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| Aufgabe | Sei f: E [mm] \to \IR [/mm] ein Funktion mit E [mm] \subset \IR. [/mm] Welche der folgenden Aussage gelten? ('Ja' oder 'Nein' genügen als Antworten)
1.) Wenn f in einem Häufungspunkt p [mm] \in [/mm] E stetig ist, dann hat f in p einen
Grenzwert
2.) Wenn f in einem Häufungspunkt p [mm] \in [/mm] E einen Grenzwert hat, dann ist f
in p stetig.
3.) Wenn f in jedem p [mm] \in \IR [/mm] einen Grenzwert hat, dann ist E = [mm] \IR.
[/mm]
4.) Wenn E = [a,b] mit a<b und f auf E stetig ist, dann is f(E) kompakt.
5.) Wenn E = [a,b] mit a<b und f auf E stetig ist, dann existiert c [mm] \in [/mm] E
mit ( f(a)+f(b) ) / 2 = f(c)
6.) Wenn E = [a,b] mit a<b und f auf E stetig ist, und 0 [mm] \not\in [/mm] f(E), dann
existiert c [mm] \in [/mm] E mit [mm] \wurzel{f(a)*f(b)} [/mm] = f(c) |
Hallo!
Meine Überlegungen zu der Aufgabe waren:
1.) Ja, Begründung Satz 1 (weiter unten aufgeführt)
2.) Ja, Begründung Satz 1 (weiter unten aufgeführt)
3.) Nein, hierzu habe ich keine Begründung. Mir erschien es nur nicht
richtig... :)
4.) Ja, Begründung Zwischenwertsatz (weiter unten aufgeführt)
5.) Ja, Begründung Zwischenwertsatz (weiter unten aufgeführt)
Sind meine Überlegungen richtig? Konnte man das auch aus den entsprechenden Sätzen schließen?
Wäre toll wenn mir jemand helfen könnte!
Vielen Dank
MFG
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Satz 1
Seien X,Y metrische Räume, E [mm] \subset [/mm] X, f: E [mm] \to [/mm] Y und p [mm] \in [/mm] E ein
Häufungspunkt von E. Dann gilt:
f ist stetig in p [mm] \gdw \limes_{n\rightarrow p} [/mm] f(x)=f(p)
Zwischenwertsatz
f: [a,b] [mm] \to \IR [/mm] stetig (a < b)
Für jedes [mm] \gamma \in \IR [/mm] zwischen f(a) und f(b) gibt es ein c [mm] \in [/mm] [a,b]
sodass [mm] f(c)=\gamma [/mm]
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:23 Sa 16.01.2010 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Sei [mm]f: E \to \IR[/mm] ein Funktion mit [mm]E \subset \IR.[/mm] Welche der
> folgenden Aussage gelten? ('Ja' oder 'Nein' genügen als
> Antworten)
>
> 1.) Wenn f in einem Häufungspunkt p [mm]\in[/mm] E stetig ist, dann
> hat f in p einen
> Grenzwert
>
> 2.) Wenn f in einem Häufungspunkt p [mm]\in[/mm] E einen Grenzwert
> hat, dann ist f
> in p stetig.
>
> 3.) Wenn f in jedem p [mm]\in \IR[/mm] einen Grenzwert hat, dann ist
> E = [mm]\IR.[/mm]
>
> 4.) Wenn E = [a,b] mit a<b und f auf E stetig ist, dann is
> f(E) kompakt.
>
> 5.) Wenn E = [a,b] mit a<b und f auf E stetig ist, dann
> existiert c [mm]\in[/mm] E
> mit $( f(a)+f(b) ) / 2 = f(c)$
>
> 6.) Wenn E = [a,b] mit a<b und f auf E stetig ist, und 0
> [mm]\not\in[/mm] f(E), dann
> existiert c [mm]\in[/mm] E mit [mm]\wurzel{f(a)*f(b)}[/mm] = f(c)
>
>
> Hallo!
> Meine Überlegungen zu der Aufgabe waren:
> 1.) Ja, Begründung Satz 1 (weiter unten aufgeführt)
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> 2.) Ja, Begründung Satz 1 (weiter unten aufgeführt)
> 3.) Nein, hierzu habe ich keine Begründung. Mir erschien
> es nur nicht
> richtig... :)
Dann müsstest du ein Gegenbeispiel angeben können.
> 4.) Ja, Begründung Zwischenwertsatz (weiter unten
> aufgeführt)
Ja ist richtig, die Begründung falsch. Woher weisst du, dass die FUnktion f im Intervall $[a,b]$ nur Werte aus dem Intervall $[f(a),f(b)]$ annehmen kann? (Gegenbeispiel: $a=-1$, $b=+1$, [mm] $f(x)=x^2$).
[/mm]
Du musst zeigen, dass $f([a,b])$ abgeschlossen und beschränkt ist.
> 5.) Ja, Begründung Zwischenwertsatz (weiter unten
> aufgeführt)
Korrekt, da $( f(a)+f(b) ) / 2 $ zwischen $f(a)$ und $f(b)$ liegt.
Tipp zu 6: Der Logarithmus ist auf seinem Definitionsbereich stetig.
Viele Grüße
Rainer
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Hallo!
Vielen Dank erstmal!
Also, zu 6. würde ich wieder sagen, dass es stimmt und als Begründung wieder den Zwischenwertsatz angeben.
zu 3. würde ich sagen, dass ich von einem abgeschlossenem und beschränktem Intervall auf die releen Zahlen abbilden kann, damit die erste Bedingung erfüllt ist, aber dadurch das Intervall nicht gleich den ganzen reellen zahlen ist.
MFG
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 11:11 So 17.01.2010 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Hallo!
> Vielen Dank erstmal!
> Also, zu 6. würde ich wieder sagen, dass es stimmt und
> als Begründung wieder den Zwischenwertsatz angeben.
>
> zu 3. würde ich sagen, dass ich von einem abgeschlossenem
> und beschränktem Intervall auf die releen Zahlen abbilden
> kann, damit die erste Bedingung erfüllt ist, aber dadurch
> das Intervall nicht gleich den ganzen reellen zahlen ist.
Ich nehme an, du meinst 4. Deine Begründung verstehe ich nicht. Warum bildet eine stetige Funktion ein abgeschlossenes Intervall auf eine beschränkte und abgeschlossene Menge ab?
Viele Grüße
Rainer
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Hallo!
Mein Formulierung war irgendwie nicht so besonders gut ;)
Also,
6. Ja
Meine Begründung wäre wieder der Zwischenwertsatz
3. Nein
Wenn ich von einer Teilmenge von den reellen Zahlen auf die reellen
Zahlen abbilde, kann ich denn dann nicht alle Elemente aus dem
Zielbereich treffen? Ich dachte, dass ich von einem Intervall [a,b] mit
a,b aus den reellen Zahlen und a<b auf die ganzen reellen Zahlen
abbilde und sozusagen a [mm] \to -\infty [/mm] und b [mm] \to \infty
[/mm]
und ich bin der Meinung, dass das funktionieren müsste, da die reellen
nicht abzählbar unendlich sind, also zwischen zwei reellen Zahlen
unendlich, nicht abzählbar viele andere reellen Zahlen liegen.
Ich hoffe das ist nicht zu verwirrend formuliert ;)
Danke!
MFG
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 12:14 So 17.01.2010 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> 3. Nein
Ah, du meinst wirklich Teil 3. ok.
> Wenn ich von einer Teilmenge von den reellen Zahlen
> auf die reellen
> Zahlen abbilde, kann ich denn dann nicht alle Elemente aus
> dem
> Zielbereich treffen? Ich dachte, dass ich von einem
> Intervall [a,b] mit
> a,b aus den reellen Zahlen und a<b auf die ganzen
> reellen Zahlen
> abbilde und sozusagen a [mm]\to -\infty[/mm] und b [mm]\to \infty[/mm]
>
> und ich bin der Meinung, dass das funktionieren müsste, da
> die reellen
> nicht abzählbar unendlich sind, also zwischen zwei reellen
> Zahlen
> unendlich, nicht abzählbar viele andere reellen Zahlen
> liegen.
Da denkst du zu kompliziert. Die Voraussetzung ist:
f hat in jedem [mm] $p\in\IR$ [/mm] einen Grenzwert.
Kannst du dir eine Funktion vorstellen, die in jedem [mm] $p\in\IR$ [/mm] einen Grenzwert hat, die aber nicht auf ganz [mm] $\IR$ [/mm] definiert ist?
Viele Grüße
Rainer
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Hallo!
Okay, jetzt habe ich es glaub ich.
Also zu 3.
Die Aussage gilt nicht, da ich die reellen zahlen ohne ein oder mehrere beliebige Elemente auf die reellen zahlen abbilden kann, aber es trotzdem eine Grenzwert gibt, auch wenn beispielsweise 2 nicht im Definitionsbereich ist, hat die Funktion trotzdem eine Grenzwert an dieser Stelle, also z.B. folgende Abbildung:
f: [mm] \IR \setminus [/mm] {2} [mm] \to \IR [/mm] , x [mm] \mapsto [/mm] x
Und war das was ich zu 6. geschrieben habe richtig? Dass die Aussage stimmt und zwar aud Grund des Zwischenwertsatzes?
Danke!
MFG
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 13:56 So 17.01.2010 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Hallo!
> Okay, jetzt habe ich es glaub ich.
> Also zu 3.
> Die Aussage gilt nicht, da ich die reellen zahlen ohne ein
> oder mehrere beliebige Elemente auf die reellen zahlen
> abbilden kann, aber es trotzdem eine Grenzwert gibt, auch
> wenn beispielsweise 2 nicht im Definitionsbereich ist, hat
> die Funktion trotzdem eine Grenzwert an dieser Stelle, also
> z.B. folgende Abbildung:
> f: [mm]\IR \setminus[/mm] {2} [mm]\to \IR[/mm] , x [mm]\mapsto[/mm] x
>
> Und war das was ich zu 6. geschrieben habe richtig? Dass
> die Aussage stimmt und zwar aud Grund des
> Zwischenwertsatzes?
Ja, wenn du den Zwischenwertsatz auf [mm] $g(x)=\ln [/mm] f(x)$ anwendest, bekommst du diese Aussage.
Viele Grüße
Rainer
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Hallo!
Super, vielen Dank!
MFG
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:24 Mi 20.01.2010 | | Autor: | Irina09 |
Ist die 6. Aussage nicht doch i.A. falsch?
Das klappt z.B. - so glaube ich - nicht, wenn man z.B. f(x) < 0 (also negative Funktionswerte) zulässt, was nach Aufgabenstellung ja möglich ist.
Liege ich da richtig?
Gruß
Irina
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> Ist die 6. Aussage nicht doch i.A. falsch?
> Das klappt z.B. - so glaube ich - nicht, wenn man z.B.
> f(x) < 0 (also negative Funktionswerte) zulässt, was nach
> Aufgabenstellung ja möglich ist.
>
> Liege ich da richtig?
>
Hallo,
ja, sehe ich auch so.
Und auch hier muß der ZWS herhalten zur Begründung.
Gruß v. Angela
> Gruß
> Irina
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