Grenzwerte von Folgen < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:30 Sa 17.11.2007 | | Autor: | JanJan |
| Aufgabe | Zeigen Sie, dass die Folgen [mm] A_{t_{n}} [/mm] und [mm] N_{n} [/mm] streng monoton steigend sind und berechnen Sie die Grenzwerte der Folgen.
[mm] A_{t_{0}} [/mm] = 3; [mm] A_{t_{n+1}} [/mm] = [mm] 2A_{t_{n}} [/mm] für n [mm] \in \IN [/mm]
[mm] N_{0}\in\IN \setminus{0}; N_{n+1} [/mm] = [mm] N_{n}+KN_{n}(G-N_{n}) [/mm] für n [mm] \in \IN
[/mm]
G [mm] \in \IN; [/mm] G > [mm] N_{0}, [/mm] K [mm] \in \IR; [/mm] 0 < K < [mm] \bruch{1}{G} [/mm] |
Meine Vermutung:
A hat keinen Grenzwert (exponentielles Wachstum).
N hat den Grenzwert G (logistisches Wachstum) ?
Hab aber keine Idee, wie ich das beweisen soll :(
Kann mir bitte jemand helfen? Vielen Dank schonmal ;)
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:24 So 18.11.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo JanJan!
Wenn Du zeigst, dass eine Folge sowohl monoton als auch beschränkt ist, folgt daraus unmittelbar die Konvergenz.
Und bei rekursiven Darstellungen kann man dann folgenden Ansatz für den Grenzwert wählen:
$$A \ := \ [mm] \limes_{n\righarrow\infty}a_{n+1} [/mm] \ = \ [mm] \limes_{n\righarrow\infty}a_{n}$$
[/mm]
Dies in die entsprechende Rekursionsformel einsetzen und nach $A \ = \ ...$ auflösen.
Gruß
Loddar
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