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| Aufgabe | Berechnen Sie folgende Grenzwerte von Funktionen, falls sie existieren:
a) [mm]\limes_{z\rightarrow\ 1}[/mm], f : [mm] \IC[/mm] \ [mm]\{e^\bruch{2 \pi ik}{n} | k \in 0, ... n-1\}[/mm] [mm]\to[/mm] [mm]\IC[/mm] mit f(z)= [mm]\bruch{z^m-1}{z^n-1}[/mm] und n,m [mm]\in[/mm] [mm]\IN[/mm]
b) [mm]\limes_{z\rightarrow\ 0}[/mm] f(z) für
(i) f : [mm]\IC[/mm] \ {0} [mm]\to \IC[/mm] mit f(z)=[mm]\bruch{1-cos z}{z^2}[/mm]
(ii) f : [mm]\IR[/mm] \ [mm]\{[/mm]0, [mm]\bruch{3}{4} \}[/mm] [mm]\to \IR[/mm] mit f(x)=[mm]\bruch{\bruch{2}{x}-1}{\bruch{3}{x}-4}[/mm] |
Guten Abend,
ich bräuchte eure Hilfe zu der obigen Aufgabe.
Zunächst habe ich eine Frage zur Aufgabenstellung, in der es heißt, man solle Grenzwerte von Funktionen finden, falls sie existieren. Hierzu würde ich gerne wissen, wie man denn auf Existenz der Grenzwerte überprüft. Muss ich hier mit den Kriterien Cauchy und Folgen oder mit der Definition arbeiten? Wenn ja, könntet ihr mir vielleicht Vorgehnsweise zu den drei Teilaufgaben empfehlen? Also, welche am einfachsten/erfolgreichsten anzuwenden sind?
Und dann würde ich gerne wissen, wie ich die Grenzwerte der drei Aufgaben bestimme, also wie ich vorgehen soll. Zu a beispielsweise könnte ich durch Umstellen den Grenzwert von [mm] f(z)=\bruch{z^m-1}{z^n-1} [/mm] und [mm] n,m\in\IN [/mm] bestimmen. Der wäre ja [mm] \bruch{n}{m}. [/mm] Nur das ganze Biest ist ja ein wenig komplexer, was muss ich da konkret mit den Anfang beachten?
Zu b bräuchte ich dann auch einen Ansatz oder Tipp, der mir bei der Berechnung des Grenzwertes helfen könnte.
Ich bin für jede Hilfe dankbar und würde mich über eine helfende Antwort freuen :).
MFG
Ein verzweifelter und vor der Analysis 1 Klausur Angsthabener Rubstudent
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Hallo Loddar,
ich möchte mich erstmal für deine zügige Antwort bedanken. Leider dürfen wir wohl die hospitalische Regel nicht anwenden, da wir erst gerade mit Differenzierbarkeit angefangen haben und uns noch bei den Ableitungsregeln befinden.
In Zusammenhang mit Grenzwerte haben wir neben der Definition folgende Sätze/Regeln kennen gelernt:
Folgenkriterium
Rechenregeln (+, *, bruch)
Einseitige Grenzwerte
Zusammenhang stetige Fortsetzung/gleichmäßige Stetigkeit/Berührpunkt
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Hallo Matheforum.net,
auch hier möchte ich mich für Loddars nocheinmal bedanken.
Allerdings bin ich leider nicht viel schlauer als vorher (siehe meine Fragen beim ersten Post).
Denn leider bin ich noch nicht weiter, was den ersten Teil der Aufgabenstellung betrifft.
| Aufgabe | | Berechnen Sie folgende Grenzwerte von Funktionen, falls sie existieren: |
> Zunächst habe ich eine Frage zur Aufgabenstellung, in der
> es heißt, man solle Grenzwerte von Funktionen finden, falls
> sie existieren. Hierzu würde ich gerne wissen, wie man denn
> auf Existenz der Grenzwerte überprüft. Muss ich hier mit
> den den Kriterien Cauchy und Folgen oder mit der Definition arbeiten? Wenn
> ja, könntet ihr mir vielleicht Vorgehensweise zu den drei
> Teilaufgaben empfehlen? Also, welche am
> einfachsten/erfolgreichsten anzuwenden sind?
Wie ich bereits schrieb, hatte ich zu f(z)=[mm]\bruch{z^m-1}{z^n-1}[/mm] auch den Grenzwert [mm]\bruch{n}{m}[/mm] heraus. Nur das ganze Biest ist ja ein wenig komplexer, was muss ich da konkret zum Anfang beachten? Hätte ich vorher überprüfen müssen, ob dieser Grenzwert existiert?
Zu b habe ich leider in Sachen Überprüfung und Berechnung auch noch keine Idee :(.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:34 Mi 28.01.2009 | | Autor: | Loddar |
Hallo Rubstudent!
Dein Grenzwert stimmt nicht. Du musst Zähler und Nenner vertauschen, da der Grenzwert [mm] $\bruch{m}{n}$ [/mm] lautet.
Zudem hatte ich dir doch für diese Aufgabe einenn Lösungswert genannt, der ohne de l'Hospital funktioniert.
Gruß
Loddar
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Ups, du hast natürlich Recht. In meinen Berechnungen hatte ich schön Zähler und Nenner vertauscht.
Danke für den Hinweis. So, aber nun ist ja noch der ganze Rest nicht geklärt, könnte mir da jemand weiterhelfen?
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:49 Mi 28.01.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
in a) wuerd ich [mm] z=r*e^{ix} [/mm] schreiben, r gegen 1 und x gegen [mm] 2\pi. [/mm] und [mm] 1=e^{2\pi*i}
[/mm]
in b die Reihendefinition von cos z einsetsen.
in c den GW raten und entweder mit Folgen oder [mm] \epsilon \delta [/mm] zegen, dass er das ist.
Staat 1/x gegen 0 kannst du die fkt mit y=1/x nehmen und y gegen [mm] \infty, [/mm] oft sieht man das leichter.
bei a) hilft auch der Rat: Polynomdivision durch z-1 in Zaehler und Nenner.
unterscheide zwischen n,m und n>m
Gruss leduart
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de l'Hospital