Grenzwerte nach Bernoulli l´Ho < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:50 Di 11.01.2005 | | Autor: | emiworld |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hallo lieber MatheRaum!
Habe mal ein par prinzipielle Fragen zur Grenzwertberechnung nach Bernoulli und l´Hopital.
Da ich mich von Aufgabe zu Aufgabe so herumhangele, mir aber das grundsätzliche Verständnis fehlt, wollte ich mal fragen ob mir jemand das Vorgehen zu Grenzwerten mal erklären könnte.
Habe schon mitbekommen, dass man irgendwie immer auf die Form [mm] \bruch{\infty}{0} [/mm] kommen muss!?
Bei folgender Augabe bin ich mir nun unsicher: [mm] \limes_{n\rightarrow\one} (1-2^{x})^{sinx}
[/mm]
Der Grenzwert ist x -> 0
(Zwischenfrage: Wie bekomme ich da die "Null" hin?)
Hatte vor es so zu schreiben:
[mm] \limes_{n\rightarrow\one} e^{sinx \ln(1-2^{x})}
[/mm]
Würde dann folgendes bekommen:
f(x) = [mm] \ln(1-2^{x})
[/mm]
g(x) = 1 / sinx
Jetzt müsste ich das (^) ja nochma ableiten. Oder?
Aber was sind die Ableitungen?
f'(x) = 1 / [mm] (1-2^{x})
[/mm]
g'(x) = ???
Ist das soweit überhaupt richtig?
Das selbe Problem besteht auch bei den folgenden Aufgaben:
x -> 0
[mm] \limes_{n\rightarrow\0} 1/x^{2} [/mm] * (1-1/cos(x))
[mm] \limes_{n\rightarrow\0} 3(x^{2}+x)^{-1} [/mm] - [mm] 6(\sin(2x))^{-1}
[/mm]
Vielen Dank schonmal im Voraus!
Grüße
Emanuel
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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zu [mm] \limes_{x\rightarrow 0} (1-2^{x})^{sin(x)}
[/mm]
für x gegen 0 geht [mm] 2^{x} [/mm] gegen 1, also geht [mm] 1-2^{x} [/mm] gegen 0. sin(x) geht ebenfalls gegen 0. Naiv gesehen ist der GW also [mm] 0^{0}. [/mm] Das ist das Problem.
zu [mm] \limes_{x\rightarrow 0} \bruch{1}{x^{2}}(1-\bruch{1}{cos(x)})
[/mm]
[mm] \bruch{1}{x^{2}} [/mm] geht gegen [mm] \infty, [/mm] cos(x) geht gegen 1 also geht [mm] (1-\bruch{1}{cos(x)}) [/mm] gegen 0.
Der GW sähe also so aus [mm] \infty [/mm] * 0. Problem.
zu [mm] \limes_{x\rightarrow 0} \bruch{3}{x^{2}+x} [/mm] - [mm] \bruch{6}{sin(2x)}
[/mm]
Beide Nenner gehen gegen 0. Für den GW hat man dann [mm] \infty [/mm] - [mm] \infty. [/mm] Problem.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:57 Mi 12.01.2005 | | Autor: | Paulus |
Hallo emiworld
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
Ich gebe zur Aufgabe 1 einige Erläuterungen. Dann kannst du dich mit den anderen Aufgaben nochmals versuchen. Bei Schwierigkeiten meldest du dich einfach wieder, ja?
> Habe mal ein par prinzipielle Fragen zur
> Grenzwertberechnung nach Bernoulli und l´Hopital.
>
> Da ich mich von Aufgabe zu Aufgabe so herumhangele, mir
> aber das grundsätzliche Verständnis fehlt, wollte ich mal
> fragen ob mir jemand das Vorgehen zu Grenzwerten mal
> erklären könnte.
>
> Habe schon mitbekommen, dass man irgendwie immer auf die
> Form [mm]\bruch{\infty}{0}[/mm] kommen muss!?
>
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
Nein! Entweder auf
[mm] $\bruch{\infty}{\infty}$
[/mm]
oder auf
[mm] $\bruch{0}{0}$
[/mm]
> Bei folgender Augabe bin ich mir nun unsicher:
> [mm]\limes_{n\rightarrow 0} (1-2^{x})^{sinx}
[/mm]
>
> Der Grenzwert ist x -> 0
> (Zwischenfrage: Wie bekomme ich da die "Null" hin?)
>
Setze den Mauszeiger einfach auf die Formel, dann siehst dus.
>
> Hatte vor es so zu schreiben:
>
> [mm]\limes_{n\rightarrow 0} e^{sinx \ln(1-2^{x})}
[/mm]
>
>
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> Würde dann folgendes bekommen:
>
> f(x) = [mm]\ln(1-2^{x})
[/mm]
> g(x) = 1 / sinx
Sehr gute Idee!
>
> Jetzt müsste ich das (^) ja nochma ableiten. Oder?
>
Ich glaube nicht. Du kannst einfach das anwenden:
[mm] $\limes_{n\rightarrow 0} e^{sinx \ln(1-2^{x})}=e^{\limes_{n\rightarrow 0} {sinx \ln(1-2^{x})}}$
[/mm]
> Aber was sind die Ableitungen?
>
> f'(x) = 1 / [mm](1-2^{x})
[/mm]
Hier hast du ja nur die äussere Ableitung genommen. Es gilt aber für verschachtelte Funktionen: Innere Ableitung mal äussere Ableitung!
mit [mm] $2^x'=2^x*\ln(2)$ [/mm] erhältst du dann:
$f'(x) = [mm] \bruch{-2^x*\ln(2)}{1-2^x}$
[/mm]
> g'(x) = ???
>
Hier wendest du entweder die Quotientenregel an, oder du verwendest
[mm] $\bruch{1}{\sin(x)}=(\sin(x))^{-1}$
[/mm]
und gebrauchst wieder "innere Ableitung mal äusere Ableitung"
In beiden Fällen bekommst du:
[mm] $g(x)'=\bruch{-\cos(x)}{\sin^2(x)}$
[/mm]
>
> Ist das soweit überhaupt richtig?
>
Jupp, wenn die Ableitungen richtig berechnet werden können...
Mit den richtigen Ableitungen bekommst du aber wieder den Grenzwert der Form [mm] $\bruch{0}{0}$, [/mm] weshalb du De l'Hôpital halt nochmals anwenden musst! (Einige Faktoren, die gegen einen endlichen Grenzwert ungleich Null streben, können aber vorher noch herausgezogen werden)
So, ich hoffe, es habe sich etwas Licht ins Dunkel verirrt!
Mit lieben Grüssen
Paul
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