Grenzwerte von Folgen < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:36 Mo 26.05.2014 | | Autor: | fuoor |
| Aufgabe | a) Zeigen Sie elementar (also direkt anhand der Grenzwertdefinition, ohne Rechenregeln für Grenzwerte!), dass die Folge [mm] (a_{n}) [/mm] mit
[mm] a_{n}:=\bruch{n!}{n^{n}}
[/mm]
konvergiert. Ab welchem Index [mm] n_{0} [/mm] sind die Folgenglieder kleiner als [mm] \varepsilon:=10^{-3}?
[/mm]
b) Untersuchen Sie die nachstehenden Folgen auf Konvergenz und bestimmen Sie ggf. den Grenzwert (Rechenregeln für Grenzwerte dürfen benutzt werden):
[mm] b_{n}:=\bruch{2n^{2}+n+3sin(n)}{4n^{2}-5n}
[/mm]
[mm] c_{n}:=\bruch{2n\pi}{5}
[/mm]
[mm] d_{n}:=\bruch{1}{n^{2}}\summe_{k=1}^{n} \bruch{1}{k}
[/mm]
[mm] e_{n}:=(\bruch{3}{4}+\bruch{2}{3}i)^{n}
[/mm]
c) Gegeben sei die rekursiv definierte Folge
[mm] x_{0}:=1, x_{n+1}:=\bruch{x_{n}}{x_{n}+3}, [/mm] n [mm] \in \IN
[/mm]
Zeigen Sie folgende Aussagen:
1. Die Folgenglieder sind alle positiv.
2. Die Folge ist monoton fallend.
Folgern Sie hieraus, dass die Folge konvergiert, und berechnen Sie den Grenzwert. |
zu a)
Mir ist da nicht so ganz klar, was mit elementar gemeint ist. Fakt ist ja, um das mal in einfacher Weise auszudrücken, dass die Zahl im Zähler nicht so schnell so groß wird wie die Zahl im Nenner :) ... die Folge konvergiert also Richtung 0 ... war das jetzt elementar? (wahrscheinlich eher nicht)
Um den Index auszurechnen ab dem die Folgenglieder kleiner als [mm] 10^{-3} [/mm] kann ich ja schlicht rechnen. Nur wie? Ich kann es natürlich durch probieren machen ... das wäre dann ab dem 8. Folgegelied ... nur wie rechnen?
zu b)
Wie untersuche ich genau auf Konvergenz? Was muss ich dafür tun? Gibt es dazu eine Schritt für Schritt Erklärung?
Den Grenzwert für [mm] b_{n} [/mm] bestimmen ist noch relativ einfach:
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{2n^{2}+n+3sin(n)}{4n^{2}-5n}=\bruch{2+\bruch{1}{n}+\bruch{3sin(n)}{n^{2}}}{4-\bruch{5}{n}}=\bruch{2+0+0}{4-0}=\bruch{1}{2}
[/mm]
Aber schon in den darauf folgenden hake ich weil ich nicht weiß wie ich anfangen soll. Bei [mm] c_{n} [/mm] vermute ich, dass die Folge nicht konvergent ist. [mm] d_{n} [/mm] und [mm] e_{n} [/mm] sollten aber konvergent sein
zu c)
Auch hier fehlt mir der komplette Ansatz. Die Folgenglieder bleiben natürlich positiv. Von 1 an fällt die Folge monoton und nähert sich dem Grenzwert 0. Sie konvergiert auch. Nur wie "zeige" ich das? Wie berechne ich den Grenzwert?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:01 Mo 26.05.2014 | | Autor: | DieAcht |
Hallo fuoor,
> a) Zeigen Sie elementar (also direkt anhand der
> Grenzwertdefinition, ohne Rechenregeln für Grenzwerte!),
> dass die Folge [mm](a_{n})[/mm] mit
>
> [mm]a_{n}:=\bruch{n!}{n^{n}}[/mm]
>
> konvergiert. Ab welchem Index [mm]n_{0}[/mm] sind die Folgenglieder
> kleiner als [mm]\varepsilon:=10^{-3}?[/mm]
> zu a)
>
> Mir ist da nicht so ganz klar, was mit elementar gemeint
> ist. Fakt ist ja, um das mal in einfacher Weise
> auszudrücken, dass die Zahl im Zähler nicht so schnell so
> groß wird wie die Zahl im Nenner :) ... die Folge
> konvergiert also Richtung 0 ... war das jetzt elementar?
> (wahrscheinlich eher nicht)
Dein Grenzwert ist richtig. Eine reelle Folge
[mm] (a_n)_{n\in\IN}
[/mm]
heißt konvergent gegen
[mm] a\in\IR,
[/mm]
falls gilt:
[mm] $\forall\epsilon>0 \exists n_0=n_0(\epsilon)\in\IN:|a_n-a|<\epsilon$ [/mm] für alle [mm] $n\ge n_0$.
[/mm]
Bei dir ist zu zeigen, dass [mm] a_n [/mm] eine Nullfolge ist. Nach
der Definition ist hierbei
[mm] $a=0\$,
[/mm]
sodass zu zeigen ist:
[mm] $\forall\epsilon>0 \exists n_0=n_0(\epsilon)\in\IN:|a_n|<\epsilon$ [/mm] für alle [mm] $n\ge n_0$.
[/mm]
> Um den Index auszurechnen ab dem die Folgenglieder kleiner
> als [mm]10^{-3}[/mm] kann ich ja schlicht rechnen. Nur wie? Ich kann
> es natürlich durch probieren machen ... das wäre dann ab
> dem 8. Folgegelied ... nur wie rechnen?
Denk nochmal mit der Definition oben darüber nach.
Gruß
DieAcht
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:15 Mo 26.05.2014 | | Autor: | DieAcht |
Hallo fuoor,
> b) Untersuchen Sie die nachstehenden Folgen auf Konvergenz
> und bestimmen Sie ggf. den Grenzwert (Rechenregeln für
> Grenzwerte dürfen benutzt werden):
>
> [mm]b_{n}:=\bruch{2n^{2}+n+3sin(n)}{4n^{2}-5n}[/mm]
>
> [mm]c_{n}:=\bruch{2n\pi}{5}[/mm]
>
> [mm]d_{n}:=\bruch{1}{n^{2}}\summe_{k=1}^{n} \bruch{1}{k}[/mm]
>
> [mm]e_{n}:=(\bruch{3}{4}+\bruch{2}{3}i)^{n}[/mm]
> zu b)
>
> Wie untersuche ich genau auf Konvergenz? Was muss ich
> dafür tun? Gibt es dazu eine Schritt für Schritt
> Erklärung?
Nein, diesen gibt es nicht.
> Den Grenzwert für [mm]b_{n}[/mm] bestimmen ist noch relativ
> einfach:
>
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{2n^{2}+n+3sin(n)}{4n^{2}-5n}=\bruch{2+\bruch{1}{n}+\bruch{3sin(n)}{n^{2}}}{4-\bruch{5}{n}}=\bruch{2+0+0}{4-0}=\bruch{1}{2}[/mm]
Das stimmt, aber ich vermisse die Begründung der Aussage
[mm] \lim_{n\to\infty}\frac{3\sin(n)}{n^2}=0.
[/mm]
> Aber schon in den darauf folgenden hake ich weil ich nicht
> weiß wie ich anfangen soll. Bei [mm]c_{n}[/mm] vermute ich, dass
> die Folge nicht konvergent ist.
Hier kommt es auf eure Definition an. Was ist der hier der
"Grenzwert"?
> [mm]d_{n}[/mm] und [mm]e_{n}[/mm] sollten aber konvergent sein
Begründung? Nein.
Gruß
DieAcht
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:31 Mo 26.05.2014 | | Autor: | DieAcht |
Hallo fuoor,
> c) Gegeben sei die rekursiv definierte Folge
>
> [mm]x_{0}:=1, x_{n+1}:=\bruch{x_{n}}{x_{n}+3},[/mm] n [mm]\in \IN[/mm]
>
> Zeigen Sie folgende Aussagen:
>
> 1. Die Folgenglieder sind alle positiv.
>
> 2. Die Folge ist monoton fallend.
>
> Folgern Sie hieraus, dass die Folge konvergiert, und
> berechnen Sie den Grenzwert.
> zu c)
>
> Auch hier fehlt mir der komplette Ansatz. Die Folgenglieder
> bleiben natürlich positiv. Von 1 an fällt die Folge
> monoton und nähert sich dem Grenzwert 0. Sie konvergiert
> auch. Nur wie "zeige" ich das? Wie berechne ich den
> Grenzwert?
Die ersten zwei Punkte zeigst du mit vollständiger voll-
ständiger Induktion über [mm] $n\$. [/mm] Bei der ersten Teilaufga-
be zeigst du die Beschränktheit nach unten (Wieso?). Bei
der zweite Teilaufgabe dann die fallende Monotonie. Dann
hattet ihr sicher folgenden Satz: "Eine monoton fallende,
nach unten beschränkte, Folge konvergiert". Damit haben
wir auch den nächsten Teil erledigt. Was ist denn nun der
Grenzwert? Angenommen wir haben schon gezeigt, dass die
Folge konvergiert, dann gilt:
[mm] \lim_{n\to\infty}x_n=x
[/mm]
und
[mm] \lim_{n\to\infty}x_{n+1}=x,
[/mm]
sodass was gilt?
Beachte, dass du den letzten Teil auch anders lösen kannst,
aber die obige Aussage ist dennoch sehr wichtig zu verstehen.
Gruß
DieAcht
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(Antwort) fertig | | Datum: | 06:22 Di 27.05.2014 | | Autor: | fred97 |
Zu a):
Es ist 0 [mm] \le a_n \le [/mm] !/n für alle n.
Edit: natürlich meine ich: 0 [mm] \le a_n \le [/mm] 1/n für alle n.
FRED
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:51 Di 27.05.2014 | | Autor: | DieAcht |
Hallo Fred,
> Zu a):
>
> Es ist 0 [mm]\le a_n \le[/mm] !/n für alle n.
Das verstehe ich nicht. Meinst du vielleicht folgendes:
[mm] 0\le\frac{n!}{n^n}=\frac{n}{n}*\frac{n-1}{n}*\ldots*\frac{1}{n}\le\frac{1}{n} [/mm] für alle [mm] n\in\IN.
[/mm]
edit: Ahh, das ist nur ein Tippfehler. Da war wohl nur
der Finger zu lange auf der Umschalttaste. 
Liebe Grüße
DieAcht
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:58 Di 27.05.2014 | | Autor: | fred97 |
> Hallo Fred,
>
>
> > Zu a):
> >
> > Es ist 0 [mm]\le a_n \le[/mm] !/n für alle n.
>
> Das verstehe ich nicht. Meinst du vielleicht folgendes:
>
> [mm]0\le\frac{n!}{n^n}=\frac{n}{n}*\frac{n-1}{n}*\ldots*\frac{1}{n}\le\frac{1}{n}[/mm]
> für alle [mm]n\in\IN.[/mm]
>
> edit: Ahh, das ist nur ein Tippfehler. Da war wohl nur
> der Finger zu lange auf der Umschalttaste.
Hallo Acht,
hast mal wieder Acht gegeben. Ja, danke, war ein Tippfehler
Gruß FRED
>
>
> Liebe Grüße
> DieAcht
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