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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:22 Sa 24.11.2007 | | Autor: | H8U |
a) Zeigen Sie, dass [mm] \bruch{1}{3}+\bruch{1}{8}+\bruch{1}{15}+\bruch{1}{24}+...=\bruch{3}{4}.
[/mm]
b) Sei [mm] a_n [/mm] = [mm] (\bruch{1}{2})^{n+(-1)^n}. [/mm] Untersuchen Sie die Reihe [mm] \sum_{k=1}^{\infty} a_k [/mm] sowohl mit Hilfe des Quotientenkriteriums als auch mit Hilfe des Wurzelkriteriums.
c) Untersuchen Sie ob die folgenden Reihen konvergieren:
[mm] \sum_{k=1}^{\infty} \bruch{(-1)^k k²+k}{k³+1} [/mm] ; [mm] \sum_{k=1}^{\infty} \bruch{1}{\wurzel{k(k+10)}} [/mm] ; [mm] \sum_{k=1}^{\infty} \bruch{k^5 2^k}{3^k}
[/mm]
Ist die erste Reihe absolut konvergent(mit Begründung)?
d) Zeigen Sie dass 0<q<1 gilt: [mm] \sum_{k=1}^{\infty} (k+1)q^k [/mm] = [mm] \bruch{1}{(1-q)^2}
[/mm]
Tipp zu d) Cauchy-Produkt von Reihen.
zu a)
Die Reihe geht gegen [mm] \bruch{3}{4}, [/mm] ganz klar. Der Nenner des nächsten Bruches wird immer um n+2 größer, wobei n die Differenz der Nenner zweier nebeneinanderstehenden Brüchen ist. Aber wie schreibe ich die Lösung mathematisch auf?
zu b)
[mm] a_n [/mm] geht gegen 0 wenn n gegen [mm] \infty [/mm] geht, aber was hat das mit dieser Reihe [mm] a_k [/mm] zu tun?
zu c)
Die erste Reihe konvergiert gegen 0, aber wie prüfe ich die absolute Konvergenz? Die zweite konvergiert gegen 0 und die dritte scheint gegen eine größere Zahl zu konvergieren.
Wie beweise ich eigentlich den Limes bei diesem Summenzeichen?
Wie würdet ihr das angehen?
zu d) Ist mir total unschlüssig. Bräuchte da einen Ansatz zur Lösung.
Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt.
Habt Dank!
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Hallo H8U,
mal zur (a)
> a) Zeigen Sie, dass
> [mm]\bruch{1}{3}+\bruch{1}{8}+\bruch{1}{15}+\bruch{1}{24}+...=\bruch{3}{4}.[/mm]
>
>
> zu a)
> Die Reihe geht gegen [mm]\bruch{3}{4},[/mm] ganz klar. Der Nenner
> des nächsten Bruches wird immer um n+2 größer ![[kopfkratz3]](/images/smileys/kopfkratz3.gif "[kopfkratz3]") , wobei n die
> Differenz der Nenner zweier nebeneinanderstehenden Brüchen
> ist. Aber wie schreibe ich die Lösung mathematisch auf?
>
Verstehe ich nicht, für mich schaut das so aus, dass im Nenner jeweils ein um 1 vermindertes Quadrat steht, ich würde die Reihe so aufstellen:
[mm] $\sum\limits_{k=0}^{\infty}\frac{1}{(k+2)^2-1}$
[/mm]
Das kann man noch vereinfacht schreiben als [mm] $\sum\limits_{k=0}^{\infty}\frac{1}{k^2+4k+3}=\sum\limits_{k=0}^{\infty}\frac{1}{(k+3)(k+1)}$
[/mm]
Hier mache nun eine Partialbruchzerlegung:
Ansatz [mm] $\frac{1}{(k+3)(k+1)}=\frac{A}{k+3}+\frac{B}{k+1}$
[/mm]
Berechne mal die Koeffizienten $A, B$
Es ist ja der Grenzwert der Reihe - also der Reihenwert - der Grenzwert der Partialsummen, also
[mm] $\sum\limits_{k=0}^{\infty}a_k=\lim\limits_{n\to\infty}\underbrace{\sum\limits_{k=0}^na_k}_{=S_n}$
[/mm]
Also stelle mal, nachdem du die Partialbruchzerlegung gemacht hast, eine solche Partialsumme [mm] $S_n$ [/mm] auf.
Du wirst sehen, das ist eine nette Teleskopsumme, in der sich fast alle Summanden "wegheben".
Dann mache den Grenzübergang [mm] $n\to\infty$ [/mm] und du solltest den gewünschten Reihenwert [mm] $\frac{3}{4}$ [/mm] erhalten.
Gruß
schachuzipus
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Hallo nochmal,
zu (c)
> c) Untersuchen Sie ob die folgenden Reihen konvergieren:
> [mm]\sum_{k=1}^{\infty} \bruch{(-1)^k k²+k}{k³+1}[/mm]
> ; [mm]\sum_{k=1}^{\infty} \bruch{1}{\wurzel{k(k+10)}}[/mm] ;
> [mm]\sum_{k=1}^{\infty} \bruch{k^5 2^k}{3^k}[/mm]
> Ist die erste
> Reihe absolut konvergent(mit Begründung)?
> zu c)
> Die erste Reihe konvergiert gegen 0, aber wie prüfe ich
> die absolute Konvergenz? Die zweite konvergiert gegen 0 und
> die dritte scheint gegen eine größere Zahl zu
> konvergieren.
> Wie beweise ich eigentlich den Limes bei diesem
> Summenzeichen?
> Wie würdet ihr das angehen?
Du meinst sicher die Konvergenz der Folge der Reihenglieder, nicht die Konvergenz der Reihen !!
Dass die Folge der Reihenglieder eine Nullfolge bilden, ist NOTWENGIGES, aber nicht HINREICHENDES Kriterium für die Konvergenz von Reihen.
Dh. es gibt durchaus Reihen, die divergieren, obwohl die Folge ihrer Reihenglieder eine Nullfolge bilden, zB. die harmonische Reihe [mm] $\sum\limits_{k=1}^{\infty}\frac{1}{k}$
[/mm]
Die Folge der [mm] $\left(\frac{1}{k}\right)_k$ [/mm] bilden natürlich eine Nullfolge, die harmonische Reihe ist aber divergent.
Andersherum kannst du aber sofort sagen, dass eine Reihe [mm] $\sum a_k$ [/mm] divergent ist, wenn die Folge [mm] $(a_k)_k$ [/mm] keine Nullfolge ist
Das nur vorab 
Zur Konvergenzuntersuchung:
Welche Konvergenzkriterien hattet ihr denn schon in der VL?
Die erste Reihe ist ja eine alternierende Reihe, da bietet sich doch das Kriterium von Leibniz an.
Die 2. Reihe ist divergent - versuche mal gegen eine divergente Minorante abzuschätzen (die harmonische Reihe bietet sich da eigentlich immer als Vergleichsreihe an)
Die letzte Reihe kannst du mit dem Quotientenkriterium verarzten.
Absolute Konvergenz einer Reihe [mm] $\sum a_k$ [/mm] bedeutet, dass die Reihe der Beträge [mm] $\sum|a_k|$ [/mm] konvergiert.
Tut sie das im 1.Fall?
LG
schachuzipus
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Hallo,
zu (b)
Setze doch einfach mal das Quotienten- und das Wurzelkriterium an - steht ja auch in der Aufgabenstellung
Was kommt beim einen, was beim anderen heraus und was sagt es dir bzgl. der Konvergenz deiner Reihe?
Also einfach mal ansetzen und losrechnen ...
Poste am Besten deine Rechnung, falls du irgendwo feststecken solltest...
LG
schachuzipus
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Hallo nochmal zu (d)
> d) Zeigen Sie dass 0<q<1 gilt: [mm]\sum_{k=1}^{\infty} (k+1)q^k[/mm]
> = [mm]\bruch{1}{(1-q)^2}[/mm]
> Tipp zu d) Cauchy-Produkt von Reihen.
Die Summe läuft doch bestimmt von [mm] $k=\red{0}$ [/mm] an, oder?
> zu d) Ist mir total unschlüssig. Bräuchte da einen Ansatz
> zur Lösung.
Nun, du weißt doch sicher, dass für $|q|<1$ die geometrische Reihe [mm] $\sum\limits_{k=0}^{\infty}q^k$ [/mm] den Wert [mm] $\frac{1}{1-q}$ [/mm] hat
Dann ist doch [mm] $\frac{1}{(1-q)^2}=\left(\frac{1}{1-q}\right)^2=\left(\sum\limits_{k=0}^{\infty}q^k\right)\cdot{}\left(\sum\limits_{k=0}^{\infty}q^k\right)$
[/mm]
Nun bilde das Cauchyprodukt dieser beiden Reihen, also [mm] $\left(\sum\limits_{k=0}^{\infty}q^k\right)\cdot{}\left(\sum\limits_{k=0}^{\infty}q^k\right)$ [/mm] und du hast es nach ein paar wenigen Umformungen.
LG
schachuzipus
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Hallo sitze an den selben aufgaben und habe bei d) das jetzt ein wenig umgeformt weiß jetzt aber nich weiter....hab jetzt das hier:
[mm] (q0^k)^2+2(q1*q0)+(2(q0^k*q2^k)+(q1^k)^2)+...
[/mm]
wie mache ich denn jetzte weiter???
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Hallo dreaming1,
wie sieht denn das Cauchyprodukt der beiden Reihen aus?
Doch so: [mm] $\left(\sum\limits_{k=0}^{\infty}q^k\right)\cdot{}\left(\sum\limits_{k=0}^{\infty}q^k\right)=\sum\limits_{k=0}^{\infty}\sum\limits_{n=0}^kq^n\cdot{}q^{k-n}=\sum\limits_{k=0}^{\infty}\sum\limits_{n=0}^kq^k$
[/mm]
Der Summand in der hinteren Summe, also [mm] $q^k$, [/mm] hängt nun nicht von $n$ ab, es wird dort also lediglich für jedes [mm] $k\in\IN$ [/mm] genau $(k+1)$-mal [mm] $q^k$ [/mm] summiert, also steht da [mm] $\sum\limits_{k=0}^{\infty}(k+1)q^k$
[/mm]
Gruß
schachuzipus
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