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Grenzwertuntersuchung: Frage (reagiert)
Status: (Frage) reagiert/warte auf Reaktion Status 
Datum: 17:29 Do 08.04.2004
Autor: UmbraSolis

Hallo,

ich bin im Moment dabei mich aufs Abi vorzubereiten und habe eine Frage:

Ich würde gerne wissen wie man nochmal Grenzwerte berechnen kann.
Wir haben das mit der Methode gemacht, bei der man für x einfach x-h bzw. x+h einsetzt und dann das h ausklammert. h geht nach dem ausklammern gegen 0.
Mein Hauptproblem ist es mich daran zu erinnern, ob ich bei gebrochenrationalen Funktionen nur das h im Zähler oder nur im Nenner oder in beiden ausklammern muss.


Vielen Dank schonmal im Voraus.

UmbraSolis

        
Bezug
Grenzwertuntersuchung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:27 Do 08.04.2004
Autor: Marc

Hallo UmbraSolis, willkommen im MatheRaum :-)!

> Ich würde gerne wissen wie man nochmal Grenzwerte berechnen
> kann.
>  Wir haben das mit der Methode gemacht, bei der man für x
> einfach x-h bzw. x+h einsetzt und dann das h ausklammert. h
> geht nach dem ausklammern gegen 0.
>  Mein Hauptproblem ist es mich daran zu erinnern, ob ich
> bei gebrochenrationalen Funktionen nur das h im Zähler oder
> nur im Nenner oder in beiden ausklammern muss.

Mir ist nicht ganz klar, was du meinst: Meinst du den Grenzwert des Differenzenquotienten (=Differenzialquotient) [mm] \limes_{h\to0}\bruch{f(x_0+h)-f(x_0)}{h} [/mm] oder den Grenzwert von Funktionen [mm] \limes_{h\to0}f(x_0+h) [/mm] (mit dem man z.B. die Stetigkeit einer Funktion zeigen kann)?

Am besten, du postest uns mal ein Beispiel einer Grenzwertbetrachtung, bei dem du Probleme hast, dann weiß ich worum es geht und auch, womit genau du Probleme hast.

Bis gleich,
Marc

Bezug
                
Bezug
Grenzwertuntersuchung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:06 Fr 09.04.2004
Autor: UmbraSolis

Die Funktion sieht folgendermaßen aus:

[mm] f(x)= \bruch{x^2+2x}{x^2-2x+1} [/mm]

der Nenner ist eine binomische Formel und lässt sich zu
[mm] (x-1)^2 [/mm] zusammenfassen.

Dadurch ergibt sich eine Definitionslücke, die sich nach Einsetzten in den Zähler als Polstelle entpuppt ([mm]Z(x)\not=0[/mm]).

Ich weiß noch, dass wir das Verhalten links der Polstelle und das Verhalten rechts der Polstelle untersucht haben und zwar so:
1.Verhalten links der Polstelle:
[mm]\limes_{x-h \to 1} f(x-h) = \limes_{(x-h) \to 1} \bruch{(x-h)^2+2(x-h)}{(x-h)^2-2(x-h)+1}[/mm]

2.Verhalten rechts der Polstelle:
[mm]\limes_{x+h \to 1} f(x+h) = \limes_{(x+h) \to 1} \bruch{(x+h)^2+2(x+h)}{(x+h)^2-2(x+h)+1}[/mm]

Nachdem man bei beiden ausmultipliziert hat muss man h ausklammern. Meine Frage bezieht sich auf diese Stelle der Grenzwertuntersuchung. Ich weiß nicht ob ich h nur im Zähler ausklammern muss oder in Zähler und Nenner. Der einzige Hinweis den ich noch geben kann ist, dass der nächste Schritt dann so aussehen muss:

[mm]\limes_{h \to 0} f(x-h) = \limes_{h \to 0}??? [/mm]
und
[mm]\limes_{h \to 0} f(x+h) = \limes_{h \to 0}??? [/mm]

Danke für das nette Willkommen,
UmbraSolis


Bezug
                        
Bezug
Grenzwertuntersuchung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:13 Fr 09.04.2004
Autor: Marc

Hallo UmbraSolis!

> Die Funktion sieht folgendermaßen aus:
>  
> [mm]f(x)= \bruch{x^2+2x}{x^2-2x+1}[/mm]
>  
> der Nenner ist eine binomische Formel und lässt sich zu
>  [mm](x-1)^2[/mm] zusammenfassen.
>  
> Dadurch ergibt sich eine Definitionslücke, die sich nach
> Einsetzten in den Zähler als Polstelle entpuppt
> ([mm]Z(x)\not=0[/mm]).
>  
> Ich weiß noch, dass wir das Verhalten links der Polstelle
> und das Verhalten rechts der Polstelle untersucht haben und
> zwar so:
>  1.Verhalten links der Polstelle:
>  [mm]\limes_{x-h \to 1} f(x-h) = \limes_{(x-h) \to 1} \bruch{(x-h)^2+2(x-h)}{(x-h)^2-2(x-h)+1}[/mm]
>  
>
> 2.Verhalten rechts der Polstelle:
>  [mm]\limes_{x+h \to 1} f(x+h) = \limes_{(x+h) \to 1} \bruch{(x+h)^2+2(x+h)}{(x+h)^2-2(x+h)+1}[/mm]
>  
>
> Nachdem man bei beiden ausmultipliziert hat muss man h
> ausklammern. Meine Frage bezieht sich auf diese Stelle der
> Grenzwertuntersuchung. Ich weiß nicht ob ich h nur im
> Zähler ausklammern muss oder in Zähler und Nenner. Der

Alles klar, jetzt weiß ich, worum es geht (ich hatte ja ursprünglich auf den Grenzwert des Differenzenquotienten getippt; gut, dass ich nachgefragt hatte).

> einzige Hinweis den ich noch geben kann ist, dass der
> nächste Schritt dann so aussehen muss:
> [mm]\limes_{h \to 0} f(x-h) = \limes_{h \to 0}???[/mm]
>  und
>  [mm]\limes_{h \to 0} f(x+h) = \limes_{h \to 0}???[/mm]

Zunächst einmal müßte es oben doch eigentlich heißen:
1.Verhalten links der Polstelle:
[mm]\limes_{(x\red{_0}\black{}-h) \to \red{x_0}\black{}} f(x_0-h) = \limes_{(\red{1}\black{}-h) \to 1} \bruch{(\red{1}\black{}-h)^2+2(\red{1}\black{}-h)}{(\red{1}\black{}-h)^2-2(\red{1}\black{}-h)+1}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)



Ich will mit dieser kleinen Verbesserung nur darauf hinweisen, dass wir ja eine feste Stelle x_0=1 betrachten, und diese ruhig überall einsetzen können (nicht nur in der Darstellung des Grenzübergangs $(x-h)\to\red{1}$, wie du es gemacht hast).

Gleiches natürlich für die rechtsseitige Untersuchung.

Nun sind aber folgende Schreibweisen äquivalent:
$\limes_{(x_0-h) \to x_0} f(x_0-h)=\limes_{h\to 0} f(x_0-h)$
ich hoffe, das ist dir klar (das erwähne ich, weil du ja plötzlich die Schreibweisen geändert hast).

Jetzt zu deiner eigentlichen Frage.

Ich rechne mal bis an die Stelle, wo sich deine Frage stellt.

$\limes_{h\to0}\bruch{(1-h)^2+2(1-h)}{(1-h)^2-2(1-h)+1}$
$=\limes_{h\to0}\bruch{1-2h+h^2+2-2h}{1-2h+h^2-2+2h+1}$
$=\limes_{h\to0}\bruch{3+h^2-4h}{h^2}$ (*)

Diese Stelle meinst du, oder? Die Antwort ist: Ja, klammere im Zähler und im Nenner $h$ aus:

$=\limes_{h\to0}\bruch{h*(\bruch{3}{h}+h-4}{h*h}$

kürze:

$=\limes_{h\to0}\bruch{\bruch{3}{h}+h-4}{h}$

und schreibe

$=\limes_{h\to0}\underbrace{\bruch{1}{h}}_{\to\infty}*\left(\underbrace{\bruch{3}{h}}_{\to\infty}+\underbrace{h-4}_{\to-4}}\right)$

Hier kann man jetzt den "Grenzwert" erkennen, er ist

$=+\infty$

Alles klar? Falls nicht, frage bitte nach.

Viele Grüße,
Marc

Bezug
                                
Bezug
Grenzwertuntersuchung: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 16:01 Fr 09.04.2004
Autor: UmbraSolis

Vielen Dank, dass du dir die Zeit genommen hast die Aufgabe so grundlich zu erklären :)
Soweit ich das beurteilen kann habe ich die Aufgabe jetzt verstanden.

Liebe Grüße,

UmbraSolis

Bezug
                                        
Bezug
Grenzwertuntersuchung: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 16:06 Fr 09.04.2004
Autor: Marc

Hallo UmbraSolis,

> Vielen Dank, dass du dir die Zeit genommen hast die Aufgabe
> so grundlich zu erklären :)
>  Soweit ich das beurteilen kann habe ich die Aufgabe jetzt
> verstanden.

Das freut mich :-)

Alles Gute,
Marc

Bezug
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