Grenzwerte und Stetigkeit < Folgen+Grenzwerte < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:43 Mi 09.01.2008 | | Autor: | Lea90 |
Hallo, ich bin der 11 Klasse an einer Gymnasium und habe momentan einige Schwierigkeiten in Mathematik. Einige Problem habe ich mit Stetigkeit und Unstetigkeit und Bestimmung von Grenzwerten einer Funktion. Ich würde mich freuen, wenn jemand mir hier helfen kann und diese Aufgabe erläutern kann.
Welches Grenzverhalten haben die folgenden Funktionen für [mm] x->\infty?
[/mm]
f: [mm] \IR->\IR; f(x)=x^2+10x^2 [/mm]
oder auch
g: [mm] \IR->\IR; [/mm] f(x)=e^-x
Ich bedanken mich schon im vorraus.
Liebe Grüsse
Lea
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:56 Mi 09.01.2008 | | Autor: | Kroni |
Hi und ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") ,
>
> Welches Grenzverhalten haben die folgenden Funktionen für
> [mm]x->\infty?[/mm]
> f: [mm]\IR->\IR; f(x)=x^2+10x^2[/mm]
Nun, [mm] f(x)=x^2+10x^2=11x^2.
[/mm]
Das ist also im Wesentlichem die Funktion [mm] f(x)=x^2 [/mm] mit einer positiven Konstanten. Was weist du denn über die Funkton [mm] x^2? [/mm] Stelle dir den Graphen vor, und du siehst, dass dieser für sehr große x gegen unendlich geht. Das ist in der Regel bei solchen einfachen Polynomen so, du musst dann nur gucken, ob gegen plus oder minus [mm] \infty.
[/mm]
Stelle dir für x gegen unendlich einfach sehr große Zahlen vor, und dann weist du schon in etwa, wie sich der Grenzwert verhält.
>
> oder auch
>
> g: [mm]\IR->\IR;[/mm] f(x)=e^-x
Das würde ich zuerst umschreiben: [mm] f(x)=1/e^x [/mm]
Über [mm] e^x [/mm] weist du, dass [mm] e^x [/mm] für x gegen unendlich auch ins unendliche geht (Das sieht man u.a. am Graphen, oder weist es nach...Das solltest du dir zwingend merken). Wenn du dann weist, dass [mm] e^x [/mm] für sich gegen unendlich geht, was kannst du dann über [mm] 1/e^x [/mm] sagen, wenn du den selben Grenzwert anwendest?! 1/ eine sehr große Zahl ist was?
>
> Ich bedanken mich schon im vorraus.
>
> Liebe Grüsse
> Lea
LG
Kroni
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:04 Mi 09.01.2008 | | Autor: | Lea90 |
Es tut mir sehr leid, aber mir ist ein Fehler unterlaufen, ich habe nämlich die erste Frage falsch abgetippt.
f: [mm] \IR->\IR; f(x)=x^3+10x^2
[/mm]
Die Aufgabe ist mit hoch 3. Tut mir sehr leid.
Danke.
Lea
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(Antwort) fertig | | Datum: | 01:28 Do 10.01.2008 | | Autor: | M.Rex |
Hallo.
Bei ganzrationalen Polynomfunktionen ist der Grenzwert für [mm] \pm\imfty [/mm] von zwei dingen abhängig, nämlich vom höchsten Exponenten und dem Vorzeichen des zugehörigen Koeffizienten.
(Das ist nämlich der am stärksten wachsende Teil)
Die Funktion nenne ich mal [mm] f(x)=a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+...+a_{1}x+a_{0}
[/mm]
Jetzt kommt es auf n und das Vorzeichen vn [mm] a_{n} [/mm] an, wie der Grenzwert für [mm] x\to\pm\infty [/mm] ist.
Nehmen wir erstmal den 1. Fall n gerade. Bsp: f(x)=x²
Fall 1.1: n gerade, [mm] a_{n}>0 [/mm] (Bsp: f(x)=x², [mm] g(x)=756x^{4}+345x³+3)
[/mm]
Dann: [mm] \limes_{x\rightarrow+\infty}f(x)=+\infty
[/mm]
und [mm] \limes_{x\rightarrow-\infty}f(x)=+\infty
[/mm]
Fall 1.2: n gerade, [mm] a_{n}<0 [/mm] (Bsp: f(x)=-x², [mm] g(x)=-756x^{4}+345x³+3)
[/mm]
Dann: [mm] \limes_{x\rightarrow+\infty}f(x)=-\infty
[/mm]
und [mm] \limes_{x\rightarrow-\infty}f(x)=-\infty
[/mm]
Diese Funktionen laufen also für beide Grenzwerte in de selbe Richtung
Nehmen wir nun n ungerade
Fall 2.1: n ungerade, [mm] a_{n}>0 [/mm] (Bsp: f(x)=x³, [mm] g(x)=56x^{5}+35x^{4}+54x²+3)
[/mm]
Dann: [mm] \limes_{x\rightarrow+\infty}f(x)=+\infty
[/mm]
und [mm] \limes_{x\rightarrow-\infty}f(x)=-\infty
[/mm]
Fall 2.2: n ungerade, [mm] a_{n}<0 [/mm] (Bsp: f(x)=-x³, [mm] g(x)=-56x^{5}+35x^{4}+54x²+3)
[/mm]
Dann: [mm] \limes_{x\rightarrow+\infty}f(x)=-\infty
[/mm]
und [mm] \limes_{x\rightarrow-\infty}f(x)=+\infty
[/mm]
Hier läuft der Graph "Gegengleich" ins Unendliche.
Zeichne dir mal einige Funktionen davon auf.
Hilft das erstmal weiter?
Marius
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