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Größter gemeinsamer Teiler: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:02 Sa 27.08.2016
Autor: MarcHe

Aufgabe
Seien a, b,m 2 Z. Zeigen Sie: Es gibt genau dann ein x E Z mit ax = b(modm), wenn ggT(a,m) | b gilt.

Hallo,

zu der genannten Aufgabe habe ich folgenden Ansatz versucht, bin mir aber unsicher ob dieser ausreichend ist und ob der Weg prinzipiell passt:

ax = b (mod m) => m|(b-ax) => [mm] b-ax=q_1*m [/mm] ?> [mm] b=q_1*m+ax [/mm]

ggt(a,m)|b => [mm] b=q_2*ggt(a,m) [/mm] => [mm] b=q_2*s*a+q_2*t*m [/mm]

=> [mm] q_1*m+ax [/mm] = [mm] q_2*s*a+q_2*t*m [/mm] => [mm] x=q_2*s [/mm]

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.



        
Bezug
Größter gemeinsamer Teiler: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:11 Sa 27.08.2016
Autor: abakus

"ob dieser ausreichend ist "

Sicher nicht.
Eine genau-dann-wenn-Aussage benötigt Beweise für beide Richtungen.
Gruß Abakus

Bezug
        
Bezug
Größter gemeinsamer Teiler: Ergänzung
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:20 So 28.08.2016
Autor: hippias

Du musst in jedem Falle den Beweis klarer strukturieren; abgesehen davon ist er aber vernünftig, wenn auch nicht ganz vollständig. Gerade bei Anfängern wird erwartet, dass Folgerungen auch begründet werden und Erläuterungen in den Beweis aufgenommen werden. Eine Aneinanderkettung von Termen durch Folgerungspfeile ist in der Regel nicht ausreichend.

> Seien a, b,m 2 Z.

Schreibfehler?

> Zeigen Sie: Es gibt genau dann ein x E Z
> mit ax = b(modm), wenn ggT(a,m) | b gilt.
>  Hallo,

Du machst besonders Dir selber und anderen das Leben leichter, wenn Du Latexcode benutzt, um Formeln darzustellen.

>  
> zu der genannten Aufgabe habe ich folgenden Ansatz
> versucht, bin mir aber unsicher ob dieser ausreichend ist
> und ob der Weg prinzipiell passt:
>  

1. Teil. Es sei

> ax = b (mod m)

vorausgesetzt. Dann ...
=> m|(b-ax) => [mm]b-ax=q_1*m[/mm] ?> [mm]b=q_1*m+ax[/mm]

>  

Siehe oben. Ausserdem ist der Beweis nicht vollständig, schliesslich sollte der Beweisteil mit einer Aussage a la "also gilt $ggt(a,m)|b$ enden.

2. Teil. Es gelte

> ggt(a,m)|b

Dann...
=> [mm]b=q_2*ggt(a,m)[/mm] =>
Erläuterung für diesen Schluss fehlt, bzw. was Du hier zitierst

[mm]b=q_2*s*a+q_2*t*m[/mm]

>  
> => [mm]q_1*m+ax[/mm] = [mm]q_2*s*a+q_2*t*m[/mm] => [mm]x=q_2*s[/mm]

Das ist nur schwer nachvollziehbar. Ich vermute, Du möchtest folgendes sagen. Wenn [mm] $q_1*m+ax [/mm] = b= [mm] q_2*s*a+q_2*t*m$ [/mm] gilt, dann folgt $x= [mm] q_2*s$. [/mm]

Dazu wäre mehrerlei zu sagen:
1. Woher kommt plötzlich [mm] $q_{1}$? [/mm] Mir ist klar, was es soll, aber Du musst Deine Symbole erklären, schon um bei schwierigeren Beweisen selbst den Überblick zu behalten.

2. Der Schluss ist falsch! Sei z.B. $a= 6$, $m=10$, $b=4$, $s=2$, $t=-1$ und [mm] $q_{2}=2$. [/mm] Dann ist $b= [mm] q_2*s*a+q_2*t*m$, [/mm] aber auch $b= (-8)m+a*14$, also $x= [mm] 14\neq q_{2}s$. [/mm]

3. Selbst wenn der Schluss $x= [mm] q_{2}s$ [/mm] korrekt wäre, dann wäre damit die Existenz einer Zahl $x$, die $ax= [mm] b\mod [/mm] m$ erfüllt noch NICHT bewiesen. Es wäre nur gezeigt, dass, wenn es eine solche Zahl gibt, dann ist sie [mm] $=q_{2}s$. [/mm] Es wäre noch, z.B. durch Einsetzen, nachzuprüefen, ob dieses die Relation erfüllt (und ob sie eine ganze Zahl ist). Dies ist hier aber natürlich gegeben.

Ein Beispiel zur Erläuterung des Problems: [mm] $-\sqrt{x}= [/mm] 3$. Quadrieren liefert $x= 9$, aber $9$ löst die Gleichung nicht!  

4. Schreib es einfach so: Da $b= [mm] q_2*s*a+q_2*t*m$ [/mm] gilt, kann $x:= [mm] q_{2}s\in \IZ$ [/mm] gewählt werden.


>  
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>  
>  


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Größter gemeinsamer Teiler: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:03 So 28.08.2016
Autor: MarcHe

Basierend auf euren Anregungen habe ich nochmal folgendes versucht:

⇒ Sei $ax≡b(mod m)$, dann gibt es eine ganze Zahl [mm] x_0, [/mm] sodass [mm] m|b-ax_0. [/mm] Wird nun umgeformt erhält man [mm] b-ax_0=y_0 [/mm] m bzw. [mm] b=x_0 a+y_0 [/mm] m. b lässt sich also als Linearkombination aus a und m darstellen bzw. nach dem Satz von Bézout ist die Gleichung genau dann lösbar, wenn b ein Vielfaches von ggT(a,m). Also wenn ggT(a,m)|b.
⇐ Nehmen wir an, dass ggT(a,m)|b gilt. Dann folgt b=k⋅ggT(a,m) mit ∃k ϵ Z . Nach Umformung erhält man [mm] b=k⋅(x_1 a+y_1 m)⇔b=kx_1 a+ky_1 [/mm] m. Anders ausgedrückt [mm] (kx_1 [/mm] )a≡b(mod m).


Passt dies nun besser?


Bezug
                        
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Größter gemeinsamer Teiler: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 10:40 Mo 29.08.2016
Autor: fred97


> Basierend auf euren Anregungen habe ich nochmal folgendes
> versucht:
>  
> ⇒ Sei [mm]ax≡b(mod m)[/mm], dann gibt es eine ganze Zahl [mm]x_0,[/mm]

Die Voraussetzung ist: es gibt ein [mm] x_0 \in \IZ [/mm] mit  [mm]m|(b-ax_0).[/mm]


> sodass [mm]m|b-ax_0.[/mm] Wird nun umgeformt erhält man [mm]b-ax_0=y_0[/mm]

Auch das ist schlampig ! Besser: es gibt ein [mm] y_0 \in \IZ [/mm] mit

    [mm]b-ax_0=y_0m[/mm] .


> m bzw. [mm]b=x_0 a+y_0[/mm] m. b lässt sich also als
> Linearkombination aus a und m darstellen bzw. nach dem Satz
> von Bézout ist die Gleichung genau dann lösbar, wenn b
> ein Vielfaches von ggT(a,m). Also wenn ggT(a,m)|b.

Das ist doch mit Kanonen auf Spatzen geschossen !

Wir haben: [mm]b=x_0 a+y_0 m[/mm].

Ist nun d:= ggT(a,m), so ist d Teiler von a und ein Teiler von m , so ist d ein Teiler von [mm] x_0 a+y_0 [/mm] m, also ein Teiler von b. .


>  ⇐ Nehmen wir an, dass ggT(a,m)|b gilt. Dann folgt
> b=k⋅ggT(a,m) mit ∃k ϵ Z .

Andersrum: es ex. k [mm] \in \IZ [/mm] mit  b=k⋅ggT(a,m)


> Nach Umformung erhält man
> [mm]b=k⋅(x_1 a+y_1 m)⇔b=kx_1 a+ky_1[/mm] m.

Schlampig ! Nach dem Lemma von Bezout gibt es [mm] x_1,y_1 \in \IZ [/mm] mit: [mm] ⋅ggT(a,m)=x_1 a+y_1 [/mm] m. Somit:

    
[mm] b=kx_1 [/mm] a+ky_1m.



>  Anders ausgedrückt
> [mm](kx_1[/mm] )a≡b(mod m).

Na ja, auch das kann man klarer formulieren: setze [mm] x:=kx_1, [/mm] so ist x [mm] \in \IZ [/mm] und

   $ b-ax=ky_1m.$

m ist Teiler der rechten Seite der letzten Gleichung, also ist m Teiler von b-ax.

FRED

>  
>
> Passt dies nun besser?
>  


Bezug
                                
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Größter gemeinsamer Teiler: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:26 Mo 29.08.2016
Autor: MarcHe

Wieso folgt aus [mm] b=x_0*a+y_0*m [/mm] nicht b = ggT(a,m)? Und warum darf man einfach [mm] k*x_1 [/mm] = x setzen?

Bezug
                                        
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Größter gemeinsamer Teiler: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:04 Mo 29.08.2016
Autor: fred97


> Wieso folgt aus [mm]b=x_0*a+y_0*m[/mm] nicht b = ggT(a,m)?


Nimm a=m=1 und [mm] x_0=y_0=200. [/mm] Dann ist

  [mm] 400=b=x_0*a+y_0*m. [/mm]

Ist ggT(a,m)=400 ?


> Und warum
> darf man einfach [mm]k*x_1[/mm] = x setzen?

Im 2. Beweisteil sollst Du die Existenz eines x mit "blablablubber" nachweisen.

   [mm] x=kx_1 [/mm]

leistet dies.

FRED


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