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Grenzwerte mit/ohne L´Hospital < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Grenzwerte mit/ohne L´Hospital: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 09:03 Do 03.05.2018
Autor: Tobikall

Aufgabe
[mm] \limes_{x\rightarrow\circ} \bruch{1-(x^x)}{x^p} [/mm] für p > 0

[mm] \limes_{x\rightarrow\infty} \bruch{(1+1/x)^x-e}{1/x} [/mm]

[mm] \limes_{x\rightarrow\circ} \bruch{log(1+x)-x+(x^2)/2}{x^3} [/mm]

[mm] \limes_{x\rightarrow\circ} \bruch{x}{x^2e^{ix^{-2}}} [/mm]

Bei den Grenzwerten komme ich mit l´Hospital nicht richtig weiter, da beim Anwenden wieder Grenzwerte mit der Form 0/0 auftreten.

Wie kann ich hier vorgehen?
Bei der ersten kann man vielleicht mit Potenzreichen argumentieren, aber da kommt bei mir auch noch nichts logisches raus?

        
Bezug
Grenzwerte mit/ohne L´Hospital: Zu Nr. 3
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 09:20 Do 03.05.2018
Autor: Diophant

Hallo,

ad hoc hätte ich eine Antwort für die Nr. 3 anzubieten. Zunächst hätte ich jedoch zur Nr. 1 eine Rückfrage:

> [mm]\limes_{x\rightarrow\circ} \bruch{1-(x^x)}{x^p}[/mm] für p > 0

Ist hier p eine natürliche Zahl oder rational bzw. reell (vermutlich letzteres)?

>

> [mm]\limes_{x\rightarrow\infty} \bruch{(1+1/x)^x-e}{1/x}[/mm]

>

> [mm]\limes_{x\rightarrow\circ} \bruch{log(1+x)-x+(x^2)/2}{x^3}[/mm]

>

> [mm]\limes_{x\rightarrow\circ} \bruch{x}{x^2e^{ix^{-2}}}[/mm]
> Bei
> den Grenzwerten komme ich mit l´Hospital nicht richtig
> weiter, da beim Anwenden wieder Grenzwerte mit der Form 0/0
> auftreten.

>

Die Nr. 3 klappt gut mit de l'Hospital. Hier ist

[mm]\begin{aligned} \frac{f'(x)}{g'(x)}&= \frac{ \frac{1}{1+x}-1+x}{3x^2}\\ \\ &=\frac{\frac{1-(1+x)+(x+x^2)}{1+x}}{3x^2}\\ \\ &= \frac{ \frac{x^2}{1+x}}{3x^2}\\ \\ &= \frac{1}{3*(1+x)}\\ \end{aligned}[/mm]


Gruß, Diophant

Bezug
                
Bezug
Grenzwerte mit/ohne L´Hospital: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 09:38 Do 03.05.2018
Autor: Tobikall

Vielen dank schonmal für deine schnelle Antwort Diophant :)
p wird wahrscheinlich reell sein, steht aber sonst nichts dabei :/

Bezug
        
Bezug
Grenzwerte mit/ohne L´Hospital: Ohne L'Hospital
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:05 Do 03.05.2018
Autor: Gonozal_IX

Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)

Hiho,

a)
$\bruch{1-(x^x)}{x^p} = \frac{\bruch{1-x^x}{x^{p-1}}}{x - 0}$
Wende nun den Mittelwertsatz der Differenzialrechnung für $f(x) = \bruch{1-(x^x)}{x^{p-1}$  an.

Du erhälst nach Vereinfachung einen Grenzwert der Form:
$\lim_{x\to 0} x^{1-p}(\log(x) + 1)$, den du kennen solltest in Abhängigkeit von $p$

b) Wir substituieren $n = \frac{1}{x}$ und erhalten:
$\frac{(1+n)^\frac{1}{n} - e}{n - 0}$, nun wieder MWS

c) Nutze die Reihenentwicklung von $\log(1+x)$

d) muss ich noch überlegen…

Gruß,
Gono




Bezug
        
Bezug
Grenzwerte mit/ohne L´Hospital: Mit L'Hospital
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:45 Do 03.05.2018
Autor: Gonozal_IX

Hiho,

a)
Erst mal halten wir fest, dass es eigentlich: [mm] $\lim_{x \searrow 0}$ [/mm] heißen muss, ansonsten ist der Ausdruck [mm] $x^x$ [/mm] nicht definiert. Und wieso in Herrgotts Namen schreibst du nicht einfach 0 für Null?
Einmal L'Hospital anwenden liefert:

[mm] $\lim_{x \searrow 0} \bruch{1-x^x}{x^p} [/mm] = [mm] \lim_{x \searrow 0} \bruch{-x^x(\ln(x) + 1)}{px^{p-1}}$ [/mm]

Für $p [mm] \ge [/mm] 1$ sind wir fertig (wieso?) für $0 < p < 1$ wenden wir nochmal L'Hospital an und sind dann fertig.

b)
Einmal L'Hospital anwenden liefert:

$ [mm] \limes_{x\rightarrow\infty} \bruch{(1+1/x)^x-e}{1/x} [/mm] = $ [mm] \limes_{x\rightarrow\infty} -\bruch{(1+1/x)^x\left(\ln\left(1+1/x\right) + \frac{x^2}{x+1}\right)}{1/x^2} [/mm] $$ und wir sind fertig.

c) bereits erledigt

d) Einmal L'Hospital anwenden liefert:

$ [mm] \limes_{x\rightarrow 0} \bruch{x}{x^2e^{ix^{-2}}} =\limes_{x\rightarrow 0}\bruch{1}{2xe^{ix^{-2}} + \frac{-2i}{x}e^{ix^{-2}}} [/mm] = [mm] \frac{1}{2}\limes_{x\rightarrow 0}\bruch{x}{x^2e^{ix^{-2}} - ie^{ix^{-2}}} [/mm] $

Und wir sind fertig.

War das nun so schwer immer einmal L'Hospital anzuwenden?

Gruß,
Gono

Bezug
                
Bezug
Grenzwerte mit/ohne L´Hospital: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 22:26 Do 03.05.2018
Autor: Tobikall

Danke an dich Gonozal!

Nein, so schwer war es nicht, es ist mir jetzt echt klar geworden wie es funkioniert, aber zumindest ein Teil der Aufgaben funktioniert ja auch doch ohne l`Hospital mit dem Differenzenquotienten und logischem Denken :)

Bezug
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