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Größenbereich: Aufgabe
Status: (Frage) überfällig Status 
Datum: 13:04 So 20.11.2016
Autor: astol

Aufgabe
Auf der Menge [mm] A=\{(\{0\}\times\IN)\cup(\IN\times\IZ)\} [/mm] werde eine Addition [mm] \oplus [/mm] durch
[mm] (m,n)\oplus(k,l):=(m+k,n+l) [/mm] und eine Relation [mm] <\* [/mm] durch
[mm] (m,n)<\*(k,l) :\gdw [/mm] m<k [mm] \vee [/mm] (m=k [mm] \wedge [/mm] n<l) definiert.

Zeigen Sie, dass der Größenbereich [mm] (A,\oplus,<\*) [/mm] weder divisibel noch kommensurabel ist.

Hallo zusammen, ich habe schon gezeigt, dass [mm] G:=(A,\oplus,<\*) [/mm] auch wirklich ein Größenbereich ist - Das war kein Problem! Aber jetzt ...

Divisibel:  D.h. es muss zu jeder Größe b [mm] \in [/mm] G und jeder natürlichen Zahl n [mm] \in \IN [/mm] eine Größe a [mm] \in [/mm] G geben, so dass n*a=b gilt.

Kommensurabel: D.h. zu beliebigen a,b [mm] \in [/mm] G gibt es stehts p,q [mm] \in \IN [/mm] mit p*a=q*b.

Meine Idee war die folgende, wenn ich ein Beispiel finde, wo a,b [mm] \in [/mm] G sind aber die Eigenschaften nicht erfüllt sind, kann ich daraus schließen dass G nicht divisibel und nicht kommensurabel ist. Richtig?

Ich habe folgende Idee:

Angenomme G ist divisibel, dann muss die Eigenschaft insbesondere für  a=(0,0) und b(1,1)  gelten. Aber aus n*(0,0)=(1,1) folgt, dass es kein solches n [mm] \in \IN [/mm] gibt und somit G nicht divisibel ist.

Angenomme G ist divisibel kommensurabel, dann muss die Eigenschaft insbesondere für  a=(0,0) und b(1,1)  gelten. Aber aus p*(0,0)=q*(1,1) folgt, q=0 aber q [mm] \in \IN [/mm] und [mm] 0\nin \IN [/mm] daraus wiederum folgt G nicht kommensurabel.

Kann ich das so machen?

Ich bin mir nur nicht ganz sicher ob a=(0,0) und b=(1,1) auch in G liegen, da wir von [mm] \IN=\{1,2,3,...\} [/mm] ausgehen.

Vielleicht könnt Ihr mir da weiter helfen?

Oder habt Ihr eine ganz andere Idee wie ich das zeigen kann? DANKE!

Euch allen noch ein schönes Wochenende. LG





        
Bezug
Größenbereich: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 10:39 Di 22.11.2016
Autor: meili

Hallo astol,

> Auf der Menge [mm]A=\{(\{0\}\times\IN)\cup(\IN\times\IZ)\}[/mm]
> werde eine Addition [mm]\oplus[/mm] durch
>  [mm](m,n)\oplus(k,l):=(m+k,n+l)[/mm] und eine Relation [mm]<\*[/mm] durch
>  [mm](m,n)<\*(k,l) :\gdw[/mm] m<k [mm]\vee[/mm] (m=k [mm]\wedge[/mm] n<l) definiert.
>  
> Zeigen Sie, dass der Größenbereich [mm](A,\oplus,<\*)[/mm] weder
> divisibel noch kommensurabel ist.
>  Hallo zusammen, ich habe schon gezeigt, dass
> [mm]G:=(A,\oplus,<\*)[/mm] auch wirklich ein Größenbereich ist -
> Das war kein Problem! Aber jetzt ...
>  
> Divisibel:  D.h. es muss zu jeder Größe b [mm]\in[/mm] G und jeder
> natürlichen Zahl n [mm]\in \IN[/mm] eine Größe a [mm]\in[/mm] G geben, so
> dass n*a=b gilt.

Wie ist n*a definiert?

>  
> Kommensurabel: D.h. zu beliebigen a,b [mm]\in[/mm] G gibt es stehts
> p,q [mm]\in \IN[/mm] mit p*a=q*b.
>
> Meine Idee war die folgende, wenn ich ein Beispiel finde,
> wo a,b [mm]\in[/mm] G sind aber die Eigenschaften nicht erfüllt
> sind, kann ich daraus schließen dass G nicht divisibel und
> nicht kommensurabel ist. Richtig?
>  
> Ich habe folgende Idee:
>  
> Angenomme G ist divisibel, dann muss die Eigenschaft
> insbesondere für  a=(0,0) und b(1,1)  gelten. Aber aus
> n*(0,0)=(1,1) folgt, dass es kein solches n [mm]\in \IN[/mm] gibt
> und somit G nicht divisibel ist.
>  
> Angenomme G ist divisibel kommensurabel, dann muss die
> Eigenschaft insbesondere für  a=(0,0) und b(1,1)  gelten.
> Aber aus p*(0,0)=q*(1,1) folgt, q=0 aber q [mm]\in \IN[/mm] und
> [mm]0\nin \IN[/mm] daraus wiederum folgt G nicht kommensurabel.
>  
> Kann ich das so machen?
>
> Ich bin mir nur nicht ganz sicher ob a=(0,0) und b=(1,1)
> auch in G liegen, da wir von [mm]\IN=\{1,2,3,...\}[/mm] ausgehen.

a liegt nicht in G, wenn [mm] $\IN$ [/mm] so definiert ist, da für die erste Null von a,
a [mm] $\in \{0\} \times \IN$ [/mm] sein müsste, aber es dann die zweite Null nicht gibt.
Für die zweite Null könnte a in [mm] $\IN \times \IZ$ [/mm] sein, aber es dann
keine erste Null gibt.

b liegt in G, da (1,1) [mm] $\in \IN \times \IZ$ [/mm]

>  
> Vielleicht könnt Ihr mir da weiter helfen?
>  
> Oder habt Ihr eine ganz andere Idee wie ich das zeigen
> kann? DANKE!
>
> Euch allen noch ein schönes Wochenende. LG
>  
>
>
>  

Gruß
meili

Bezug
        
Bezug
Größenbereich: Fälligkeit abgelaufen
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 13:20 Mi 23.11.2016
Autor: matux

$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
Bezug
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