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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:44 Mi 26.09.2007 | | Autor: | DaniTwal |
| Aufgabe | lim 1-cosx
x->0 ___________________
x( wurzel {1+x} -1 )
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Ich bin zu folgender Rechnung gekommen:
lim 1-cosx
x->0 ___________________ / * (1+cosx) / * wurzel {1+x} +1
x( wurzel {1+x} -1 ) ______ _______________
(1+cosx) wurzel {1+x} +1
= lim 1 - [mm] (cosx)^2 [/mm] * (wurzel {1+x} +1)
x->0 ___________________________
x (1+cosx) + (1+x+1)
Ich weiß jetzt aber leider nicht, wie ich das x im nenner ausklammern kann , damit ich bei grenzwert gegen 0 keine 0 im nenner stehen habe!
Danke im voraus!
Dani
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo DaniTwal,
> lim 1-cosx
> x->0 ___________________
> x( wurzel {1+x} -1 )
Die Formeln bei dir sind leider nur schwer lesbar. Benutze das nächste mal deshalb bitte den Formeleditor.
Deine Aufgabe lautet also:
[mm]\lim_{x\to 0}{\frac{1-\cos x}{x\left(\sqrt{1+x}-1\right)}}[/mm]
Benutze hier den Satz von L'Hospital. Es handelt sich hier um den Fall "[mm]\tfrac{0}{0}[/mm]", d.h. Zähler und Nenner des Quotienten streben gegen 0. Deshalb kannst du die Zähler- & und Nennerfunktion ableiten:
[mm]\lim_{x\to 0}{\frac{\sin x}{\sqrt{1+x}-1+0.5x(1+x)^{-0.5}}}=\lim_{x\to 0}{\frac{\sin x}{\frac{1+x}{\sqrt{1+x}}-\frac{\sqrt{1+x}}{\sqrt{1+x}}+\frac{0.5x}{\sqrt{1+x}}}}=\lim_{x\to 0}{\frac{\sin(x)\sqrt{1+x}}{1+1.5x-\sqrt{1+x}}}[/mm]
Und jetzt erhalten wir wieder den obigen Fall, also können wir nochmal ableiten:
[mm]\lim_{x\to 0}{\frac{\cos(x)\sqrt{1+x}+0.5\sin(x)(1+x)^{-0.5}}{1.5-0.5(1+x)^{-0.5}}}=\frac{1}{1.5-0.5}=1[/mm]
Viele Grüße
Karl
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:26 Mi 26.09.2007 | | Autor: | DaniTwal |
Erstmal danke für die schnelle Antwort! Leider haben wir die L'Hospital-Rechnung noch gar nicht im Unterricht behandelt. Wir sollten es irgendwie auch so schaffen..
Würde mich daher sehr freuen, wenn du es mir auch ohne L'Hospital demonstrieren könntest.
Gruß,
dani
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:55 Mi 26.09.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo Dani,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") !!
Erweitere Deinen Bruch mal mit dem Term [mm] $\left( \ \wurzel{1+x} \ \red{+} \ 1 \ \right)*\left(1 \ \red{+} \ \cos(x) \ \right)$ [/mm] ...
Anschließend den trigonometrischen Pythagoras [mm] $\sin^2(x)+\cos^2(x) [/mm] \ = \ 1$ berücksichtigen und den entstehenden Bruch in zwei Einzelbrüche zerlegen ...
Gruß
Loddar
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