Grenzwerte und Stetigkeit < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:19 Sa 23.05.2009 | | Autor: | cracker |
| Aufgabe | Grenzwerte und Stetigkeit
Man zeige:
(a) [mm] f(x,y)=\begin{cases} y-\bruch{1-cos(xy}{y}, & \mbox{für } y\not=0 \\ 0, & \mbox{für } y=0 \end{cases} [/mm] ist überall stetig.
Hinweis: Betrachten Sie f¨ur den Fall y = 0 die ersten Glieder der Taylorreihe
f¨ur den Cosinus. Stellen Sie damit dann f (x, y) dar.
[mm] (b)f(x,y)=\begin{cases} \bruch{sin(xy)}{x²+y³}, & \mbox{für } (x,y)\not=(0,0) \\ 0, & \mbox{für } (x,y)=(0,0) \end{cases} [/mm] ist in (0,0) unstetig. |
hallo,
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Ich habe ein problem mit dieser aufgabe. Zuerst einmal verstehe ich den Hinweis nicht, für y=0 ist die funtion doch 0, wovon soll ich da die taylorreihe bilden?
Und überhaupt ist mir der rechenvorgang bzw. der beweis für die stetigkeit ungeläufig:(...
konnte mir da jemand behilflich sein?
vielen dank im vorraus.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:59 Sa 23.05.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
Der fktwert bei y=o ist o, aber um die Stetigkeit zu zeigen, muss doch auch der GW fuer y geg 0 gegen 0 knvergieren.
wenn du einfach 0 in die fkt einsetzt kommt doch 0/0 raus. deshalb die cos Reihe, angewandt auf xy.
Wie hast du denn eindimensional stetigkeit bewiesen ?
sonst schreib einfach die Def von Stetigkeit auf, das kann man nicht ft genug. und dann zeig dass das gilt.
Bei b kannst du fuer die Unstetigkeit irgendeine passende nullfolge [mm] x_n,y_n [/mm] einsetzen und zeigen ,dass es nicht gegen 0 geht.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:23 Sa 23.05.2009 | | Autor: | cracker |
| Aufgabe | Grenzwerte und Stetigkeit
Man zeige:
(a) $ [mm] f(x,y)=\begin{cases} y-\bruch{1-cos(xy}{y}, & \mbox{für } y\not=0 \\ 0, & \mbox{für } y=0 \end{cases} [/mm] $ ist überall stetig.
Hinweis: Betrachten Sie f¨ur den Fall y = 0 die ersten Glieder der Taylorreihe
f¨ur den Cosinus. Stellen Sie damit dann f (x, y) dar.
$ [mm] (b)f(x,y)=\begin{cases} \bruch{sin(xy)}{x²+y³}, & \mbox{für } (x,y)\not=(0,0) \\ 0, & \mbox{für } (x,y)=(0,0) \end{cases} [/mm] $ ist in (0,0) unstetig. |
hallo nochmal,
ich verstehe deine antwort nicht so ganz...
wo muss ich das denn eindimensional beweisen?
ich blick grad gar nicht mehr durch, was genau muss ich jetzt machen:(
könntest du mir auf die sprünge helfen?
danke
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> Grenzwerte und Stetigkeit
> Man zeige:
> (a) [mm]f(x,y)=\begin{cases} y-\bruch{1-cos(xy}{y}, & \mbox{für } y\not=0 \\ 0, & \mbox{für } y=0 \end{cases}[/mm]
> ist überall stetig.
> Hinweis: Betrachten Sie f¨ur den Fall y = 0 die ersten
> Glieder der Taylorreihe
> f¨ur den Cosinus. Stellen Sie damit dann f (x, y) dar.
> [mm](b)f(x,y)=\begin{cases} \bruch{sin(xy)}{x²+y³}, & \mbox{für } (x,y)\not=(0,0) \\ 0, & \mbox{für } (x,y)=(0,0) \end{cases}[/mm]
> ist in (0,0) unstetig.
> hallo nochmal,
>
> ich verstehe deine antwort nicht so ganz...
> wo muss ich das denn eindimensional beweisen?
Hallo,
als Du Funktionen aus dem [mm] \IR [/mm] in den [mm] \IR [/mm] hattest, solltest Du das getan haben.
Und hier geht es genauso:
die Funktion ist stetig an einer Stelle, wenn Ihr Grenzwert an dieser Stelle gleich dem Funktionswert an dieser Stelle ist.
Außerhalb der y-Achse ist Deine Funktion in (a) stetig, denn sie ist eine Komposition stetiger Funktionen.
Zu untersuchen sind die Stellen [mm] (x_0, [/mm] 0).
Du mußt also betrachten
[mm] \lim_{\vektor{x\\y}\to \vektor{x_0\\0}}f(x,y), [/mm] schauen, ob der Grenzwert existiert, und ob er [mm] =f(x_0,0)=0 [/mm] ist.
Was es mit dem Hinweis auf sich hat, merkst Du beim Rechnen: er hilft Dir, den Grenzwert zu finden.
Mach's halt einfach mal so, wie's da steht. Den Sinn mancher Tips merkt man erst später.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:39 So 24.05.2009 | | Autor: | cracker |
hallo nochmal,
ich wollte gerade versuchen es zu lösen, aber ich weiß nicht mal wie ich ansetzen soll:(
kann mir jemand starthilfe geben, bitte?
danke im vorraus
cracker
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> ich wollte gerade versuchen es zu lösen, aber ich weiß
> nicht mal wie ich ansetzen soll:(
Hallo,
hm, ich verstehe gar nicht warum das so ist:
ich habe Dir doch gesagt, daß der besagte Grenzwert zu berechnen ist, und zu vergleichen mit dem Funktionswerten an den Stelle, wo y=0 ist.
Wenn es dann unterwegs noch an Kleinigkeiten scheitert, kann ich das verstehen, aber nicht, daß Du schreibst, daß Du überhaupt nicht weißt was zu tun ist.
Fang jetzt also mal an mit lim f(x,y).
Beachte den Hinweis mit der Taylorreihe, das vereinfacht das Finden des Grenzwerte immens.
Gruß v. Angela
> kann mir jemand starthilfe geben, bitte?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:13 So 24.05.2009 | | Autor: | cracker |
hallo nochmal,
was wäre denn eine passende nullfolge für aufgabe b?
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Hallo cracker,
> hallo nochmal,
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> was wäre denn eine passende nullfolge für aufgabe b?
da musst du ein bisschen basteln. Wegen des Sinus bietet sich was mit [mm] \pi [/mm] an:
Versuche zB. mal die Folge [mm] $(x_n,y_n)_{n\in\IN}=\left(\frac{\pi}{n},\frac{1}{n}\right)_{n\in\IN}$
[/mm]
Die strebt für [mm] $n\to\infty$ [/mm] gegen $(0,0)$
Wie sieht's mit [mm] $f(x_n,y_n)$ [/mm] für [mm] $n\to\infty$ [/mm] aus?
LG
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:49 So 24.05.2009 | | Autor: | cracker |
naja, das ist so, dass wir die funktionen mit mehreren variablen gerade erst eingeführt haben und deswegen weiß ich nicht wie ich da mit einem limes umgehen soll..
wenn ich jetzt den lim für y->0 bilde, dann steht doch immer unterm bruch 0, d.h. wohl ich muss die gleichung irgendwie umformen, aber wie?
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> naja, das ist so, dass wir die funktionen mit mehreren
> variablen gerade erst eingeführt haben und deswegen weiß
> ich nicht wie ich da mit einem limes umgehen soll..
> wenn ich jetzt den lim für y->0 bilde, dann steht doch
> immer unterm bruch 0, d.h. wohl ich muss die gleichung
> irgendwie umformen, aber wie?
Hallo,
vielleicht zeigst Du mal, was Du dastehen hast - und zwar nach Verwendung des Tips.
Wenn man das sieht, kann man weiterreden, bei so Stories weiß man nie, ob man über dasselbe redet.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:37 So 24.05.2009 | | Autor: | cracker |
Na wie gesagt, ich hab nur den limes der funktion dastehn:
[mm] \limes_{y\rightarrow\null} y-\bruch{1-cos(x,y)}{y} [/mm] (y->0, ich weiß nicht wie man das eingibt)
so und was mache ich jetzt damit? normalerweise bei limesrechnungen setzt man die Grenze y->0 also hier 0 doch einfach ein, aber wenn ich das hier tue, dann steht doch im bruch unten 0, d.h es geht gegen null..
aber so einfach kanns ja nicht sein, denn wozu sonst steht dann da der hinweis...
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:44 So 24.05.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
Du hast also einen ganz normalen GW zu berechnen:
[mm] \limes_{y\rightarrow\0}\bruch{1-cos(ay)}{y}
[/mm]
einstzen von y geht nicht, so rechnet man auch aeusserst selten lim aus. hier haettest du ja das undef 0/0
Jetzt kommt der Tip: ersetze cos(ay) durch seine Reihe.
Tu das und sieh nach, ob du dann den GW finden kannst.
Du tust so, als hinge das mit 2d fkt zusammen, es ist aber ein einfacher eindimensionales probelem fuer jedes x=a
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:53 So 24.05.2009 | | Autor: | cracker |
also so:
[mm] \limes_{n\rightarrow\0} y-\bruch{1-(1-(xy)²/2+(xy)^4/24+...+(-1)^n*(xy)^2n/(2n)!)}{y}
[/mm]
so und nun davon der grenzwert für y->0...
ich steh echt aufm schlauch:(
das hilft mir doch auch nicht weiter, oder soll ich wohl nur die cosinus-taylorreihe betrachten?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:03 So 24.05.2009 | | Autor: | abakus |
> also so:
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> [mm]\limes_{n\rightarrow\0} y-\bruch{1-(1-(xy)²/2+(xy)^4/24+...+(-1)^n*(xy)^2n/(2n)!)}{y}[/mm]
>
> so und nun davon der grenzwert für y->0...
> ich steh echt aufm schlauch:(
> das hilft mir doch auch nicht weiter, oder soll ich wohl
> nur die cosinus-taylorreihe betrachten?
Hallo,
1-1 im Zähler hebt sich auf, das y im Nenner des langen bruchs kannst du in jedem Produkt [mm] (xy)^2, (xy)^4 [/mm] usw. einmal rauskürzen.
Was passiert mit dem noch verbleibenden Term, wenn y gegen Null geht?
Gruß Abakus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:41 So 24.05.2009 | | Autor: | cracker |
achso:)
dann steht da:
[mm] \limes_{n\rightarrow\0} y-\bruch{x²y}{2}+\bruch{x^4y³}{24}+...+(-1)^n*\bruch{(xy)^{2n-1}}{(2n)!}
[/mm]
da sind wieder alle glieder gleich 0?
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> achso:)
> dann steht da:
> [mm]\limes_{y\rightarrow\0} y-\bruch{x²y}{2}+\bruch{x^4y³}{24}+...+(-1)^n*\bruch{(xy)^{2n-1}}{(2n)!}[/mm]
>
> da sind wieder alle glieder gleich 0?
Hallo,
ja, der Grenzwert ist 0.
Gruß v. Angela
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