Grenzwerte von Funktionen < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:23 Mo 03.01.2011 | | Autor: | stud-ing |
| Aufgabe | Gegeben sei die Funktion: [mm] f(x)=\begin{cases}\wurzel{x}+1 , & \mbox{für } x \ge0\mbox{\ } \\ x, & \mbox{für } -1
Geben Sie die Differenz [mm] \limes_{x\rightarrow\x}f(x)-\limes_{x\rightarrow\x}f(x) [/mm] ( x gegen [mm] x_{0}^{+} [/mm] links),(x gegen [mm] x_{0}^{-} [/mm] rechts) an. |
Hallo, benötige Lösungsansätze zur oben genannten Aufgabe, da ich leider nicht weiß wie ich dort vorgehen muss.
Danke für schnelle Anworten und Rückmeldungen
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Hallo!
> Gegeben sei die Funktion: [mm]f(x)=\begin{cases}\wurzel{x}+1 , & \mbox{für } x \ge0\mbox{\ } \\
x, & \mbox{für } -1
>
> Geben Sie die Differenz
> [mm]\limes_{x\rightarrow\x}f(x)-\limes_{x\rightarrow\x}f(x)[/mm] ( x
> gegen [mm]x_{0}^{+}[/mm] links),(x gegen [mm]x_{0}^{-}[/mm] rechts) an.
Also für allgemeines [mm] x_0 [/mm] aus dem gesamten Definitionsbereich [mm] \IR [/mm] der Funktion f?
> Hallo, benötige Lösungsansätze zur oben genannten
> Aufgabe, da ich leider nicht weiß wie ich dort vorgehen
> muss.
Es sind also die Differenzen [mm] $\lim_{x\to x_0-}f(x) [/mm] - [mm] \lim_{x\to x_0+}f(x)$ [/mm] (*) für beliebige [mm] $x_0 \in\IR$ [/mm] gesucht.
Die Aufgabe hängt viel mit Stetigkeit zusammen. Du solltest wissen:
Ist eine Funktion im Punkt [mm] $x_0$ [/mm] stetig, so gilt:
[mm] $\lim_{x\to x_0-}f(x) [/mm] = [mm] \lim_{x\to x_0+}f(x)$
[/mm]
Wie lautet also die Differenz (*) in Punkten [mm] x_0, [/mm] in denen die Funktion f stetig ist?
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Untersuche nun also zunächst die Funktion auf Stetigkeit. Die einzelnen drei Funktionen in der Fallunterscheidung von f sind für sich genommen stetig. Was bedeutet das für die Stetigkeit der Funktion f, also wo ist f überall stetig?
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Nun sind noch die "Übergänge" zu untersuchen. Da musst du tatsächlich die linksseitigen / rechtsseitigen Grenzwerte ausrechnen und die Differenz bilden.
Welche zwei x-Werte meine ich mit den Übergängen?
Grüße,
Stefan
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:14 Mi 05.01.2011 | | Autor: | stud-ing |
Geben Sie die Differenz $ [mm] \lim_{x\to x_0+}f(x) [/mm] - [mm] \lim_{x\to x_0-}f(x) [/mm] $ für alle [mm] x_{0} \in\IR [/mm] an.
Ansatz: In jedem Punkt [mm] x_{0}\not=0 [/mm] ist f stetig.
In [mm] x_{0}=0 [/mm] gilt : $ [mm] \lim_{x\to 0^{-}}f(x) [/mm] = [mm] \lim_{x\to 0^{-}}(\wurzel{x}+1)$=1
[/mm]
und $ [mm] \lim_{x\to 0^{+}}f(x) [/mm] = [mm] \lim_{x\to 0^{+}}(\wurzel{x}+1)$=1
[/mm]
Damit ist f stetig in [mm] x_0=0
[/mm]
Ist das soweit richtig ? Wie muss ich weiter vorgehen ?
Danke für schnelle Antworten und Rückmeldungen
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:24 Mi 05.01.2011 | | Autor: | ullim |
Hi,
wenn [mm] x\ge0 [/mm] gilt ist der erste Teil der Funktionsdefinition gültig und f(0)=1
Beim zweiten Teil der Definition geht f(x) gegen 0 wenn x gegen Null geht. damit ist f in x=0 nicht stetig und die Differenz kannst Du ablesen.
Genauso kannst Du für den Fall x=-1 vorgehen.
Ich würde mir die Funktion mal auf zeichnen. Parabel, Gerade und eine um 1 verschobene Wurzel.
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