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Forum "Funktionalanalysis" - Grenzwertproblem
Grenzwertproblem < Funktionalanalysis < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Grenzwertproblem: (genauer:Formulierungsproblem)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:34 Di 03.02.2009
Autor: madoschilus

Aufgabe
[mm] \limes_{x \to o} x^2*\sin \frac{1}{x} [/mm]

Hallo liebe Leute! Habe schon oft per Google Antworten in eurem Forum gefunden, leider zu meiner Frage nichts - deswegen stelle ich sie gleich mal selbst:

[Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.]

Der Limes ist meiner Meinung nach = 0, da der Sinus für x gegen 0 ja immer einem Wert zwischen 0 und 1 entspricht, [mm] x^2 [/mm] aber gegen 0 geht.

Meine Frage ist, wie begründe ich das? Gibt es einen Satz dazu, oder kann man das einfach voraussetzen?

Vielen Dank, MfG Markus

        
Bezug
Grenzwertproblem: Grenzwertsatz
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:53 Di 03.02.2009
Autor: Zander

Ja, man kann es mit dem Grenzwertsatz begründen!
Wenn f(x) und g(x) Funktionen sind und jeweils einen Grenzwert a und b haben, dann ist der Grenzwert vom Produkt der Funktionen gleich dem Produkt der Grenzwerte. In der Sprache der Mathematik:

[mm] \lim_{x\to n}{f(x)}=a [/mm] und [mm] \lim_{x\to n}{g(x)}=b [/mm]
Dann [mm] \lim_{x\to n}{(f(x)*g(x))}=a*b [/mm]

Bezug
                
Bezug
Grenzwertproblem: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 20:12 Di 03.02.2009
Autor: madoschilus

das Problem ist, [mm] \sin \frac{1}{x} [/mm] hat keinen Grenzwert, der Sinus osziliert immer zwischen 0 und 1 umher, also kann man den Satz doch nicht anwenden (?)


edit: Für x gegen 0 geht [mm] \frac{1}{x} [/mm] gegen unendlich

Bezug
                        
Bezug
Grenzwertproblem: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 20:20 Di 03.02.2009
Autor: Fry

Hallo,

am besten schätzt du die Terme nach oben unten ab,wie du schon vorgeschlagen hast:
[mm] -x²\le x²*sin(\bruch{1}{x})\le [/mm] x²

[mm] \Rightarrow 0\le \limes_{x\rightarrow 0}x²*sin(\bruch{1}{x})\le [/mm] 0

Daraus folgt die Behauptung.

LG
Christian

Bezug
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