Grenzwerte mit Winkelfunktion < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 00:21 Do 18.12.2008 | | Autor: | Lyrone |
| Aufgabe 1 | Berechnen Sie die folgenden Grenzwerte, falls sie existieren:
[mm] \limes_{x\rightarrow\infty}\{\bruch{2}{\pi} Arctan x\}^x [/mm] |
| Aufgabe 2 | | [mm] \limes_{x\rightarrow\bruch{\pi}{2}} \{cot x\}^{2x-\pi} [/mm] x < [mm] \bruch{\pi}{2} [/mm] |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Guten Abend,
normalerweise trichter ich mir etwas solange rein bis ich es verstanden habe, aber hier fehlt mir der Ansatz. Ich komme kein Stück vorran.
Bei Aufgabe 1 habe ich nichtmal eine Ahnung wie ich Anfangen könnte.
Aufgabe 2 habe ich nen Ansatz, den ich leider nicht lösen konnte, sofern er überhaupt richtig ist.
[mm]\limes_{x\rightarrow\bruch{\pi}{2}} \{cot x\}^{2x-\pi} = \limes_{x\rightarrow\bruch{\pi}{2}} \bruch{\{\bruch{1 - sin^2 x}{sin^2 x}\}^x}{\{\bruch{cos x}{sin x}\}^\pi} = \limes_{x\rightarrow\bruch{\pi}{2}} \bruch{\{\bruch{1}{sin^2 x} - 1 \}^x}{\{\bruch{cos x}{sin x}\}^\pi} = ... ?![/mm]
Wie gehe am besten vorran, oder wie fange ich bei solchen Sachen am besten an? Gibt es irgendwelche Kniffe?
Und kennt jemand irgendwie Übungsaufgaben mit guten nachvollziehbaren Lösungen? Kann auch ruhig ein Buch sein.
Vielen Dank für die Mühe schonmal im Vorraus.
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Hallo Lyrone und herzlich ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> Berechnen Sie die folgenden Grenzwerte, falls sie
> existieren:
> [mm]\limes_{x\rightarrow\infty}\{\bruch{2}{\pi} Arctan x\}^x[/mm]
>
> [mm]\limes_{x\rightarrow\bruch{\pi}{2}} \{cot x\}^{2x-\pi}[/mm] x <
> [mm]\bruch{\pi}{2}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
> Guten Abend,
> normalerweise trichter ich mir etwas solange rein bis ich
> es verstanden habe, aber hier fehlt mir der Ansatz. Ich
> komme kein Stück vorran.
> Bei Aufgabe 1 habe ich nichtmal eine Ahnung wie ich
> Anfangen könnte.
Es ist $a^b=e^{\ln\left(a^b\right)}=e^{b\cdot{}\ln(a)}$
Also schreibe hier $\left(\frac{2}{\pi}\cdot{}\arctan(x)\right)^x=e^{x\cdot{}\ln\left(\frac{2}{\pi}\cdot{}\arctan(x)\right)}$
Greife dir den Exponenten heraus und betrachte den $\lim\limits_{x\to\infty$ davon (die Regel von Monsieur de l'Hôpial ist da ziemlich hilfreich)
Achte darauf, dass du die für de l'Hôpital nötige Form bekommst, also schreibe den Exponenten als Quotienten:
$x\cdot{}\ln\left(\frac{2}{\pi}\cdot{}\arctan(x)\right)=\frac{\ln\left(\frac{2}{\pi}\cdot{}\arctan(x)\right)}{\frac{1}{x}}$
Das Ganze nachher $e^{GW}$ nehmen.
Wegen der Stetigkeit der e-Funktion ist $\lim\limits_{x\to\infty}e^{f(x)}=e^{\lim\limits_{x\to\infty}f(x)}$
>
> Aufgabe 2 habe ich nen Ansatz, den ich leider nicht lösen
> konnte, sofern er überhaupt richtig ist.
>
> [mm]\limes_{x\rightarrow\bruch{\pi}{2}} \{cot x\}^{2x-\pi} = \limes_{x\rightarrow\bruch{\pi}{2}} \bruch{\{\bruch{1 - sin^2 x}{sin^2 x}\}^x}{\{\bruch{cos x}{sin x}\}^\pi} = \limes_{x\rightarrow\bruch{\pi}{2}} \bruch{\{\bruch{1}{sin^2 x} - 1 \}^x}{\{\bruch{cos x}{sin x}\}^\pi} = ... ?![/mm]
>
> Wie gehe am besten vorran, oder wie fange ich bei solchen
> Sachen am besten an? Gibt es irgendwelche Kniffe?
Auch hier bei der zweiten würde ich wie in (1) anfangen, also umschreiben in [mm] $e^{(...)}$, [/mm] den Exponenten rauspicken, de l'Hôpital anwenden und nachher [mm] $e^{GW}$ [/mm] nehmen
Bei der 2.Aufgabe musst du aber de l'Hôpital gleich zweimal anwenden, prüfe, ob die Voraussetzungen dafür gegeben sind und achte auf die benötigte Form (Quotient)
>
> Und kennt jemand irgendwie Übungsaufgaben mit guten
> nachvollziehbaren Lösungen? Kann auch ruhig ein Buch sein.
Nicht aus dem Stehgreif, aber hier im Forum gibt's doch dutzendweise Aufgaben dazu, benutze mal die Suchfunktion ...
>
> Vielen Dank für die Mühe schonmal im Vorraus.
>
LG
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:54 Fr 02.01.2009 | | Autor: | Lyrone |
Hallo schachuzipus,
danke für den netten Willkommensgruß und die wirklich flotte Hilfe. Ist mir jetzt ein bisschen unangenehm das ich erst so spät antworte, lässt sich jetzt aber nicht mehr ändern.
Ich habe deinen Rat befolgt und glaube die erste Aufgabe gelöst zu haben:
[mm]x\cdot{}\ln\left(\frac{2}{\pi}\cdot{}\arctan(x)\right)=\frac{\ln\left(\frac{2}{\pi}\cdot{}\arctan(x)\right)}{\frac{1}{x}}
=\frac{\frac{\frac{2}{\pi}\cdot{}\frac{1}{1 + x^2}}{\frac{2}{\pi}\cdot{}actran(x)}}{-\frac{1}{x^2}}[/mm]
[mm]=\frac{x^2}{-\left(1+x^2\right)\cdot{}arctan(x)}[/mm]
Jetzt [mm]x^2[/mm] ausgeklammert und Limes ansetze, ergibt:
[mm]-\frac{1}{arctan(\infty)}=-\frac{1}{-1,5707...}=-0,6366[/mm]
also sollte es sein:
[mm]e^{-0,6366...}=0,5290[/mm]
Bei der 2ten Aufgabe habe ich allerdings Probleme, ich bekomme hier keine Lösung raus und irgendwie werden meine Terme immer fetter, ich habe das Gefühl das ich da irgendwas falsch mache:
[mm]e^{(2x-\pi)\cdot{}\ln\left(cot(x)\right)}[/mm]
Mit dem Exponenten weiterarbeiten:
[mm]\frac{\ln\left(cot(x)\right)}{\frac{1}{2x - \pi}}=\frac{\frac{-2-\frac{1}{sin^2(x)}}{cot(x)}}{-\frac{2}{2x-\pi}}=\frac{-4x-2\pi-\frac{2x+\pi}{sin^2(x)}}{-(cot(x)\cdot{}2)}[/mm]
Im Nenner ich jetzt [mm]-(cot(x)\cdot{}2)[/mm] stehen, wenn ich für [mm]x=\frac{\pi}{2}[/mm] einsetze, wird im Nenner immer Null rauskommen, egal wie oft ich ableite, da
[mm]\frac{u'(x)\cdot{}v(x)-u(x)\cdot{}v'(x)}{(v(x))^2}[/mm]
wo habe ich da einen Fehler gemacht?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:10 Fr 02.01.2009 | | Autor: | Loddar |
Hallo Lyrone!
> Mit dem Exponenten weiterarbeiten:
>
> [mm]\frac{\ln\left(cot(x)\right)}{\frac{1}{2x - \pi}}=\frac{\frac{-2-\frac{1}{sin^2(x)}}{cot(x)}}{-\frac{2}{2x-\pi}}=\frac{-4x-2\pi-\frac{2x+\pi}{sin^2(x)}}{-(cot(x)\cdot{}2)}[/mm]
Die Ableitung von [mm] $\bruch{1}{2x-\pi}$ [/mm] beträgt: [mm] $-\bruch{2}{(2x-\pi)^{\red{2}}}$ [/mm] .
Zudem: Wo kommt denn ganz oben im Bruch die $-2_$ her bei [mm] $\red{-2}-\bruch{1}{\sin^2(x)}$ [/mm] ?
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:30 Fr 02.01.2009 | | Autor: | Lyrone |
Danke Loddar für deine Hilfe.
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> Die Ableitung von [mm]\bruch{1}{2x-\pi}[/mm] beträgt:
> [mm]-\bruch{2}{(2x-\pi)^{\red{2}}}[/mm] .
Ja hast recht, war ein grober Flüchtigkeitsfehler ... .
>
> Zudem: Wo kommt denn ganz oben im Bruch die [mm]-2_[/mm] her bei
> [mm]\red{-2}-\bruch{1}{\sin^2(x)}[/mm] ?
Jetzt wo ich die Ableitung wiederholt habe, frage ich mich das auch.
Jetzt habe ich einen feineren Term, aber ich glaube meine Konzentration ist im Eimer, ich finde zu der Aufgabe einfach keine Lösung ... .
Also jetzt habe ich folgendes:
[mm]=\frac{\frac{1}{cot(x)\cdot{}sin^2(x)}}{\frac{2}{(2x-\pi)^2}}=\frac{(2x- \pi)^2}{2\cdot{}cos(x)\cdot{}sin(x)}[/mm]
Jetzt schreibe ich hier mal die weitere Ableitung hin ...
[mm]\frac{(8x-4\pi)(2\cdot{}cos(x)\cdot{}sin(x))-(2x-\pi)^2\cdot{}2\cdot{}(cos^2(x)-sin^2(x))}{4\cdot{}cos^2(x)\cdot{}sin^2(x)}[/mm]
Wie man sieht, ergeben wieder alle Terme wenn man für [mm]x=\frac{\pi}{2}[/mm] Null.
Das Ganze nochmal ableiten? Ich kann es mir kaum vorstellen, das war mal ne Klausuraufgabe und dann hängt man doch von der Zeit her viel zu lange dran.
Auch wenn ich den Nenner umschreibe, ala [mm]4\cdot{}(sin^4(x) - sin^2(x))[/mm] bringt es nix.
Ich kann mir einfach nicht vorstellen, dass ich es nochmal Ableiten muss, bringt mir ja auch eigentlich nix, weil im Nenner ja immer nur Null rauskommt ... .
Sagt mir ma bitte wo ich mich da verhaspelt habe.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:47 Fr 02.01.2009 | | Autor: | Loddar |
Hallo Lyrone!
Zerlege den Bruch in drei Einzelbrüche und betrachte diese separat:
[mm] $$\frac{(2x- \pi)^2}{2\cdot{}\cos(x)\cdot{}\sin(x)} [/mm] \ = \ [mm] \frac{1}{2}*\frac{(2x- \pi)}{\cos(x)}*\frac{(2x- \pi)}{\sin(x)}$$
[/mm]
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:59 Fr 02.01.2009 | | Autor: | Lyrone |
Danke Lodder für deine prompte Antwort.
Ich habe das Gefühl ich mache mir das Leben selber schwer, kann es sein das die Lösung folgendes ist:
[mm]\limes_{x\rightarrow\frac{\pi}{2}}\frac{(2x- \pi)^2}{2\cdot{}\cos(x)\cdot{}\sin(x)} \ = \limes_{x\rightarrow\frac{\pi}{2}} \ \frac{1}{2}\cdot{}\frac{(2x- \pi)}{\cos(x)}\cdot{}\frac{(2x- \pi)}{\sin(x)} \ = \ \frac{1}{2}\cdot{}\frac{0}{0}\cdot{}\frac{0}{1} \ = \ 0[/mm]
Also
[mm]e^0 \ = 1[/mm] ?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:00 Fr 02.01.2009 | | Autor: | Loddar |
Hallo Lyrone!
Nicht ganz ... das Ergebnis stimmt schon. Aber Du hast dort auch einen unbestimmten Ausdruck [mm] $\bruch{0}{0}$ [/mm] stehen. Diesen musst Du nun noch separat untersuchen.
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:19 Fr 02.01.2009 | | Autor: | Lyrone |
Hallo Loddar,
> Nicht ganz ... das Ergebnis stimmt schon. Aber Du hast dort
> auch einen unbestimmten Ausdruck [mm]\bruch{0}{0}[/mm] stehen.
> Diesen musst Du nun noch separat untersuchen.
>
Das verstehe ich leider nicht so ganz, auf was muss ich den Untersuchen? Und wie?
Nach dem lesen von ![[]](/images/popup.gif) Wiki glaube ich das die Lösung des Untersuchens -2 ist, das habe ich ganz professionel rausbekommen, indem ich einen minimal kleineren Wert von [mm]x = \frac{\pi}{2}[/mm] in [mm]\frac{(2x- \pi)}{\cos(x)}[/mm] eingeben habe.
Aber was hat die -2 jetzt für eine Aussage? Und wie schreibe ich es richtig Mathematisch hin?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:48 Fr 02.01.2009 | | Autor: | Lyrone |
Ja, es ist alles klar, von alleine wäre ich da nicht draufgekommen.
Danke Loddar für die super Hilfe.
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![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]"){kind=small}
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