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Forum "Folgen und Grenzwerte" - Grenzwerte von Folgen
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Grenzwerte von Folgen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 00:33 Mi 06.09.2006
Autor: Mr.M

Aufgabe
Bestimmen Sie, soweit möglich, den Grenzwert a der Folge [mm] (a_n)_\in_\IN. [/mm]

[mm] a_n [/mm] = [mm] \bruch{1}{1*2}+\bruch{1}{2*3}+\bruch{1}{3*4}+...+\bruch{1}{(n-1)n} [/mm]

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

Hallo zusammen.
Die Aufgeabenstellung ist ja ansich eindeutig, mein Lösungsweg war der folgende:

[mm] a_n [/mm] = [mm] \bruch{1}{1*2}+\bruch{1}{2*3}+\bruch{1}{3*4}+...+\bruch{1}{(n-1)n} [/mm]

mit [mm] \summe_{i=1}^{n}(\bruch{1}{n(n+1)}) \gdw \summe_{i=1}^{n}(\bruch{1}{n}-\bruch{1}{n+1}) [/mm]

[mm] \Rightarrow a_n [/mm] = [mm] 1-\bruch{1}{2}+\bruch{1}{2}-\bruch{1}{3}+\bruch{1}{3}-+...+\bruch{1}{n-1}-\bruch{1}{n} [/mm]

[mm] \Rightarrow a_n [/mm] = [mm] 1-\bruch{1}{n} [/mm]

[mm] \Rightarrow \limes_{n\rightarrow\infty}(1-\bruch{1}{n}) [/mm] = 1


Anschließend habe ich das natürlich überprüft, mit Derive. Dabei war der Grenzwert a = 1 identisch, jedoch gibt mir das Programm für [mm] \summe_{i=1}^{n}(\bruch{1}{n(n+1)}) [/mm] folgendes aus:

[mm] \summe_{i=1}^{n}(\bruch{1}{n(n+1)}) [/mm] = [mm] \bruch{n}{n+1} [/mm] ,

also für [mm] a_n [/mm] = [mm] \bruch{n}{n+1} [/mm]

[mm] \Rightarrow \limes_{n\rightarrow\infty}(\bruch{n}{n+1}) [/mm] = 1

Vergleicht man nun die einzelnen Folgenglieder für beliebige [mm] n\in\IN [/mm] so

sieht das für mich aus als wäre die von mir gebildete Folge [mm] a_n [/mm] = [mm] 1-\bruch{1}{n} [/mm] nur eine Annährung die durch Zufall den gleichen Grenzwert besitzt.

Mich interessiert jetzt ob das zulässig ist und vor allem wie man von

[mm] \summe_{i=1}^{n}(\bruch{1}{n(n+1)}) [/mm] auf [mm] \bruch{n}{n+1} [/mm] kommt.

Ich hoffe mir kann jemand weiterhelfen und freue mich über jeden hilfreichen Beitrag.

Gruß Markus

        
Bezug
Grenzwerte von Folgen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 00:54 Mi 06.09.2006
Autor: leduart

Hallo markus
Dein einziger Fehler war, dass dein letzter "Summand" nicht 1/n sondern 1/(n+1) sein muss. Auf den Hauptnenner gebracht sind die Ergebnisse dann gleich.
Gruss leduart

Bezug
                
Bezug
Grenzwerte von Folgen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 18:15 Mi 06.09.2006
Autor: Mr.M

Hallo leduart,
vielen Dank für deine rasante Antwort, war ein dummer Fehler von mir.
Tja manchmal sieht man den Wald vor lauter Bäumen nicht mehr.

Vielen dank nochmal.

Gruß Markus

Bezug
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