Größenverhältnisse Ellipsen. < Klassen 8-10 < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:26 So 03.06.2012 | | Autor: | Klaus_12 |
| Aufgabe | | Geben seine zwei beliebige Ellipsen E1 und E2. Die Ellipse E1 ist in der Ellipse E2 enthalten.Zeige: Werden die Längen der Halbachsen der beiden Ellipsen quadriert, so ist E1 immer noch in E2 enthalten. |
Das "enthalten" in der Aufgabenstellung meint, dass wenn man die Ellipsen graphisch darstellt, die Ellipse E 1 in der Ellipse E 2 liegt.
Im Fall dass die Länge der großen Halbachse von E1 kleiner ist als die Länge der kleinen Halbachse von E2 ist die Aufgabe schnell gezeigt. Aber wie zeige ich im anderen Fall, dass es nicht zu Überschneidungen zwischen den Ellipsen kommt? Ich habe mir gedacht, dass ich zuerst zeigen könnte, dass sich mit dem Quadrieren der Halbachsen auch der Abstand aller Ellipsenpunkte vom Ursprung quadriert und es daher nicht zu Überschneidungen kommt.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo Klaus_12, ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
Die Frage ist doch einfach die: wenn 0<x<y ist, gilt dann auch [mm] 0
Grüße
reverend
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:20 So 03.06.2012 | | Autor: | Klaus_12 |
Danke für deine Antwort. Für 0<x<y müsste ja [mm] 0
Das mit der maßstabsgerechten Vergrößerung hatte ich mir auch schon gedacht, allerdings weiß ich nicht genau, wie ich das formal aufschreiben soll.
Meinst du mit Koordinatentransformation, dass ich die Koordinaten x und y so transformieren soll, dass ich in den neuen Korrdianten wieder die ursprüngliche Ellipsengleichung da stehen habe, von der ich weiß, dass eine Ellipse größer als die andere ist?
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Hallo,
> Danke für deine Antwort. Für 0<x<y müsste="" ja="" <br="">> [mm]0
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Das mit der maßstabsgerechten Vergrößerung hatte ich
> mir auch schon gedacht, allerdings weiß ich nicht genau,
> wie ich das formal aufschreiben soll.
Blöd ist hier, dass man wohl nur einen Maßstab wählen kann, also z.B. in x-Richtung. Oder in y-Richtung. Oder anders, aber eben nur einen. Wenn die Halbachsen garantiert parallel lägen, wären auch unterschiedliche Maßstäbe für die beiden Achsen denkbar.
> Meinst du mit Koordinatentransformation, dass ich die
> Koordinaten x und y so transformieren soll, dass ich in den
> neuen Korrdianten wieder die ursprüngliche
> Ellipsengleichung da stehen habe, von der ich weiß, dass
> eine Ellipse größer als die andere ist?
Tja, das wäre ja ein schönes Ergebnis. Leider ist es komplizierter. Ich habe aber den Eindruck, dass Ihr in der Diskussion schon weiter seid (zumal Al-Ch.!) und würde von daher das Thema hier erst einmal nicht noch weiter von einer anderen Seite aufdröseln. Falls Ihr da "weiter unten" im Thread nicht mehr weiterkommt, können wir ja immer noch Transformationsmatrizen und Ähnliches ausprobieren.
Grüße
reverend
</x<y>
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:05 Mo 04.06.2012 | | Autor: | fred97 |
[mm] E_1:\bruch{x^2}{a^2}+\bruch{y^2}{b^2}=1.
[/mm]
[mm] E_2:\bruch{x^2}{u^2}+\bruch{y^2}{v^2}=1.
[/mm]
Mit a,b,u,v >0.
Enthalten bedeutet: a [mm] \le [/mm] u und b [mm] \le [/mm] v.
Es ist dann [mm] a^2 \le u^2 [/mm] und [mm] b^2 \le v^2
[/mm]
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:26 Di 05.06.2012 | | Autor: | Klaus_12 |
Das behandelt aber nur den Fall, dass die Hauptachsen der beiden Ellipsen zusammenfallen. Die Ellipsen können aber beliebig liegen, d.h. eine Ellipse kann auch schief in der anderen drin liegen. Und gerade in diesem Fall weiß ih nicht genau, wie ich das begründen soll.
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> Das behandelt aber nur den Fall, dass die Hauptachsen der
> beiden Ellipsen zusammenfallen. Die Ellipsen können aber
> beliebig liegen, d.h. eine Ellipse kann auch schief in der
> anderen drin liegen. Und gerade in diesem Fall weiß ih
> nicht genau, wie ich das begründen soll.
Hallo Klaus,
ja, der Ansatz von fred scheint zu kurz gegriffen zu sein.
Zunächst ist aber wohl noch die Aufgabenstellung zu
präzisieren: Was genau soll es bedeuten, "die Längen
der Halbachsen der beiden Ellipsen zu quadrieren ?"
Ich würde dies so auffassen, dass die Mittelpunkte und
die Achsenrichtungen beider Ellipsen erhalten bleiben
sollen und nur die Längen der Halbachsen quadriert werden.
Da das Quadrieren von Streckenlängen keine lineare
Transformation ist (und von der Wahl einer Einheits-
Streckenlänge abhängt), ist also diese Aufgabe wirklich
nicht ganz trivial.
Man hat nun zwei Möglichkeiten: entweder ein Gegen-
beispiel suchen, welches die Behauptung widerlegt
oder aber, wie reverend schon vorgeschlagen hat,
durch geeignete Koordinatentransformationen den
Beweis für ihre Gültigkeit führen ...
Eine einfache Lösung sehe ich im Moment noch nicht,
suche aber danach. Ich würde wohl zunächst versuchen,
zuerst einen Spezialfall zu behandeln, etwa den mit
u=v=1 (d.h. äußere Ellipse = Einheitskreis).
Al-Chw.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:40 Di 05.06.2012 | | Autor: | Klaus_12 |
Hallo Al-Chwarizmi,
die Mittelpunkte der Ellipse bleiben gleich, ebenso die Lage der Hauptachsen, das einzige was sich ändern soll sind die Lägen der Hauptachsen, die werden jeweils quadriert.
Und jetzt soll man halt zeigen, dass wenn eine Ellipse in der andern drin liegt und man die Längen der Hauptachsen quadriert, die entsprechende Ellipse immer noch in der anderen drin liegt.
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> Hallo Al-Chwarizmi,
> die Mittelpunkte der Ellipse bleiben gleich, ebenso die
> Lage der Hauptachsen, das einzige was sich ändern soll
> sind die Lägen der Hauptachsen, die werden jeweils
> quadriert.
Moment mal:
zuerst hast du gesagt, es sollen die Längen der Halbachsen
quadriert werden. Wenn man die Längen der Hauptachsen
quadriert, so ist das etwas anderes !
(z.B. große Hauptachse = 2*große Halbachse !)
> Und jetzt soll man halt zeigen, dass wenn eine Ellipse in
> der andern drin liegt und man die Längen der Hauptachsen Halbachsen
> quadriert, die entsprechende Ellipse immer noch in der
> anderen drin liegt.
Es ging mir nur darum, dies zu präzisieren.
LG Al
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:07 Di 05.06.2012 | | Autor: | Klaus_12 |
Da habe ich mich bei meiner letzten Mitteilung verschrieben. Es geht darum, dass die Längen der HALBachsen quadriert werden.
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> Da habe ich mich bei meiner letzten Mitteilung
> verschrieben. Es geht darum, dass die Längen der
> HALBachsen quadriert werden.
Die Behauptung stimmt wohl - falls sie überhaupt
zutrifft - wohl immer noch, wenn man anstatt der
Länge der Halbachsen die der Achsen quadriert,
aber man hat es dann im Detail doch mit anderen
Ellipsen zu tun ...
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:35 Di 05.06.2012 | | Autor: | reverend |
Hallo,
ich kann gerade schlecht tippen und habe zudem noch ein Problem mit der Internetverbindung. Deswegen bin ich nur selten da und beteilige mich meistens selbst dann nicht, sorry.
Frage:
Sind die Mittelpunkte der beiden Ellipsen (also der einzige Punkt, zu dem sie jeweils punktsymmetrisch sind, zugleich Schnittpunkt der Halbachsen und Mittelpunkt der Strecke zwischen den beiden Brennpunkten) identisch - oder können auch die noch verschieden sein? Eine einbeschriebene kleinere Ellipse kann ja auf alle möglichen Arten in die größere gelegt werden.
lg
rev
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> Hallo,
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> ich kann gerade schlecht tippen und habe zudem noch ein
> Problem mit der Internetverbindung. Deswegen bin ich nur
> selten da und beteilige mich meistens selbst dann nicht,
> sorry.
>
> Frage:
> Sind die Mittelpunkte der beiden Ellipsen (also der
> einzige Punkt, zu dem sie jeweils punktsymmetrisch sind,
> zugleich Schnittpunkt der Halbachsen und Mittelpunkt der
> Strecke zwischen den beiden Brennpunkten) identisch - oder
> können auch die noch verschieden sein? Eine
> einbeschriebene kleinere Ellipse kann ja auf alle
> möglichen Arten in die größere gelegt werden.
>
> lg
> rev
Hallo reverend !
so wie ich die Aufgabe aufgefasst habe, darf die kleinere
Ellipse irgendwo und in beliebiger Drehlage in der größeren
liegen.
Für das Gegenbeispiel, das ich beschrieben habe, brauche
ich aber nicht einmal eine exzentrische Lage.
Lieben Gruß !
Al
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> Geben seine zwei beliebige Ellipsen E1 und E2. Die Ellipse
> E1 ist in der Ellipse E2 enthalten.Zeige: Werden die
> Längen der Halbachsen der beiden Ellipsen quadriert, so
> ist E1 immer noch in E2 enthalten.
> Das "enthalten" in der Aufgabenstellung meint, dass wenn
> man die Ellipsen graphisch darstellt, die Ellipse E 1 in
> der Ellipse E 2 liegt.
Hallo,
ich denke nun doch, dass die Behauptung falsch ist.
[mm] E_2 [/mm] habe die Halbachsen u und v mit 0<v<1<u und
der Gleichung [mm] $\frac{x^2}{u^2}+\frac{y^2}{v^2}=1$
[/mm]
Die Bildellipse [mm] E_2^{\ast} [/mm] von [mm] E_2 [/mm] (nach Quadrieren der
Halbachsen) hat dann die ebenfalls auf den Koordi-
natenachsen liegenden Halbachsen [mm] u^{\ast}=u^2>u>1
[/mm]
und [mm] v^{\ast}=v^2
Nun betrachten wir den Einheitskreis k: [mm] x^2+y^2=1 [/mm] .
k schneidet die Ellipsen [mm] E_2 [/mm] und [mm] E_2^{\ast} [/mm] im ersten
Quadrant (x>0 und y>0) in den Punkten S und [mm] S^{\ast} [/mm] ,
welche im Allgemeinen voneinander verschieden sind.
A sei nun ein auf dem Bogen von k zwischen S und [mm] S^{\ast}
[/mm]
liegender Punkt.
Nun legen wir eine Ellipse [mm] E_1 [/mm] folgendermaßen fest:
Ihr Mittelpunkt sei O(0|0), also identisch mit dem
Mittelpunkt von [mm] E_2. [/mm] A sei einer ihrer beiden Haupt-
scheitelpunkte. Die große Halbachse a von [mm] E_2 [/mm] hat
damit die Länge 1 (gleich dem Radius von k).
Die dazu orthogonale kleine Halbachse b kann man
so klein (aber noch positiv) wählen, dass [mm] E_1 [/mm] ganz
innerhalb von [mm] E_2 [/mm] zu liegen kommt.
Im Grenzfall dürfte man allenfalls sogar b=0 wählen,
womit dann [mm] E_1 [/mm] zu einer (doppelt durchlaufenen)
Strecke ausartet.
Wenn man nun die Ellipse [mm] E_1 [/mm] ebenfalls der Abbildung
unterwirft, welche die Längen ihrer Halbachsen
quadriert, so wird der Punkt A auf sich selbst abgebildet
und gehört somit auch zur Bildkurve [mm] E_1^{\ast} [/mm] .
Mindestens bei geeigneter Wahl der Größen von u und v
wird nun jedoch der Punkt A außerhalb von [mm] E_2^{\ast}
[/mm]
liegen. Dies ist ein Widerspruch zur Behauptung, dass
ganz [mm] E_1^{\ast} [/mm] innerhalb von [mm] E_2^{\ast} [/mm] liegen solle.
LG Al-Chw.
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Zu meiner Argumentation, dass die Behauptung falsch ist,
eine Zeichnung, die das Wesentliche zeigen soll. Allerdings
sind nicht alle beteiligten Ellipsen wirklich eingezeichnet -
man muss sich also noch einiges dazu denken ...
[Dateianhang nicht öffentlich]
LG Al-Chwarizmi
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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Hallo zusammen,
ich habe mir nun noch ein konkretes Gegenbeispiel
ausgedacht. Es seien:
[mm] E_1: [/mm] $\ [mm] 3\,x^2-4\,\sqrt{3}\,x\,y+7\,y^2\ [/mm] =\ 1$
[mm] E_2: [/mm] $\ [mm] \frac{x^2}{2}+2\,y^2\ [/mm] =\ 1$
| Aufgabe | 1.) Bestimme die Halbachsen und die Scheitelpunkte von [mm] E_1 [/mm] und [mm] E_2 [/mm] .
2.) Zeige, dass [mm] E_1 [/mm] ganz innerhalb von [mm] E_2 [/mm] verläuft.
3.) Ermittle die Bildparabeln [mm] E_i^{\ast} [/mm] von [mm] E_i [/mm] unter den
Abbildungen, welche jeweils die Längen der Halbachsen
einer Ellipse quadrieren (und ihren Mittelpunkt sowie ihre
Achsenrichtungen intakt lassen). (i=1,2)
4.) Zeige, dass [mm] E_1^{\ast} [/mm] nicht ganz innerhalb von [mm] E_2^{\ast} [/mm] verläuft. |
Viel Spass beim Rechnen ! 
Al-Chwarizmi
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[mm]E_1:[/mm] [mm]\ 3\,x^2-4\,\sqrt{3}\,x\,y+7\,y^2\ =\ 1[/mm]
[mm]E_2:[/mm] [mm]\ \frac{x^2}{2}+2\,y^2\ =\ 1[/mm]
1.) Bestimme die Halbachsen und die Scheitelpunkte von [mm]E_1[/mm]
und [mm]E_2[/mm] .
2.) Zeige, dass [mm]E_1[/mm] ganz innerhalb von [mm]E_2[/mm] verläuft.
3.) Ermittle die Bildellipsen [mm]E_i^{\ast}[/mm] von [mm]E_i[/mm] unter
den Abbildungen, welche jeweils die Längen der Halbachsen
einer Ellipse quadrieren (und ihren Mittelpunkt sowie ihre
Achsenrichtungen intakt lassen). (i=1,2)
4.) Zeige, dass [mm]E_1^{\ast}[/mm] nicht ganz innerhalb von
[mm]E_2^{\ast}[/mm] verläuft.
Bild dazu:
[Dateianhang nicht öffentlich]
Die durchgezogen gezeichneten Ellipsen sind E1 (blau) und E2 (rot).
[mm] E_1 [/mm] liegt vollständig innerhalb von [mm] E_2 [/mm] .
Die jeweilige Bildellipsen [mm] E_1^{\ast} [/mm] und [mm] E_2^{\ast} [/mm] (nach Quadrierung der
Längen der Halbachsen) sind gepunktet dargestellt. Da die große
Halbachse von E1 die Länge 1 hat, stimmt diese mit der Halb-
achse von [mm] E_1^{\ast} [/mm] überein. Offensichtlich ragt [mm] E_1^{\ast}
[/mm]
in der Umgebung ihrer Hauptscheitel knapp über [mm] E_2^{\ast} [/mm] hinaus.
LG Al-Chw.
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:51 Do 07.06.2012 | | Autor: | Klaus_12 |
Vielen Dank für die ausführliche Antwort.
Mich würde noch interessieren mit welchem Programm du die Bilder der Ellipsen erstellt hast.
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> Vielen Dank für die ausführliche Antwort.
>
> Mich würde noch interessieren mit welchem Programm du die
> Bilder der Ellipsen erstellt hast.
Nun, ich habe mir dafür halt wie so oft ein eigenes Programm
in Pascal (genauer: Top-Pascal) erstellt. Hier ist es:
PROGRAM Ellipsen;
procedure Ellipse(n:integer;r,g,b,w,u,v:real) ;
var s,c,co,si,a,x,y:real;
t: integer;
begin
urgbcolor(r,g,b);
c:=cos(w*pi/180);
s:=sin(w*pi/180);
for t:=1 to n do
begin
a:=2*pi*t/n;
co:=cos(a);si:=sin(a);
x:=u*c*co-v*s*si;
y:=u*s*co+v*c*si;
umoveto(x,y);ulineto(x,y);
end;
end;
{----------------------------------------------------}
BEGIN
uSetXAchse(-2.5,2.5);uSetYAchse(-1.3,1.3);
uDrawKSXY(1,1);
uScaleKSXY(1,1,0,0,1,12);
penSize(2,2);
Ellipse(1000,1,0,0,0,sqrt(2),sqrt(2)/2);
Ellipse(250,0.6,0,0,0,2,1/2);
Ellipse(1000,0,0,1,30,1,1/3);
Ellipse(150,0,0,0.6,30,1,1/9);
END.
Die Prozedur Ellipse(n,r,g,b,w,u,v) zeichnet
n Punkte der Ellipse mit dem Mittelpunkt O(0/0)
und den Halbachsen u und v, welche um den Winkel w
(in Grad) gedreht sind. Die Parameter r,g,b definieren
die Zeichenfarbe.
LG Al-Charizmi
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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