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Hallo,
ich habe mich gefragt, wie ich den Grenzwert [mm] \limes_{x\rightarrow +0} x^x [/mm] berechne. Als Ergebnis soll wohl 1 rauskommen. Mein erster Gedanke war, das der Exponent ja gegen 0 läuft und somit für eine beliebige Basis als Ergebnis Null rauskommt. Das darf ich aber scheinbar nicht, da solch eine Regel nur für feste a definiert ist.
Folglich muss ich nun also [mm] x^x [/mm] irgendwie mit einer Verknüpfung von Exponential- und Logarithmusfunktionsaufrufen ausdruücken.
Nun fängt es aber schon an, das wird
[mm] a^n [/mm] = exp(n * log(a)) definiert haben, aber nur für feste a > 0. D.h. hier kann ich die Definition ja gar nicht anwenden, da das x als Basis nicht fest ist.
Sonst würde ich hier sagen:
f(x) = [mm] x^x [/mm] = exp(x * log(x)). Hier könnte man dann argumentieren, das x linear schneller gegen 0 läuft als der Logarithmus davon. Also würde das Produkt gegen 0 laufen und exp(0) = 1. Fertig.
Leider bin ich gerade ziemlich verwirrt. Hoffentlich kann jemand etwas Licht in die Sache schaffen.
Funktioniert die selbe Vorgehensweise dann auch allgemein für solch verkette Funktionen, also z.B. f(x) = [mm] x^{g(x)}? [/mm] Vorallem wie sieht es für g(x) = [mm] \frac{1}{x} [/mm] aus?
Danke schoneinmal im Vorraus.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:52 Mo 18.01.2010 | | Autor: | Soinapret |
Danke, mit l'Hospital kam ich zum gewünschten Ergebnis.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:01 Sa 16.01.2010 | | Autor: | Mampf |
> Hallo,
> ich habe mich gefragt, wie ich den Grenzwert
> [mm]\limes_{x\rightarrow +0} x^x[/mm] berechne. Als Ergebnis soll
> wohl 1 rauskommen. Mein erster Gedanke war, das der
> Exponent ja gegen 0 läuft und somit für eine beliebige
> Basis als Ergebnis Null rauskommt. Das darf ich aber
> scheinbar nicht, da solch eine Regel nur für feste a
> definiert ist.
Die Basis nähert sich 0 an.
Der Exponent nähert sich 0 an.
Definiert ist:
[mm]a^0 = 1 [/mm]
ergo
[mm]0^0 = 1[/mm]
MfG
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![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]"){kind=small}
Genau ...
de l'Hospital