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Forum "Folgen und Reihen" - Grenzwerte von Folgen
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Grenzwerte von Folgen: lim (Teilfolge) = lim (Folge)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:53 Do 07.04.2005
Autor: stefan_wichmann

Guten Tag!
Ich habe folgenden Satz zu beweisen:

Hat eine Folge [mm] (a_{n}) [/mm] den Grenzwert g, so hat jede Teilfolge von [mm] (a_{n}) [/mm] den gleichen Grenzwert g.

Mein Lösungsvorschlag:
Ich habe mir Gedanken zum Beweis gemacht und würde so argumentieren:
Damit ein Wert g als Grenzwert gilt, müssen in jeder beliebigen [mm] \varepsilon-Umgebung [/mm] unendlich viele Glieder der Folge [mm] (a_{n}) [/mm] innerhalb und nur endlich viele Glieder außerhalb dieser Umgebung liegen.
Wenn ich nun eine Teilfolge bilde, lasse ich einige Glieder der Zahlenfolge außen vor. Da ich aber demnach nur endlich viele Glieder entnommen habe, liegen immernoch endlich viele Glieder innerhalb der [mm] \varepsilon-Umgebung. [/mm] Also liegen wieder unendlich viele Glieder innerhalb und endlich viele Glieder ausserhalb der [mm] \varepsilon-Umgebung. [/mm] Demnach bleibt der Grenzwert g bestehen.


Mein Lehrer möchte jedoch auch einen Beweis mit Formeln. Kann mir dabei jemand mit den genannten Ansätzen helfen?

Vielen Dank schon einmal im Voraus!

Gruss,
Stefan
        
Bezug
Grenzwerte von Folgen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:20 Do 07.04.2005
Autor: Julius

Hallo Stefan!

>  Ich habe folgenden Satz zu beweisen:
>  
> Hat eine Folge [mm](a_{n})[/mm] den Grenzwert g, so hat jede
> Teilfolge von [mm](a_{n})[/mm] den gleichen Grenzwert g.
>  
> Mein Lösungsvorschlag:
>  Ich habe mir Gedanken zum Beweis gemacht und würde so
> argumentieren:
>  Damit ein Wert g als Grenzwert gilt, müssen in jeder
> beliebigen [mm]\varepsilon-Umgebung[/mm] unendlich viele Glieder der
> Folge [mm](a_{n})[/mm] innerhalb und nur endlich viele Glieder
> außerhalb dieser Umgebung liegen.
>  Wenn ich nun eine Teilfolge bilde, lasse ich einige
> Glieder der Zahlenfolge außen vor. Da ich aber demnach nur
> endlich viele Glieder entnommen habe, liegen immernoch
> endlich viele Glieder innerhalb außerhalb

Ich nehme mal an es handelt sich nur um einen Tippfehler...

> der [mm]\varepsilon-Umgebung[/mm] .
> Also liegen wieder unendlich viele Glieder innerhalb und
> endlich viele Glieder ausserhalb der [mm]\varepsilon-Umgebung.[/mm]
> Demnach bleibt der Grenzwert g bestehen.

[ok]

Das hast du dir toll überlegt!! [applaus] Du zeigst ein sehr großes Verständnis für die Materie. [respekt]

> Mein Lehrer möchte jedoch auch einen Beweis mit Formeln.
> Kann mir dabei jemand mit den genannten Ansätzen helfen?

Jaja, das ist kein Problem.

Nach Voraussetzung gibt es zu beliebig vorgegebenem [mm] $\varepsilon>0$ [/mm] ein [mm] $n_0 \in \IN$, [/mm] so dass für alle $n [mm] \in \IN$ [/mm] mit $n [mm] \ge n_0$ [/mm] folgendes gilt:

[mm] $|a_n [/mm] - [mm] g|<\varepsilon$. [/mm]

Es sei nun [mm] $(a_{n_k})_{k \in \IN}$ [/mm] eine Teilfolge von [mm] $(a_n)_{n\in \IN}$. [/mm]

Dann gibt es ein [mm] $k_0 \in \IN$ [/mm] mit [mm] $n_{k_0} \ge n_0$. [/mm]

Somit gilt für alle $k [mm] \ge k_0$: $n_k \ge n_{k_0} \ge n_0$ [/mm] und damit ebenfalls:

[mm] $|a_{n_k} [/mm] - g| < [mm] \varepsilon$. [/mm]

Viele Grüße
Julius

Bezug
                
Bezug
Grenzwerte von Folgen: Vielen Dank!
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 19:41 Do 07.04.2005
Autor: stefan_wichmann

Hallo Julius/Stefan ;-)

Vielen Dank für die schnelle Antwort. Und für die Hilfe.
Noch ein schönes Wochenende und bis bald!

Gruss,
Stefan
Bezug
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