeweiligen Grenzwert in [mm] \IR [/mm] der nachstehenden Folgen für n \ [mm] \to \infty, [/mm] n [mm] \in \IN.
[/mm]
a) [mm] \bruch{5n+1}{7n-2}
[/mm]
b) [mm] \bruch{2n^{2}+5}{3n^{3}-1}
[/mm]
c) [mm] \bruch{\summe_{k=0}^{k^{2}}}{n^{3}} [/mm] |
Hallo zusammen^^
Ich habe die Grenzwerte berechnet und wüsste gerne ob die richtig wissen.
a) Es ist [mm] \bruch{5n+1}{7n-2}=\bruch{n*(5+\bruch{1}{n})}{n*(7-\bruch{2}{n})}=\bruch{(5+\bruch{1}{n})}{(7-\bruch{2}{n})}. [/mm] Dann ist der Grenzwert [mm] \bruch{5}{7}. [/mm] Ich bin mir aber nicht sicher ob es erlaubt ist, im zweite Schritt das n einfach wegzukürzen, darf man das tun?
b) Es ist [mm] \bruch{2n^{2}+5}{3n^{3}-1}=\bruch{n^{2}(2+\bruch{5}{n^{2}})}{n^{3}*(3-\bruch{1}{n^{3}})}. [/mm] Jetzt kürze ich wieder das [mm] n^{2} [/mm] weg und habe [mm] \bruch{2+\bruch{5}{n^{2}}}{n*(3-\bruch{1}{n^{3}})}. [/mm] Jetzt geht der Zähler gegen 2 und die [mm] 3-\bruch{1}{n^{3}} [/mm] gegen 3 und das n im Zähler eben gegen [mm] \infty. [/mm] Also hab ich da sowas stehen [mm] \bruch{2}{3n}=\bruch{1}{n}*\bruch{2}{3}. [/mm] Das [mm] \bruch{1}{n} [/mm] geht aber gegen Null, somit müsste der Grenzwert 0 sein.
Das stimmt aber nicht, denn der Grenzwert ist [mm] \bruch{2}{3}.
[/mm]
Wo liegt der Fehler in meiner Rechnung?
c) Hier gilt [mm] \bruch{\summe_{k=0}^{k^{2}}}{n^{3}}=\bruch{0^{2}+1^{2}+2^{2}+...+n^{2}}{n^{3}}=\bruch{0^{2}}{n^{3}}+\bruch{1}{n^{3}}+...+\bruch{n^{2}}{n^{3}}. [/mm] Jetzt geht jeder Summand bis auf der letzte gegen 0. Für den letzten Summanden gilt
[mm] \bruch{n^{2}}{n^{3}}=\bruch{1}{n}, [/mm] das geht ebefalls gegen Null, also geht der komplette Term gegen Null.
Vielen Dank
lg
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:35 So 01.05.2011 | | Autor: | Lippel |
Hallo,
> Man berechne den jeweiligen Grenzwert in [mm]\IR[/mm] der
> nachstehenden Folgen für n \ [mm]\to \infty,[/mm] n [mm]\in \IN.[/mm]
>
> a) [mm]\bruch{5n+1}{7n-2}[/mm]
>
> b) [mm]\bruch{2n^{2}+5}{3n^{3}-1}[/mm]
>
> c) [mm]\bruch{\summe_{k=0}^{k^{2}}}{n^{3}}[/mm]
> Hallo zusammen^^
>
> Ich habe die Grenzwerte berechnet und wüsste gerne ob die
> richtig wissen.
>
> a) Es ist
> [mm]\bruch{5n+1}{7n-2}=\bruch{n*(5+\bruch{1}{n})}{n*(7-\bruch{2}{n})}=\bruch{(5+\bruch{1}{n})}{(7-\bruch{2}{n})}.[/mm]
> Dann ist der Grenzwert [mm]\bruch{5}{7}.[/mm] Ich bin mir aber nicht
> sicher ob es erlaubt ist, im zweite Schritt das n einfach
> wegzukürzen, darf man das tun?
Ja klar darf man das. Das Ergebnis stimmt.
> b) Es ist
> [mm]\bruch{2n^{2}+5}{3n^{3}-1}=\bruch{n^{2}(2+\bruch{5}{n^{2}})}{n^{3}*(3-\bruch{1}{n^{3}})}.[/mm]
> Jetzt kürze ich wieder das [mm]n^{2}[/mm] weg und habe
> [mm]\bruch{2+\bruch{5}{n^{2}}}{n*(3-\bruch{1}{n^{3}})}.[/mm] Jetzt
> geht der Zähler gegen 2 und die [mm]3-\bruch{1}{n^{3}}[/mm] gegen 3
> und das n im Zähler eben gegen [mm]\infty.[/mm] Also hab ich da
> sowas stehen [mm]\bruch{2}{3n}=\bruch{1}{n}*\bruch{2}{3}.[/mm] Das
> [mm]\bruch{1}{n}[/mm] geht aber gegen Null, somit müsste der
> Grenzwert 0 sein.
> Das stimmt aber nicht, denn der Grenzwert ist
> [mm]\bruch{2}{3}.[/mm]
> Wo liegt der Fehler in meiner Rechnung?
Alles richtig bei dir. Der Grenzwert ist 0, und nicht [mm] $\frac{2}{3}$, [/mm] falls du die Aufgabe richtig aufgeschrieben hast. Damit [mm] $\frac{2}{3}$ [/mm] rauskommt, müssten die zwei Exponenten bei den n gleich sein.
> c) Hier gilt
> [mm]\bruch{\summe_{k=0}^{k^{2}}}{n^{3}}=\bruch{0^{2}+1^{2}+2^{2}+...+n^{2}}{n^{3}}=\bruch{0^{2}}{n^{3}}+\bruch{1}{n^{3}}+...+\bruch{n^{2}}{n^{3}}.[/mm]
> Jetzt geht jeder Summand bis auf der letzte gegen 0. Für
> den letzten Summanden gilt
> [mm]\bruch{n^{2}}{n^{3}}=\bruch{1}{n},[/mm] das geht ebefalls gegen
> Null, also geht der komplette Term gegen Null.
s. Abakus
LG
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(Korrektur) fundamentaler Fehler  | | Datum: | 11:50 So 01.05.2011 | | Autor: | abakus |
> Hallo,
>
> > Man berechne den jeweiligen Grenzwert in [mm]\IR[/mm] der
> > nachstehenden Folgen für n \ [mm]\to \infty,[/mm] n [mm]\in \IN.[/mm]
> >
> > a) [mm]\bruch{5n+1}{7n-2}[/mm]
> >
> > b) [mm]\bruch{2n^{2}+5}{3n^{3}-1}[/mm]
> >
> > c) [mm]\bruch{\summe_{k=0}^{k^{2}}}{n^{3}}[/mm]
> > Hallo zusammen^^
> >
> > Ich habe die Grenzwerte berechnet und wüsste gerne ob die
> > richtig wissen.
> >
> > a) Es ist
> >
> [mm]\bruch{5n+1}{7n-2}=\bruch{n*(5+\bruch{1}{n})}{n*(7-\bruch{2}{n})}=\bruch{(5+\bruch{1}{n})}{(7-\bruch{2}{n})}.[/mm]
> > Dann ist der Grenzwert [mm]\bruch{5}{7}.[/mm] Ich bin mir aber nicht
> > sicher ob es erlaubt ist, im zweite Schritt das n einfach
> > wegzukürzen, darf man das tun?
>
> Ja klar darf man das. Das Ergebnis stimmt.
>
> > b) Es ist
> >
> [mm]\bruch{2n^{2}+5}{3n^{3}-1}=\bruch{n^{2}(2+\bruch{5}{n^{2}})}{n^{3}*(3-\bruch{1}{n^{3}})}.[/mm]
> > Jetzt kürze ich wieder das [mm]n^{2}[/mm] weg und habe
> > [mm]\bruch{2+\bruch{5}{n^{2}}}{n*(3-\bruch{1}{n^{3}})}.[/mm] Jetzt
> > geht der Zähler gegen 2 und die [mm]3-\bruch{1}{n^{3}}[/mm] gegen 3
> > und das n im Zähler eben gegen [mm]\infty.[/mm] Also hab ich da
> > sowas stehen [mm]\bruch{2}{3n}=\bruch{1}{n}*\bruch{2}{3}.[/mm] Das
> > [mm]\bruch{1}{n}[/mm] geht aber gegen Null, somit müsste der
> > Grenzwert 0 sein.
> > Das stimmt aber nicht, denn der Grenzwert ist
> > [mm]\bruch{2}{3}.[/mm]
> > Wo liegt der Fehler in meiner Rechnung?
>
> Alles richtig bei dir. Der Grenzwert ist 0, und nicht
> [mm]\frac{2}{3}[/mm], falls du die Aufgabe richtig aufgeschrieben
> hast. Damit [mm]\frac{2}{3}[/mm] rauskommt, müssten die zwei
> Exponenten bei den n gleich sein.
>
> > c) Hier gilt
> >
> [mm]\bruch{\summe_{k=0}^{k^{2}}}{n^{3}}=\bruch{0^{2}+1^{2}+2^{2}+...+n^{2}}{n^{3}}=\bruch{0^{2}}{n^{3}}+\bruch{1}{n^{3}}+...+\bruch{n^{2}}{n^{3}}.[/mm]
> > Jetzt geht jeder Summand bis auf der letzte gegen 0. Für
> > den letzten Summanden gilt
> > [mm]\bruch{n^{2}}{n^{3}}=\bruch{1}{n},[/mm] das geht ebefalls
> gegen
> > Null, also geht der komplette Term gegen Null.
Hallo,
Es gibt eine Summenformel für Quadratzahlen, und zwar gilt
[mm] 1^2+2^2+...+(n-1)^2+n^2=\bruch{n(n+1)(2n+1)}{6}.
[/mm]
Beim Ausmultiplizieren ergibt sich im Zähler für die höchste Potenz
[mm] 2*n^3.
[/mm]
Wenn der gesamte Term durch [mm] n^3 [/mm] dividiert wird, geht das Ergebnis gegen [mm] \bruch{2}{6}=\bruch{1}{3}.
[/mm]
Gruß Abakus
>
> Genau, zumindest wenn die obere Grenze in der Summe [mm]n^2[/mm]
> heißt, nicht [mm]k^2[/mm].
>
> LG
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:24 So 01.05.2011 | | Autor: | Mandy_90 |
> s. Abakus
>
Ich wollte eigentlich zu abakus' Mitteilung ein Frage stellen, geht aber irgendwie nicht.
Also das mit der Summenformel leuchtet ein,Danke abakus. Nur wüsste ich gerne, an welcher Stelle der Fehler in meiner Überlegung liegt, denn die finde ich auch einleuchtend.Der korrekte Term lautet [mm] \bruch{\summe_{k=0}^{n}k^{2}}{n^{3}}, [/mm] ich hatte eben das mit der Summe irgendwie falsch abgetippt.
lg
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> > s. Abakus
> >
>
> Ich wollte eigentlich zu abakus' Mitteilung ein Frage
> stellen, geht aber irgendwie nicht.
> Also das mit der Summenformel leuchtet ein,Danke abakus.
> Nur wüsste ich gerne, an welcher Stelle der Fehler in
> meiner Überlegung liegt, denn die finde ich auch
> einleuchtend.Der korrekte Term lautet
> [mm]\bruch{\summe_{k=0}^{n}k^{2}}{n^{3}},[/mm] ich hatte eben das
> mit der Summe irgendwie falsch abgetippt.
da die summe divergiert, kannst du das leider nicht so betrachten und musst den tip von abakus in die tat umsetzen
>
> lg
gruß tee
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:50 So 01.05.2011 | | Autor: | Mandy_90 |
| Aufgabe | | d) [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \wurzel{n^{2}+n}-\wurzel{n}. [/mm] |
Hallo,
> da die summe divergiert, kannst du das leider nicht so
> betrachten und musst den tip von abakus in die tat
> umsetzen
Ok, ich nehme es mal so hin, denn wir haben Divergenz noch nicht definiert,vielleicht versteh ich das dann.
Ich hab jetzt noch einen Grenzwert,bei dem ich mir unsicher bin.
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \wurzel{n^{2}+n}-\wurzel{n}.Der [/mm] ganze Term geht gegen + [mm] \infty [/mm] würde ich sagen, das sieht man schon.
Wie "berechnet" man denn so einen Grenzwert, wenn es eigentlich schon klar ist.Ich hab eine Umformung gemacht,aber das bringt eigentlich auch nichts: [mm] \wurzel{n^{2}+n}-\wurzel{n}=\wurzel{n}(1+\wurzel{n+1}). [/mm]
Kann man das so lassen oder muss man da groß rumrechnen und zeigen,dass der Term wirklich gegen [mm] +\infty [/mm] geht ?
Vielen Dank
lg
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> d) [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \wurzel{n^{2}+n}-\wurzel{n}.[/mm]
>
> Hallo,
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> > da die summe divergiert, kannst du das leider nicht so
> > betrachten und musst den tip von abakus in die tat
> > umsetzen
>
> Ok, ich nehme es mal so hin, denn wir haben Divergenz noch
> nicht definiert,vielleicht versteh ich das dann.
>
> Ich hab jetzt noch einen Grenzwert,bei dem ich mir unsicher
> bin.
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \wurzel{n^{2}+n}-\wurzel{n}.Der[/mm]
> ganze Term geht gegen + [mm]\infty[/mm] würde ich sagen, das sieht
> man schon.
> Wie "berechnet" man denn so einen Grenzwert, wenn es
> eigentlich schon klar ist.Ich hab eine Umformung
> gemacht,aber das bringt eigentlich auch nichts:
> [mm]\wurzel{n^{2}+n}-\wurzel{n}=\wurzel{n}(1+\wurzel{n+1}).[/mm]
> Kann man das so lassen oder muss man da groß rumrechnen
> und zeigen,dass der Term wirklich gegen [mm]+\infty[/mm] geht ?
> Vielen Dank
bei solchen wurzeltermen erweitert man meist zum 3. binom:
also bei [mm] \sqrt{a}-\sqrt{b} [/mm] erweitert man mit [mm] \frac{\sqrt{a}+\sqrt{b}}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}
[/mm]
im zähler fallen dann die wurzeln weg und anschließend kann man im nenner ausklammern und kürzen
> lg
gruß tee
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:56 So 01.05.2011 | | Autor: | Mandy_90 |
Hallo fencheltee,
> bei solchen wurzeltermen erweitert man meist zum 3.
> binom:
> also bei [mm]\sqrt{a}-\sqrt{b}[/mm] erweitert man mit
> [mm]\frac{\sqrt{a}+\sqrt{b}}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}[/mm]
> im zähler fallen dann die wurzeln weg und anschließend
> kann man im nenner ausklammern und kürzen
Danke für den Tipp. Das habe ich mal gemacht, aber ich sehe nicht, was mir das gebracht hat.Also
[mm] \wurzel{n^{2}+n}-\wurzel{n}*\bruch{\wurzel{n^{2}+n}+\wurzel{n}}{\wurzel{n^{2}+n}+\wurzel{n}}=\bruch{n^{2}}{\wurzel{n^{2}+n}+\wurzel{n}}.
[/mm]
Dann hab ich ich Nenner [mm] \wurzel{n} [/mm] ausgeklammert und mit [mm] n^{2} [/mm] gekürzt und habe [mm] \bruch{\wurzel{n^{3}}}{1+\wurzel{n+1}}.
[/mm]
Dann hab ich ja wieder eine Wurzel im Zähler, also klammere ich [mm] \wurzeln{n} [/mm] lieber doch nicht aus.
Ehrlich gesagt weiß ich nicht, was ich sonst noch im Nenner ausklammern kann. ?
Vielen Dank
lg
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Hallo Mandy_90,
> Hallo fencheltee,
>
> > bei solchen wurzeltermen erweitert man meist zum 3.
> > binom:
> > also bei [mm]\sqrt{a}-\sqrt{b}[/mm] erweitert man mit
> > [mm]\frac{\sqrt{a}+\sqrt{b}}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}[/mm]
> > im zähler fallen dann die wurzeln weg und
> anschließend
> > kann man im nenner ausklammern und kürzen
>
> Danke für den Tipp. Das habe ich mal gemacht, aber ich
> sehe nicht, was mir das gebracht hat.Also
>
> [mm]\wurzel{n^{2}+n}-\wurzel{n}*\bruch{\wurzel{n^{2}+n}+\wurzel{n}}{\wurzel{n^{2}+n}+\wurzel{n}}=\bruch{n^{2}}{\wurzel{n^{2}+n}+\wurzel{n}}.[/mm]
Im Nenner kannst Du nur "n" ausklammern.
> Dann hab ich ich Nenner [mm]\wurzel{n}[/mm] ausgeklammert und mit
> [mm]n^{2}[/mm] gekürzt und habe
> [mm]\bruch{\wurzel{n^{3}}}{1+\wurzel{n+1}}.[/mm]
> Dann hab ich ja wieder eine Wurzel im Zähler, also
> klammere ich [mm]\wurzeln{n}[/mm] lieber doch nicht aus.
> Ehrlich gesagt weiß ich nicht, was ich sonst noch im
> Nenner ausklammern kann. ?
>
> Vielen Dank
> lg
>
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:55 Do 05.05.2011 | | Autor: | Mandy_90 |
Hallo MathePower,
> >
> [mm]\wurzel{n^{2}+n}-\wurzel{n}*\bruch{\wurzel{n^{2}+n}+\wurzel{n}}{\wurzel{n^{2}+n}+\wurzel{n}}=\bruch{n^{2}}{\wurzel{n^{2}+n}+\wurzel{n}}.[/mm]
>
>
> Im Nenner kannst Du nur "n" ausklammern.
>
Ok,das habe ich gemacht,aber es hat mir nicht viel gebracht.Denn wenn ich n ausklammere und kürze,habe ich:
[mm] \bruch{n}{\bruch{\wurzel{n^{2}+n}}{n}+\bruch{\wurzel{n}}{n}}.
[/mm]
Der zweite Summande im Nenner geht gegen 0.
Aber bei dem Rest dreht sich bei mir alles im Kreis,ich finde dafür keine passende Umformung. Wie kann ich denn hier weitermachen?
Vielen Dank
lg
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> Hallo MathePower,
>
> > >
> >
> [mm]\wurzel{n^{2}+n}-\wurzel{n}*\bruch{\wurzel{n^{2}+n}+\wurzel{n}}{\wurzel{n^{2}+n}+\wurzel{n}}=\bruch{n^{2}}{\wurzel{n^{2}+n}+\wurzel{n}}.[/mm]
> >
> >
> > Im Nenner kannst Du nur "n" ausklammern.
es sieht schöner aus, wenn man das n im nenner des nenners in der wurzel behält:
[mm] \bruch{n^{2}}{\wurzel{n^{2}+n}+\wurzel{n}}=\frac{n^2}{n*\left(\sqrt{1+\frac{1}{n}}+\sqrt{\frac{1}{n}}\right)}
[/mm]
nun das n kürzen.. der zähler geht dann gegen [mm] \infty [/mm] und der nenner gegen 1
> >
>
> Ok,das habe ich gemacht,aber es hat mir nicht viel
> gebracht.Denn wenn ich n ausklammere und kürze,habe ich:
>
> [mm]\bruch{n}{\bruch{\wurzel{n^{2}+n}}{n}+\bruch{\wurzel{n}}{n}}.[/mm]
> Der zweite Summande im Nenner geht gegen 0.
>
> Aber bei dem Rest dreht sich bei mir alles im Kreis,ich
> finde dafür keine passende Umformung. Wie kann ich denn
> hier weitermachen?
>
> Vielen Dank
> lg
gruß tee
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 12:49 Do 05.05.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
schreib das n bzw [mm] \wurzel{n^2} [/mm] in die wurzeln rein. dann geht die erst Wurzel gegen 1, die zweite gegen 0 also Nenner gegen 1 Z gegen [mm] \infty.
[/mm]
Gruss leduart
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 13:33 Do 05.05.2011 | | Autor: | fred97 |
> d) [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \wurzel{n^{2}+n}-\wurzel{n}.[/mm]
>
> Hallo,
>
> > da die summe divergiert, kannst du das leider nicht so
> > betrachten und musst den tip von abakus in die tat
> > umsetzen
>
> Ok, ich nehme es mal so hin, denn wir haben Divergenz noch
> nicht definiert,vielleicht versteh ich das dann.
>
> Ich hab jetzt noch einen Grenzwert,bei dem ich mir unsicher
> bin.
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \wurzel{n^{2}+n}-\wurzel{n}.Der[/mm]
> ganze Term geht gegen + [mm]\infty[/mm] würde ich sagen, das sieht
> man schon.
> Wie "berechnet" man denn so einen Grenzwert, wenn es
> eigentlich schon klar ist.Ich hab eine Umformung
> gemacht,aber das bringt eigentlich auch nichts:
> [mm]\wurzel{n^{2}+n}-\wurzel{n}=\wurzel{n}(1+\wurzel{n+1}).[/mm]
> Kann man das so lassen oder muss man da groß rumrechnen
> und zeigen,dass der Term wirklich gegen [mm]+\infty[/mm] geht ?
[mm] \wurzel{n^{2}+n}-\wurzel{n} \ge \wurzel{n} [/mm] für n [mm] \ge [/mm] 3
FRED
> Vielen Dank
> lg
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