Grenzwertkriterien < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:43 Do 10.04.2008 | | Autor: | winbm |
| Aufgabe | Welche Folgen sind konvergent, welche divergent?
Begründen Sie Ihre Antwort.
[mm] \sum_{n\ge0}^{} \bruch{1}{2^n +1} [/mm] Konvergent, Majorantenkriterium
[mm] \sum_{n\ge1}^{} \bruch{n+1}{3n-1} [/mm] Konvergent, Wurzelkriterium
[mm] \sum_{n\ge1}^{} \bruch{(-1)^n}{2n +1} [/mm] konvergent, Leipnitzkriterium
[mm] \sum_{n\ge2}^{} \bruch{4n+1}{n^3 +5n-2} [/mm] konvergent, Grenzwertkriterium |
Hallo zusammen,
wie ich oben schon dazugeschrieben habe, weiß ich zwar was rauskommt, aber ich habe keine Ahnung wie ich darauf komme (Musterlösung).
Könnte mir jemand vielleicht eine Art Anleitung erstellen, wie ich die einzelnen Kriterien anwende?
Anhand eines der Beispiele wäre vielleicht super.
Ich habe schon versucht mir die entsprechenden informationen zu ergooglen, aber mit den Mathematischen beschreibungen komme ich nicht so wirklich klar. Ein patentrezept, welches Kriterium ich wann anwenden muss scheint es ja nicht zu geben, oder?
Vielen dank schonmal im voraus.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo Björn,
wie sieht's denn mit eigenen Ideen und Ansätzen aus?
Du hast doch nun schon die Ergebnisse dranstehen.
Wie isses bei der ersten Reihe?
[mm] $\sum\limits_{n=0}^{\infty}\frac{1}{2^n+1}$
[/mm]
Die soll nach Majorantenkriterium konvergent sein
Finde also zu dieser Reihe eine größere Reihe, die bekanntermaßen konvergent ist, also einen endlichen Reihenwert hat.
Was bleibt dann deiner armen kleineren Reihe anderes übrig als auch einen endlichen Reihenwert zu haben, also zu konvergieren
Die [mm] 2^n [/mm] im Nenner deutet doch schon hin, worauf es hinausläuft.
Welche ganz bekannten konvergenten Reihen kennst du denn?
Und welche bekannte divergente?
Bei der zweiten Reihe überlege nochmal, welche Bedingung muss den notwendigerweise gelten, damit eine Reihe [mm] $\sum a_n$ [/mm] konvergiert?
Was kommt denn als GW beim Wurzelkriterium heraus? Doch bestimmt keiner, der <1 ist. Rechne einfach mal!!
Das Kriterium für die 3.Reihe heißt Leibniz-Kriterium und hat nix mit Lipschitz zu tun und ist auch kein Mischmach aus beidem 
Welche 2 Dinge musst du dafür zeigen?
Schreib's dir mal auf und mache es, das ist nicht wild
Bei der letzten Reihe würde ich's mit dem Majorantenkriterium versuchen.
Die Reihe hat ja in etwa die Größenordnung der konvergenten Reihe [mm] $\sum \frac{1}{n^2}$
[/mm]
Versuche mal, gegen diese Reihe oder Variationen davon als konvergente Majorante abzuschätzen
LG
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:09 Do 10.04.2008 | | Autor: | winbm |
Vielen Dank erstmal für die schnelle Antwort.
Aber gerade das ist ja mein Problem, ich habe keine Ahnung wie ich anfangen soll bzw. was die einzelnen Kriterien auszeichnet.
Es tut mir wirklich leid, aber ich fange diesbezüglich bei null an was reihen und folgen angeht.
Grenzwerte kann ich berechnen, aber ich glaube das hilft mir nicht allzuviel  .
Die Lösungen, die ich dahintergeschrieben habe stammen aus einer Musterlösung, leider ohne Zwischenschritte, deswegen kann ich es nicht wirklich nachvollziehen.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:18 Do 10.04.2008 | | Autor: | crashby |
Hey, schau erstmal hier nach:
https://matheraum.de/wissen/Konvergenzkriterium
Wo ist genau dein Problem?
Zum Beispiel beim Leibniz-Kriterium:
Die Reihe konvergiert genau dann, wenn die [mm] Folge(a_n) [/mm] eine monoton fallende Nullfolge ist.
Und das Leibnz-Kriterium geht meisten, wenn [mm] (-1)^n [/mm] auftaucht sprich die bei alternierenden Reihen
lg George
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Hallo nochmal,
na, du musst schon ein bissl Arbeit in die Mathematik stecken, das macht sich nicht von selbst.
Und wenn du alles vorgesetzt bekommst, bringt's dir nix.
Du willst das ja lernen
Ich habe doch schon etliche Hinweise gegeben.
Fang mit der 2.Reihe an. Da ist die Musterlösung falsch. Diese Reihe ist divergent oder du hast sie falsch eingetippt
Dazu hatte ich dir den Hinweis mit dem Trivialkriterium gegeben.
Was muss zwingend erfüllt sien, damit [mm] $\sum a_n$ [/mm] konvergiert?
Dann die 3. Reihe:
Schau im Skript/Internet, wo auch immer nach, welche 2 Dinge du für die Konvergenz nach dem Leibnizkriterium zeigen musst.
Es läuft auf das Rechnen mit Folgen hinaus (Monotonie- und Konvergenznachweis)
Ebenso für die 1. Reihe
Welche konvergenten Reihen kennst du?
Die ersten Reihen, die man so kennenlernt, sind doch geometrische Reihen
Du musst [mm] $\sum\limits_{n=0}^{\infty}\frac{1}{2^n+1}$ [/mm] gegen eine (konvergente) geometrische Reihe (konvergente Majorante) abschätzen.
Das ist 1 Abschätzungsschritt, ausführlich 2
Also versuche dich mal an diesen beiden, das sind die einfachsten.
Wenn du dazu nun was zu Papier bzw. zu Tastaur gebracht hast, machen wir mit der letzte weiter.
Also: Nachschlagen und aufschreiben, was du zeigen musst und dann ran wie'n Hahn
LG
schachuzipus
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:50 Fr 11.04.2008 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
okay, du hast Probleme, ich gebe Dir jetzt wirklich die nötigsten Hinweise:
> Welche Folgen
Reihen! (Auch, wenn eine Reihe als Folge ihrer Teilsummen aufgefasst wird!)
> sind konvergent, welche divergent?
> Begründen Sie Ihre Antwort.
>
> [mm]\sum_{n\ge0}^{} \bruch{1}{2^n +1}[/mm] Konvergent,
> Majorantenkriterium
Benutze die Abschätzung [mm] $\frac{1}{2^n+1} \le \frac{1}{2^n}=\left(\frac{1}{2}\right)^n$ [/mm] und denke an die geometrische Reihe. Dann verstehst Du die Lösung sicherlich.
> [mm]\sum_{n\ge1}^{} \bruch{n+1}{3n-1}[/mm] Konvergent,
> Wurzelkriterium
Also mit dem Wurzelkriterium erhielte man hier keine Aussage, sofern die Reihe richtig eingetippt wurde, da:
[mm] $\limsup_{n \to \infty}\sqrt[n]{\frac{n+1}{3n-1}}=1$. [/mm]
Die Divergenz erkennst Du mittels des Trivialkriteriums, indem Du [mm] $\lim_{n \to \infty}\frac{n+1}{3n-1}$ [/mm] mal berechnest.
> [mm]\sum_{n\ge1}^{} \bruch{(-1)^n}{2n +1}[/mm] konvergent,
> Leipnitzkriterium
Der Name des Herrn war Leibnitz. Da steht eigentlich explizit drin, was Du zu prüfen hast:
![[]](/images/popup.gif) http://de.wikipedia.org/wiki/Leibniz-Kriterium
Die Folge [mm] $(a_n)_n$ [/mm] ist oben gegeben mit
[mm] $a_n=\frac{1}{2n+1}$
[/mm]
Ist das eine monoton fallende Nullfolge?
> [mm]\sum_{n\ge2}^{} \bruch{4n+1}{n^3 +5n-2}[/mm] konvergent,
> Grenzwertkriterium
Den Namen "Grenzwertkriterium" habe ich noch nie gehört?! Aber wenn man
[mm] $\lim_{n \to \infty} \bruch{4n+1}{n^3 +5n-2}$
[/mm]
mal berechnet und vernünftig argumentiert, kann man "leicht" eine konvergente Majorante angeben (leicht zumindest, wenn man es schonmal gesehen hat) (man schätzt dann ab einem genügend großen Index die "Restreihe" ab). Probiere Dich mal dran, wenigstens den obigen Limes solltest Du berechnen können...
Gruß,
Marcel
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