Grenzwertsätze für Potenzen ? < Folgen+Grenzwerte < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:28 Di 22.09.2009 | | Autor: | abakus |
Hallo,
es gibt die bekannten Sätze für die Grenzwerte einer Summe, eines Produkts bzw. eines Quotienten von zwei Zahlenfolgen.
Ich bin der Ansicht, dass außerdem noch gilt:
[mm] (\limes_{n\rightarrow\infty}a_n)^b =\limes_{n\rightarrow\infty}(a_n^b)
[/mm]
und auch
[mm] (\limes_{n\rightarrow\infty}a_n)^n =\limes_{n\rightarrow\infty}(a_n^n).
[/mm]
Ist das soweit korrekt oder gibt es "böse" Gegenbeispiele?
Gruß Abakus
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:48 Di 22.09.2009 | | Autor: | fred97 |
> Hallo,
> es gibt die bekannten Sätze für die Grenzwerte einer
> Summe, eines Produkts bzw. eines Quotienten von zwei
> Zahlenfolgen.
> Ich bin der Ansicht, dass außerdem noch gilt:
> [mm](\limes_{n\rightarrow\infty}a_n)^b =\limes_{n\rightarrow\infty}(a_n^b)[/mm]
Das ist richtig, es ist ein Spezialfall für Grenzwerte eines Produktes (natürlich unter der Vor. , dass [mm] (a_n) [/mm] konvergent ist und b nicht von n abhängt).
>
> und auch
> [mm](\limes_{n\rightarrow\infty}a_n)^n =\limes_{n\rightarrow\infty}(a_n^n).[/mm]
Das ist im allg. falsch !
beispiel: [mm] a_n [/mm] = [mm] 1+\bruch{1}{n}
[/mm]
Dann ist [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}a_n [/mm] = 1,
also ( [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}a_n )^n [/mm] = 1,
aber [mm] $\limes_{n\rightarrow\infty}a_n^n [/mm] = e$
FRED
>
> Ist das soweit korrekt oder gibt es "böse"
> Gegenbeispiele?
> Gruß Abakus
>
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:19 So 30.07.2017 | | Autor: | X3nion |
> > Hallo,
> > es gibt die bekannten Sätze für die Grenzwerte einer
> > Summe, eines Produkts bzw. eines Quotienten von zwei
> > Zahlenfolgen.
> > Ich bin der Ansicht, dass außerdem noch gilt:
> > [mm](\limes_{n\rightarrow\infty}a_n)^b =\limes_{n\rightarrow\infty}(a_n^b)[/mm]
>
>
> Das ist richtig, es ist ein Spezialfall für Grenzwerte
> eines Produktes (natürlich unter der Vor. , dass [mm](a_n)[/mm]
> konvergent ist und b nicht von n abhängt).
Hallo zusammen!
Durch Zufall bin ich auf diesen Thread gestoßen und ich hoffe es ist in Ordnung, wenn ich ihn wieder zum Leben erwecke, denn ich wollte nicht etwas posten, was bereits existiert.
Nahezu 8 Jahre ist es her, seitdem die Frage von abakus im Forum gestellt wurde, ob [mm] (\limes_{n\rightarrow\infty}a_n)^b =\limes_{n\rightarrow\infty}(a_n^b) [/mm] gilt. Fred antwortete damals, dass diese Gleichheit ein Spezialfall der Produktregel für Grenzwertsätze ist und gilt, vorausgesetzt, dass b nicht abhängig ist von n. (Gegenbeispiel für ein von n unabhängiges b war [mm] a_{n} [/mm] = 1 + [mm] \frac{1}{n} [/mm] und b = n)
Meine Frage nun: Wie lässt sich der Sachverhalt beweisen?
Ich habe es mit der Produktregel probiert, komme da aber nicht wirklich ans Ziel.
Die Produktregel lautet ja: Sind [mm] (a_{n}), (b_{n}) [/mm] zwei konvergente Folgen reeller Zahlen. Dann konvergiert auch die Produktfolge [mm] (a_{n}b_{n})_{n\in\IN} [/mm] und es gilt
[mm] \lim_{n\rightarrow\infty} (a_{n} b_{n}) [/mm] = [mm] (\lim_{n\rightarrow\infty} a_{n}) \cdot{} (\lim_{n\rightarrow\infty} a_{n})
[/mm]
Ist nun [mm] a_{n} [/mm] konvergent, so sicherlich auch [mm] a_{n}^{b} [/mm] bei festem b.
Setze [mm] b_{n} [/mm] := [mm] a_{n}^{b-1}
[/mm]
Es folgt: [mm] \lim_{n\rightarrow\infty} (a_{n} a_{n}^{b-1}) [/mm] = [mm] \lim_{n\rightarrow\infty} (a_{n}^{b}) [/mm] = [mm] (\lim_{n\rightarrow\infty} a_{n}) \cdot{} (\lim_{n\rightarrow\infty} a_{n}^{b-1})
[/mm]
Nun weiß ich aber nicht, wie ich dadurch auf [mm] (\lim_{n\rightarrow\infty} a_{n})^{b} [/mm] kommen soll.
Funktioniert es überhaupt so, oder gibt es andere zielführende Ansätze?
Würde mich über Antworten freuen!
Viele Grüße,
X3nion
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Hallo Xenion,
> Hallo zusammen!
>
> Durch Zufall bin ich auf diesen Thread gestoßen und ich
> hoffe es ist in Ordnung, wenn ich ihn wieder zum Leben
> erwecke, denn ich wollte nicht etwas posten, was bereits
> existiert.
>
> Nahezu 8 Jahre ist es her, seitdem die Frage von abakus im
> Forum gestellt wurde, ob [mm](\limes_{n\rightarrow\infty}a_n)^b =\limes_{n\rightarrow\infty}(a_n^b)[/mm]
> gilt. Fred antwortete damals, dass diese Gleichheit ein
> Spezialfall der Produktregel für Grenzwertsätze ist und
> gilt, vorausgesetzt, dass b nicht abhängig ist von n.
> (Gegenbeispiel für ein von n unabhängiges b war [mm]a_{n}[/mm] = 1
> + [mm]\frac{1}{n}[/mm] und b = n)
>
> Meine Frage nun: Wie lässt sich der Sachverhalt beweisen?
> Ich habe es mit der Produktregel probiert, komme da aber
> nicht wirklich ans Ziel.
>
> Die Produktregel lautet ja: Sind [mm](a_{n}), (b_{n})[/mm] zwei
> konvergente Folgen reeller Zahlen. Dann konvergiert auch
> die Produktfolge [mm](a_{n}b_{n})_{n\in\IN}[/mm] und es gilt
>
> [mm]\lim_{n\rightarrow\infty} (a_{n} b_{n})[/mm] =
> [mm](\lim_{n\rightarrow\infty} a_{n}) \cdot{} (\lim_{n\rightarrow\infty} a_{n})[/mm]
>
> Ist nun [mm]a_{n}[/mm] konvergent, so sicherlich auch [mm]a_{n}^{b}[/mm] bei
> festem b.
>
> Setze [mm]b_{n}[/mm] := [mm]a_{n}^{b-1}[/mm]
>
> Es folgt: [mm]\lim_{n\rightarrow\infty} (a_{n} a_{n}^{b-1})[/mm] =
> [mm]\lim_{n\rightarrow\infty} (a_{n}^{b})[/mm] =
> [mm](\lim_{n\rightarrow\infty} a_{n}) \cdot{} (\lim_{n\rightarrow\infty} a_{n}^{b-1})[/mm]
>
> Nun weiß ich aber nicht, wie ich dadurch auf
> [mm](\lim_{n\rightarrow\infty} a_{n})^{b}[/mm] kommen soll.
Ganz einfach: indem du dieses Verfahren insgesamt (b-1)-mal anwendest. Und damit ist auch klar, dass das so nur für natürliche Exponenten gilt.
> Funktioniert es überhaupt so, oder gibt es andere
> zielführende Ansätze?
Ich würde sagen, dass das ganze sofort aus der Stetigkeit der Exponentialfunktion folgt.
Gruß, Diophant
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 01:06 Di 01.08.2017 | | Autor: | X3nion |
Hallo Diophant und Danke für deine Antwort!
> Ich würde sagen, dass das ganze sofort aus der Stetigkeit der
> Exponentialfunktion folgt.
Ah stimmt, daran habe ich nicht gedacht! Aber du meinst bestimmt nicht die Exponentialfunktion, sondern die allgemeine Potenzfunktion
p: (0, [mm] \infty) \mapsto \IR, [/mm] x [mm] \rightarrow x^{\alpha} [/mm] mit [mm] \alpha \in \IR [/mm] ?
Mich hat es halt gewundert, da Fred damals geschrieben hat, dass dieser Fall ein Spezialfall für den Grenzwertsatz für Produkte ist.
Dann müsste man erst einmal beweisen, dass die allgemeine Potenzfunktion überall auf ihrem Definitionsbereich stetig ist. Hat da jemand eine Idee, wie man dies machen könnte?
Viele Grüße,
X3nion
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(Antwort) fertig | | Datum: | 08:18 Di 01.08.2017 | | Autor: | fred97 |
> Hallo Diophant und Danke für deine Antwort!
>
> > Ich würde sagen, dass das ganze sofort aus der Stetigkeit
> der
> > Exponentialfunktion folgt.
>
> Ah stimmt, daran habe ich nicht gedacht! Aber du meinst
> bestimmt nicht die Exponentialfunktion, sondern die
> allgemeine Potenzfunktion
>
> p: (0, [mm]\infty) \mapsto \IR,[/mm] x [mm]\rightarrow x^{\alpha}[/mm] mit
> [mm]\alpha \in \IR[/mm] ?
>
> Mich hat es halt gewundert, da Fred damals geschrieben hat,
> dass dieser Fall ein Spezialfall für den Grenzwertsatz
> für Produkte ist.
>
> Dann müsste man erst einmal beweisen, dass die allgemeine
> Potenzfunktion überall auf ihrem Definitionsbereich stetig
> ist. Hat da jemand eine Idee, wie man dies machen könnte?
Es ist [mm] $x^{\alpha}=e^{\alpha \ln x}$
[/mm]
Man benötigt also die Stetigkeit der Exponentialfunktion und von [mm] \ln.
[/mm]
Es ist [mm] e^x=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^n}{n!} [/mm] für x [mm] \in \IR. [/mm] Aus der Theorie der Potenzreihen folgt sofort, dass [mm] e^x [/mm] stetig ist. Damit ist [mm] \ln [/mm] als Umkeherfunktion einer stetigen Funktion ebenfalls stetig.
>
>
> Viele Grüße,
> X3nion
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:55 Do 03.08.2017 | | Autor: | X3nion |
Hallo Fred,
ach ja klar! Danke für deine Ausführungen, die Umschreibung habe ich nicht gesehen.
Dann macht alles nun Sinn.
Viele Grüße,
X3nion
> Es ist [mm]x^{\alpha}=e^{\alpha \ln x}[/mm]
>
> Man benötigt also die Stetigkeit der Exponentialfunktion
> und von [mm]\ln.[/mm]
>
> Es ist [mm]e^x=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^n}{n!}[/mm] für x [mm]\in \IR.[/mm]
> Aus der Theorie der Potenzreihen folgt sofort, dass [mm]e^x[/mm]
> stetig ist. Damit ist [mm]\ln[/mm] als Umkeherfunktion einer
> stetigen Funktion ebenfalls stetig.
> >
> >
> > Viele Grüße,
> > X3nion
>
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:08 Di 22.09.2009 | | Autor: | abakus |
> > Hallo,
> > es gibt die bekannten Sätze für die Grenzwerte einer
> > Summe, eines Produkts bzw. eines Quotienten von zwei
> > Zahlenfolgen.
> > Ich bin der Ansicht, dass außerdem noch gilt:
> > [mm](\limes_{n\rightarrow\infty}a_n)^b =\limes_{n\rightarrow\infty}(a_n^b)[/mm]
>
>
> Das ist richtig, es ist ein Spezialfall für Grenzwerte
> eines Produktes (natürlich unter der Vor. , dass [mm](a_n)[/mm]
> konvergent ist und b nicht von n abhängt).
>
>
> >
> > und auch
> > [mm](\limes_{n\rightarrow\infty}a_n)^n =\limes_{n\rightarrow\infty}(a_n^n).[/mm]
>
>
> Das ist im allg. falsch !
>
> beispiel: [mm]a_n[/mm] = [mm]1+\bruch{1}{n}[/mm]
>
> Dann ist [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}a_n[/mm] = 1,
>
> also ( [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}a_n )^n[/mm] = 1,
>
> aber [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}a_n^n = e[/mm]
>
>
> FRED
Hallo Fred,
vielen Dank, darauf hätte ich selbst kommen müssen, zumal meine Frage gerade in diese Richtung zielte.
Mein Problem ist folgendes:
Ich will den Schülern (ohne Kenntnisse von Reihenentwicklungen) zeigen, dass [mm] \limes_{h\rightarrow 0}\bruch{e^h-1}{h}=1 [/mm] gilt.
Dazu wollte ich nutzen, dass [mm] e=\limes_{h\rightarrow 0}(1+h)^\bruch1h [/mm] ist und deshalb [mm] \limes_ {h\rightarrow 0}(e^h)=\limes_{h\rightarrow 0}(\limes_{h\rightarrow 0}((1+h)^\bruch1h)^h [/mm] )ist.
Wenn ich jetzt für [mm] \limes_{h\rightarrow 0}((1+h)^\bruch1h)^h [/mm] schreiben dürfte [mm] \limes_{h\rightarrow 0}((1+h)^{\bruch1h*h}), [/mm] wäre mein Problem gelöst. Aber man darf ja den Exponenten h nicht einfach in den Grenzwertterm hineinziehen...
Gruß Abakus
>
>
>
>
> >
> > Ist das soweit korrekt oder gibt es "böse"
> > Gegenbeispiele?
> > Gruß Abakus
> >
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:18 Di 22.09.2009 | | Autor: | fred97 |
> > > Hallo,
> > > es gibt die bekannten Sätze für die Grenzwerte
> einer
> > > Summe, eines Produkts bzw. eines Quotienten von zwei
> > > Zahlenfolgen.
> > > Ich bin der Ansicht, dass außerdem noch gilt:
> > > [mm](\limes_{n\rightarrow\infty}a_n)^b =\limes_{n\rightarrow\infty}(a_n^b)[/mm]
>
> >
> >
> > Das ist richtig, es ist ein Spezialfall für Grenzwerte
> > eines Produktes (natürlich unter der Vor. , dass [mm](a_n)[/mm]
> > konvergent ist und b nicht von n abhängt).
> >
> >
> > >
> > > und auch
> > > [mm](\limes_{n\rightarrow\infty}a_n)^n =\limes_{n\rightarrow\infty}(a_n^n).[/mm]
>
> >
> >
> > Das ist im allg. falsch !
> >
> > beispiel: [mm]a_n[/mm] = [mm]1+\bruch{1}{n}[/mm]
> >
> > Dann ist [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}a_n[/mm] = 1,
> >
> > also ( [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}a_n )^n[/mm] = 1,
> >
> > aber [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}a_n^n = e[/mm]
> >
> >
> > FRED
> Hallo Fred,
> vielen Dank, darauf hätte ich selbst kommen müssen,
> zumal meine Frage gerade in diese Richtung zielte.
> Mein Problem ist folgendes:
> Ich will den Schülern (ohne Kenntnisse von
> Reihenentwicklungen) zeigen, dass [mm]\limes_{h\rightarrow 0}\bruch{e^h-1}{h}=1[/mm]
> gilt.
Wie hast Du denn Deinen Schülern [mm] e^x [/mm] für x [mm] \in \IR, [/mm] insbesondere für x [mm] \in \IR [/mm] \ [mm] \IQ [/mm] definiert ?
FRED
> Dazu wollte ich nutzen, dass [mm]e=\limes_{h\rightarrow 0}(1+h)^\bruch1h[/mm]
> ist und deshalb [mm]\limes_ {h\rightarrow 0}(e^h)=\limes_{h\rightarrow 0}(\limes_{h\rightarrow 0}((1+h)^\bruch1h)^h[/mm]
> )ist.
> Wenn ich jetzt für [mm]\limes_{h\rightarrow 0}((1+h)^\bruch1h)^h[/mm]
> schreiben dürfte [mm]\limes_{h\rightarrow 0}((1+h)^{\bruch1h*h}),[/mm]
> wäre mein Problem gelöst. Aber man darf ja den Exponenten
> h nicht einfach in den Grenzwertterm hineinziehen...
> Gruß Abakus
> >
>
> >
> >
> >
> > >
> > > Ist das soweit korrekt oder gibt es "böse"
> > > Gegenbeispiele?
> > > Gruß Abakus
> > >
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:22 Di 22.09.2009 | | Autor: | abakus |
> > > > Hallo,
> > > > es gibt die bekannten Sätze für die Grenzwerte
> > einer
> > > > Summe, eines Produkts bzw. eines Quotienten von zwei
> > > > Zahlenfolgen.
> > > > Ich bin der Ansicht, dass außerdem noch gilt:
> > > > [mm](\limes_{n\rightarrow\infty}a_n)^b =\limes_{n\rightarrow\infty}(a_n^b)[/mm]
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> > >
> > > Das ist richtig, es ist ein Spezialfall für Grenzwerte
> > > eines Produktes (natürlich unter der Vor. , dass [mm](a_n)[/mm]
> > > konvergent ist und b nicht von n abhängt).
> > >
> > >
> > > >
> > > > und auch
> > > > [mm](\limes_{n\rightarrow\infty}a_n)^n =\limes_{n\rightarrow\infty}(a_n^n).[/mm]
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> > >
> > > Das ist im allg. falsch !
> > >
> > > beispiel: [mm]a_n[/mm] = [mm]1+\bruch{1}{n}[/mm]
> > >
> > > Dann ist [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}a_n[/mm] = 1,
> > >
> > > also ( [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}a_n )^n[/mm] = 1,
> > >
> > > aber [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}a_n^n = e[/mm]
> > >
> > >
> > > FRED
> > Hallo Fred,
> > vielen Dank, darauf hätte ich selbst kommen müssen,
> > zumal meine Frage gerade in diese Richtung zielte.
> > Mein Problem ist folgendes:
> > Ich will den Schülern (ohne Kenntnisse von
> > Reihenentwicklungen) zeigen, dass [mm]\limes_{h\rightarrow 0}\bruch{e^h-1}{h}=1[/mm]
> > gilt.
>
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> Wie hast Du denn Deinen Schülern [mm]e^x[/mm] für x [mm]\in \IR,[/mm]
> insbesondere für x [mm]\in \IR[/mm] \ [mm]\IQ[/mm] definiert ?
Die kennen Potenzfunktionen [mm] f(x)=a^x [/mm] allgemein, und sie wissen, dass e eine "besondere" Zahl, eben dieser bewusste Grenzwert, ist.
Gruß Abakus
>
>
> FRED
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> > Dazu wollte ich nutzen, dass [mm]e=\limes_{h\rightarrow 0}(1+h)^\bruch1h[/mm]
> > ist und deshalb [mm]\limes_ {h\rightarrow 0}(e^h)=\limes_{h\rightarrow 0}(\limes_{h\rightarrow 0}((1+h)^\bruch1h)^h[/mm]
> > )ist.
> > Wenn ich jetzt für [mm]\limes_{h\rightarrow 0}((1+h)^\bruch1h)^h[/mm]
> > schreiben dürfte [mm]\limes_{h\rightarrow 0}((1+h)^{\bruch1h*h}),[/mm]
> > wäre mein Problem gelöst. Aber man darf ja den Exponenten
> > h nicht einfach in den Grenzwertterm hineinziehen...
> > Gruß Abakus
> > >
> >
> > >
> > >
> > >
> > > >
> > > > Ist das soweit korrekt oder gibt es "böse"
> > > > Gegenbeispiele?
> > > > Gruß Abakus
> > > >
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:03 Di 22.09.2009 | | Autor: | fred97 |
> Die kennen Potenzfunktionen [mm]f(x)=a^x[/mm] allgemein,
Und wie ist [mm] a^x [/mm] für x [mm] \in \IR [/mm] definiert ?
FRED
> und sie
> wissen, dass e eine "besondere" Zahl, eben dieser bewusste
> Grenzwert, ist.
> Gruß Abakus
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