matheraum.de
Raum für Mathematik
Offene Informations- und Nachhilfegemeinschaft

Für Schüler, Studenten, Lehrer, Mathematik-Interessierte.
Hallo Gast! [ einloggen | registrieren ]
Startseite · Forum · Wissen · Kurse · Mitglieder · Team · Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status Mathe
  Status Schulmathe
    Status Primarstufe
    Status Mathe Klassen 5-7
    Status Mathe Klassen 8-10
    Status Oberstufenmathe
    Status Mathe-Wettbewerbe
    Status Sonstiges
  Status Hochschulmathe
    Status Uni-Analysis
    Status Uni-Lin. Algebra
    Status Algebra+Zahlentheo.
    Status Diskrete Mathematik
    Status Fachdidaktik
    Status Finanz+Versicherung
    Status Logik+Mengenlehre
    Status Numerik
    Status Uni-Stochastik
    Status Topologie+Geometrie
    Status Uni-Sonstiges
  Status Mathe-Vorkurse
    Status Organisatorisches
    Status Schule
    Status Universität
  Status Mathe-Software
    Status Derive
    Status DynaGeo
    Status FunkyPlot
    Status GeoGebra
    Status LaTeX
    Status Maple
    Status MathCad
    Status Mathematica
    Status Matlab
    Status Maxima
    Status MuPad
    Status Taschenrechner

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Navigation
 Startseite...
 Neuerdings beta neu
 Forum...
 vorwissen...
 vorkurse...
 Werkzeuge...
 Nachhilfevermittlung beta...
 Online-Spiele beta
 Suchen
 Verein...
 Impressum
Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Dt. Schulen im Ausland: Mathe-Seiten:Weitere Fächer:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
Startseite > MatheForen > Folgen und Reihen > Grenzwerte von Folgen
Foren für weitere Schulfächer findest Du auf www.vorhilfe.de z.B. Deutsch • Englisch • Französisch • Latein • Spanisch • Russisch • Griechisch
Forum "Folgen und Reihen" - Grenzwerte von Folgen
Grenzwerte von Folgen < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Folgen und Reihen"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien

Grenzwerte von Folgen: lim (Teilfolge) = lim (Folge)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:53 Do 07.04.2005
Autor: stefan_wichmann

Guten Tag!
Ich habe folgenden Satz zu beweisen:

Hat eine Folge [mm] (a_{n}) [/mm] den Grenzwert g, so hat jede Teilfolge von [mm] (a_{n}) [/mm] den gleichen Grenzwert g.

Mein Lösungsvorschlag:
Ich habe mir Gedanken zum Beweis gemacht und würde so argumentieren:
Damit ein Wert g als Grenzwert gilt, müssen in jeder beliebigen [mm] \varepsilon-Umgebung [/mm] unendlich viele Glieder der Folge [mm] (a_{n}) [/mm] innerhalb und nur endlich viele Glieder außerhalb dieser Umgebung liegen.
Wenn ich nun eine Teilfolge bilde, lasse ich einige Glieder der Zahlenfolge außen vor. Da ich aber demnach nur endlich viele Glieder entnommen habe, liegen immernoch endlich viele Glieder innerhalb der [mm] \varepsilon-Umgebung. [/mm] Also liegen wieder unendlich viele Glieder innerhalb und endlich viele Glieder ausserhalb der [mm] \varepsilon-Umgebung. [/mm] Demnach bleibt der Grenzwert g bestehen.


Mein Lehrer möchte jedoch auch einen Beweis mit Formeln. Kann mir dabei jemand mit den genannten Ansätzen helfen?

Vielen Dank schon einmal im Voraus!

Gruss,
Stefan
        
Bezug
Grenzwerte von Folgen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:20 Do 07.04.2005
Autor: Julius

Hallo Stefan!

>  Ich habe folgenden Satz zu beweisen:
>  
> Hat eine Folge [mm](a_{n})[/mm] den Grenzwert g, so hat jede
> Teilfolge von [mm](a_{n})[/mm] den gleichen Grenzwert g.
>  
> Mein Lösungsvorschlag:
>  Ich habe mir Gedanken zum Beweis gemacht und würde so
> argumentieren:
>  Damit ein Wert g als Grenzwert gilt, müssen in jeder
> beliebigen [mm]\varepsilon-Umgebung[/mm] unendlich viele Glieder der
> Folge [mm](a_{n})[/mm] innerhalb und nur endlich viele Glieder
> außerhalb dieser Umgebung liegen.
>  Wenn ich nun eine Teilfolge bilde, lasse ich einige
> Glieder der Zahlenfolge außen vor. Da ich aber demnach nur
> endlich viele Glieder entnommen habe, liegen immernoch
> endlich viele Glieder innerhalb außerhalb

Ich nehme mal an es handelt sich nur um einen Tippfehler...

> der [mm]\varepsilon-Umgebung[/mm] .
> Also liegen wieder unendlich viele Glieder innerhalb und
> endlich viele Glieder ausserhalb der [mm]\varepsilon-Umgebung.[/mm]
> Demnach bleibt der Grenzwert g bestehen.

[ok]

Das hast du dir toll überlegt!! [applaus] Du zeigst ein sehr großes Verständnis für die Materie. [respekt]

> Mein Lehrer möchte jedoch auch einen Beweis mit Formeln.
> Kann mir dabei jemand mit den genannten Ansätzen helfen?

Jaja, das ist kein Problem.

Nach Voraussetzung gibt es zu beliebig vorgegebenem [mm] $\varepsilon>0$ [/mm] ein [mm] $n_0 \in \IN$, [/mm] so dass für alle $n [mm] \in \IN$ [/mm] mit $n [mm] \ge n_0$ [/mm] folgendes gilt:

[mm] $|a_n [/mm] - [mm] g|<\varepsilon$. [/mm]

Es sei nun [mm] $(a_{n_k})_{k \in \IN}$ [/mm] eine Teilfolge von [mm] $(a_n)_{n\in \IN}$. [/mm]

Dann gibt es ein [mm] $k_0 \in \IN$ [/mm] mit [mm] $n_{k_0} \ge n_0$. [/mm]

Somit gilt für alle $k [mm] \ge k_0$: $n_k \ge n_{k_0} \ge n_0$ [/mm] und damit ebenfalls:

[mm] $|a_{n_k} [/mm] - g| < [mm] \varepsilon$. [/mm]

Viele Grüße
Julius

Bezug
                
Bezug
Grenzwerte von Folgen: Vielen Dank!
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 19:41 Do 07.04.2005
Autor: stefan_wichmann

Hallo Julius/Stefan ;-)

Vielen Dank für die schnelle Antwort. Und für die Hilfe.
Noch ein schönes Wochenende und bis bald!

Gruss,
Stefan
Bezug
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Folgen und Reihen"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien


^ Seitenanfang ^
www.matheraum.de
[ Startseite | Forum | Wissen | Kurse | Mitglieder | Team | Impressum ]